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1、 全等三角形经典习题汇集 第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图,ACDE,BCEF,ACDE求证:AFBD .【补充】如图所示:ABCD,ABCD求证:ADBC 【例2】已知:如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,ABDC,BECF,BC 求证:OAOD|【补充】已知:如图,ADBC,ACBD,求证:CD 【补充】如图,在梯形ABCD中,ADBC,E为CD中点,连结AE并延长AE交BC的延长线于点F 求证:FCAD FEDCBA 【例3】如图,ABCD,相交于点O,OAOB,E、F为CD上两点,AEBF,CEDF求证:ACBD FEDCBADCBAFEODCBAODCBAOFEDCBA
2、【补充】已知,如图,ABAC,CEAB,BFAC,求证:BFCE FECBA 【例4】【例5】如图,90DCECDCEADAC BEAC,垂足分别为A B,试说明ADABBE EDCBA 【例10】如图所示,已知ABDC,AEDF,CEBF,证明:AFDE$【例11】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点,且BECF求证:AEBF!PFEDCBA 【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点,GEEF,GEEF求证:FEDCBABGCFBC GABCDEF【例12】在凸五边形中,BE,CD,BCDE,M为CD中点求证:AMCD 【补充】如图所示:AFCD,BCEF,
3、ABDE,AD 求证:BCEF ABCDEF 【例13】(1)如图,ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判 断ABC与AEG面积之间的关系,并说明理由.(2)园林小路,曲径通幽,如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米 GFEDCBA 【例14】如图,ABC中,ABBC,90ABC,D是AC上一点,且CDCBAB,DEAC交AB于E点求证:ADDEEB MEDCBACBDEA 【例15】|【例16】ABC中,90B,M为AB上一点,
4、使得AMBC,N为BC上一点,使得CNBM,连AN、CM交于P点试求APM的度数,并写出你的推理证明的过程 图3PDMNBCA 【例17】如图,I是ABC的内心,且CAAIBC若80BAC,求ABC和AIB的大小 ABCI【例18】已知:BD CE、是ABC的高,点P在BD的延长线上,BPAC,点Q在CE上,CQAB,求证:APAQ;APAQ PDQCBEA?【例19】如左下图,在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点且ACCE,F为AE的中点求证:BFFD 如右下图,在ABC中,BE、CF分别为边AC、AB的高,D为BC的中点,DMEF于M求证:FMEM FEDCBA MFEDCBA )18.
5、补充:如图,已知60ABDACD,且1902ADBBDC求证:ABC是等腰三角形 【例20】如图,ABC为边长是1的等边三角形,BDC为顶角()BDC是120的等腰三角形,以D为顶点作一个60角,角的两边分别交AB于M,AC于N,连接MN,形成一个AMN求AMN的周长¥【习题1】已知:如图,ABDE,ACDF,BECF 求证:ABDE 家庭作业 AMNBCDFEDCBA 【习题2】已知:DEFMNP,且EFNP,FP,D48,E52,MN12cm,求:P的度数及DE的长.)!【习题 3】如图,矩形ABCD中,E是AD上一点,CEEF交AB于F点,若2DE,矩形周长为16,且CEEF,求AE的长
6、 EDCBFA 【习题 4】在四边形ABCD中,ADBC,A的平分线AE交DC于E求证:当BE是B的角平分线时,有ADBCAB&【备选1】如图所示:ABAC,ADAE,CD、BE相交于点O求证:OA平分DAE 月测备选 ABCDEO【备选2】如图所示,在ABC中,ADBC于点D,2BC 求证:ABBDCD 【备选3】【备选4】如图,ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DEDF,交AB于点E,连结EG、EF.(1)求证:BGCF.(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.FEDCBAG 第二讲 全等三角形与中点问题 版块一 倍长中线【例1】
7、【例2】在ABC中,9,5ACAB,则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么 【补充】已知:ABC中,AD是中线求证:1()2ADABAC 【例3】已知:如图,梯形ABCD中,ADBC,点E是CD的中点,BE的延长线与AD的延长线相交于点F求证:BCEFDE?CDBADABCDABCDFECBA 【例4】如图,在ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CFBE求证:BDECDF ,【例5】【例6】如图,ABC中,AB AC,AD是中线求证:DACDAB 【例7】如图,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AFEF,求证:ACBE (【例
8、8】如图所示,在ABC和A B C 中,AD、AD 分别是BC、B C 上的中线,且ABA B,ACA C,ADAD,求 证ABCA B C FEDCBADABCFEDCBADABCDABC ,【例9】如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EFAD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BGCF,求证:AD为ABC的角平分线 *【例10】已知AD为ABC的中线,ADB,ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证:BECFEF%【例11】在RtABC中,90A,点D为BC的中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且EDFD 以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形若能,该三角形是
9、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【例7】如图,已知E是AC上的一点,又12,34 求证:EDEB EDCBA4321 【例8】如图所示,OP是AOC和BOD的平分线,OAOC,OBOD求证:ABCD PDBOCA 【例9】【例10】如图所示,已知ABC中,AD平分BAC,E、F分别在BD、AD上DECD,EFAC 求证:EFAB FACDEB 【例10】如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,过C作CEABE于,并且1()2AEABAD,则ABCADC等于多少 EDCBA【补充】长方形ABCD中,AB=4,BC=7,BAD的角平分线交BC于点E,EFED交AB于F,则EF=_ FEDCB
10、A 【补充】在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线P是AD上任意一点求证:ABACPBPC CDBPA 【例11】如图,在ABC中,2BC,BAC的平分线AD交BC与D求证:ABBDAC DCBA ;【例12】如图,ABC中,ABAC,108A,BD平分ABC交AC于D点求证:BCACCD ABCD 【巩固】已知等腰ABC,100A,ABC的平分线交AC于D,则BDADBC DCBA 【例13】如图所示,在ABC中,AD平分BAC,ADAB,CMAD于M,求证2ABACAM MDCBA|【例14】如图,ABC中,ABAC,BD、CE分别为两底角的外角平分线,ADBD于D,AECE于E求证:
11、ADAE HGDABCE 【例15】如图,180AD,BE平分ABC,CE平分BCD,点E在AD上 (探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系 探讨线段BE与CE之间的位置关系 EDCBA$【习题 2】如图,在ABC中,ABBDAC,BAC的平分线AD交BC与D求证:2BC DCBA 【习题 3】AD是ABC的角平分线,BEAD交AD的延长线于E,EFAC交AB于F 求证:AFFB D E CF BA /【习题4】如图所示,AD平行于BC,DAE=EAB,ABE=EBC,AD=4,BC=2,那么AB=_ 家庭作业 【习题 5】ABC中,D为BC中点,DEBC交BAC的平分线于点E,EFAB于F
12、EGAC于G 求证:BFCG EGFDCBA :【备选 1】在ABC中,AD平分BAC,ABBDAC求:BC的值 CDBA 【备选 2】如图,已知在ABC中,3ABCC,12,BEAE求证:2ACABBE 月测备选 21ECBA 【备选 3】如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,A的平分线AE交DC于E,求证:当BE是B的平分线时,有ADBCAB EBCDA 、第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】已知:如图,点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形(1)求证:ANBM (2)求证:CD=CE$NMACBEDNMACB (3)求证:CF 平分MCN!(4)求证:DEAB 、【例2】如图
13、,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG求证:AECG GFEDCBA /【例3】如图,等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点求证:AEBD FEDNMACBFEDNMACBDECBA|【例4】如图,D是等边ABC内的一点,且BDAD,BPAB,DBPDBC,问BPD的度数是否一定,若一定,求它的度数;若不一定,说明理由 PDCBA 【例5】如图,等腰直角三角形ABC中,90B,ABa,O为AC中点,EOOF求证:BEBF为定值 OBECFA 【补充】如图,正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转,其交点为E、F,求证:AECFAB 54321OHBEDKGCFA 、【例6】(2
14、004 河北)如图,已知点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且EAAF 求证:DEBF FEDCBA 【补充】如图所示,在四边形ABCD中,90ADCABC,ADCD,DPAB于P,若四边形ABCD 的面积是 16,求DP的长 PDCBA 【例7】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且45EAF,AHEF,H为垂足,求证:AHAB$(【巩固】如图,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分BAF交BC边于点E 求证:AFDFBE 设DFx(01x),ADF与ABE的面积和S是否存在最大值若存在,求出此时x的值及S若不存在,请说明理由 FEDC
15、BA CHFEDBA 【补充】(1)如图,在四边形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=12BAD求证:EFBEFD;FEDCBA -(2)如图,在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=12BAD,(1)中的结论是否仍然成立不用证明 FEDCBA 【习题1】如图,已知ABC和ADE都是等边三角形,B、C、D在一条直线上,试说明CE与ACCD相等的理由 。家庭作业 EDCBA 【习题2】(湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试)已知:如图,点E是正方形ABCD的边AB上任意一点,过点D作DFDE交BC的延长线
16、于点F求证:DEDF FEDCBA 【习题3】在梯形ABCD中,ABCD,90A,2AB,3BC,1CD,E是AD中点,试判断EC与EB的位置关系,并写出推理过程 、【习题4】!【习题5】已知:如图,点C为线段AB上一点,ACM、CBN是等边三角形CG、CH分别是ACN、MCB 的高求证:CGCH HGNMCBA 【备选1】在等腰直角ABC中,90ACB,ACBC,M是AB的中点,点P从B出发向C运动,MQMP 交AC于点Q,试说明MPQ的形状和面积将如何变化 月测备选 ABCDE!.【备选2】如图,正方形ABCD中,FADFAE求证:BEDFAE FEDCBA 【备选3】等边ABD和等边CB
17、D的边长均为 1,E是BEAD上异于AD、的任意一点,F是CD上一点,满足1AECF,当EF、移动时,试判断BEF的形状、D FECBA 第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】¥【例2】在ABC中,ABAC,BCBDEDEA求A APMCQBEDCBA 【补充】在ABC中,ABAC,BCBD,ADEDEB求A 【例3】ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E,若150BACDAE,求BAC :?【例4】如图,点O是等边AOAD内一点,110AOB,BOC将BOC绕点C按顺时针方向旋转19060得ADC,连接OD,则COD是等边三角形;当为多少度时,AOD是等腰三角形 )【例5】如图,在
18、ABC中,BC,D在BC上,50BAD,在ACEDCBAEDCBAODCBAABCDE上取一点E,使得ADEAED,求EDC的度数 !【例6】-【例7】如图,ABC为等边三角形,延长BC到D,又延长BA到E,使AEBD,连接,CE DE,求证:CDE为等腰三角形 【例8】如图,在ABC中,B,C为锐角,,MND分别为边AB、AC、BC上的点,满足AMAN,BDDC,且BDMCDN 求证:ABAC 板块三、轴对称在几何最值问题中的应用 【例9】已知点A在直线l外,点P为直线l上的一个动点,探究是否存在一个定点B,当点P在直线l上运动时,点P与A、B两点的距离总相等,如果存在,请作出定点B;若不存
19、在,请说明理由(【例10】如图,在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站,要求到A、B两仓库的距离和最短,这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理EDCBAABCDMNPAlaBA 【例11】如图,45AOB,角内有点P,在角的两边有两点Q、R(均不同于O点),求作Q、R,使得PQR的周长的最小 (【补充】如图,M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点,在AB上求一点P,使PMN的周长最短 -【例12】已知如图,点M在锐角AOB的内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小 【补充】已知:A、B两点在直线l的同侧,在l上求作一点M,使得|AMBM最小
20、 ;PBANMCBAMBOAlBA【补充】已知:A、B两点在直线l的同侧,在l上求作一点M,使得|BMAM 最大 、【例13】如图,正方形ABCD中,8AB,M是DC上的一点,且2DM,N是AC上的一动点,求DNMN的最小值与最大值 【补充】例题中的条件不变,求DNMN的最小值与最大值 (【补充】如图,已知正方形ABCD的边长为 8,M在DC上,且2DM,N是AC上的一个动点,则DNMN的最小值是 MDCBA)【习题1】(2007 双柏中考)等腰三角形的两边长分别为 4 和 9,则第三边长为 【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形的底边
21、的长为()A17cm B 5cm C17cm或5cm D无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为 20,腰长为x,求x的取值范围 *【习题4】(2004 天津)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()家庭作业 NMDCBA【习题5】判断下列图形(图)是否为轴对称图形如果是,说出它有几条对称轴 【备选1】ABC的一个内角的大小是040,且AB,那么C的外角的大小是()A140 B80或100 C 100或140 D 80或140【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和 15 两部分,求腰长和底长【备选3】(四川省竞赛题)如图,在等腰Rt ABC中,3CACB,
22、E的BC上一点,满足2BE,在斜边AB 上求作一点P使得PCPE长度之和最小 PECBA ,【备选4】在正方形ABCD中,E在BC上,2BE,1CE,P在BD上,求PE和PC的长度之和的最小值 EPDCBA EEPDCBA !月测备选 第六讲 全等三角形中的截长补短 板块一、截长补短【例1】已知ABC中,60A,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明 【例2】如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作60DMN,射线MN与DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系 【例3】ADAB,CBAB,
23、DM=CM=a,AD=h,CB=k,AMD=75,BMC=45,则AB的长为 ()A.a B.k C.2kh D.h DOECBANEBMADMDCBA【例4】已知:如图,ABCD是正方形,FAD=FAE.求证:BE+DF=AE.【例5】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE,连结CD、BE相交于点O求证:OA平分DOE FABCDEOOEDCBA 【例6】(北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题)如图所示,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作一个60的MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长 FEDCBA 【例7】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ABC+AED=180,求证:AD平分CDE 板块二、全等与角度【例10】如图,在ABC中,60BAC,AD是BAC的平分线,且ACABBD,求ABC的度数.【例11】在正ABC内取一点D,使DADB,在ABC外取一点E,使DBEDBC,且BEBA,求BED.NMDCBACEDBADCBADECBA
限制150内