高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结.pdf

《高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一.圆锥曲线的两个定义：1第一定义中要重视“括号内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F,，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2I，定义 中的“绝对值与2a|F1F2|，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线

2、上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于第二定义对它们进行相互转化 练习:1.定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足以下条件的平面上动点A-PFjCPF1PF?4B PF|PF2D|PF122运用P 的轨迹中是椭圆的是答：C；6PF210|PF2122.方程J(x 6)2y2J(x 6)2y28表示的曲线是 _ 答：双曲线的左支3.点Q(2j2,0)及抛物线y上一动点 Px,y,那么 y+|PQ|的最小值是 _ 答：24二.圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程工 0，且1A 椭圆：焦点在,B,C 同号，xA 轴上时工 B。x22x轴

3、上:2双曲线：焦点在数，焦点在y轴上时y22与1a b 0y bcos参数方程，其中为参22ax2b22a2 2a2b 0。方程Ax Bybyr=1，焦点在y轴上：乂22=1a 0,b 0丨。方程2 2C表示椭圆的充要条件是什么a b?ABCAx By C表示双曲线的充要条件是什么？ABC 工 0,且 A,B 异号。3抛物线：开口向右时y2 2 px(p 0)，开口向左时y22 _ _ 2-_x 2 py(p 0)，开口 向下时x 2 py(p 0)。2px(p 0)，开口向上时练习:2 21.方程y么1表示椭圆，那k的取值范围为3 k 2 k1 1答：,尹护；32.假设x,y R，且3x22

4、y26，那么y的最大值是 _,x2 y2的最小值是答：J5,2x522上1有公共焦点，那么该双曲线的方程 _43.双曲线的离心率等于-r，且与椭圆 4.设中心在坐标原点2F1、F2在坐标轴上，离心率90,焦点e.2的双曲线 C 过点P4,.10，那么 C 的方程为 _ 答:2 2x5.方程2x y 621一1表示焦点在 y 轴上的椭圆，贝Um 的取值范围是 m2 m.圆锥曲线焦点位置的判断断首先化成标准方程，然后再判1椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口

5、方向。特别提醒：1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数F1,F2的位置，是椭圆、a,b，确定椭圆、双曲2在椭线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；圆中，a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。四.圆锥曲线的几何性质：2 21椭圆以刍 爲1a b 0为例：范围：a2 b2a x a,b y b；焦点：两个焦点c,0:对称性：两条对称轴x 0,y 0,个对称中心0,0，四个顶点a,0,0,b，其a2c；离心率：e，椭圆0 e 1,中长轴长为 2a，

6、短轴长为 2b；准线：两条准线xce越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。.x2y22双曲线以二-1a 0,ba_a2 b20为例：范围：x a或x a,y R；焦点：两x 0,y 0,个对称中心0,0，两个顶点a,0，其中实个焦点c,0:对称性：两条对称轴轴长为 2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0；准线：两条准线xac2c；离心率：e，双曲线e 1，等轴双曲线abe J2,e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：3抛物线 y2 2 px(p以y x。a10)为例：范围：x0,y R;焦点：一个焦占八(和，其中0,0;p

7、的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y0,没有对称中心,只有个顶点准线：一条准线xp2；离心率：eca，抛物线e 1。练习：221.假设椭圆y1的离心率e5m，那么m的值是答亠25,:3 或丨；53时，那么椭圆长轴的最小值2.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1为3.双曲线的渐近线方程是3x 2y 0，那么该双曲线的离心率等于4.双曲线ax2 by2答：或；1的离心率为5，那么a:b=_答：4 或423丄丨；2 25.设双曲线刍与1 a0,b0中，离心率 e J2,2,那么两条渐近线夹角B的取值范围是 _a2 b2答：片三；6.设a 0,a R,那么抛物线221

8、答：(，4ax的焦点坐标为荷；1a b 0丨的关系：1点P(x0,y0)在椭圆外22o2=1；3点2ox五、点P(xo,yo)和椭圆2a2点P(xo,y。)在椭圆上2x2aXo2aybP(xo,yo)在椭圆内Xa六直线与圆锥曲线的位置关系1相交：o直线与椭圆相交;o直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定o是直线与双曲0,有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有故当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，的充分条件，但不是必要条件。如2相切：3相离：0也仅是直线与

9、抛物线相交oo直线与椭圆相切；直线与椭圆相离；00直线与双曲线相切；直线与双曲线相离；00直线与抛物线相切；直线与抛物线相离。特别提醒：1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如 果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线2 2与抛物线相交，也只有一个交点；2过双曲线 务 当=1 外一点P(xo,y)的直线与双曲线只有一个公a b共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，与双曲线两支相切的两条切线，有两条与渐近线平行的直线和分别有两条与渐共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时

10、，近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；3过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线练习：1.假设直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，贝 U2 2k 的取值范围是 _2.直线 y kx 仁 0 与椭圆 5 m1恒有公共点，贝 U m 的取值范围是 _2 23.过双曲线 L 1 的右焦点直线交双曲线于A、B 两点，假设|AB|=4，那么这样的直线有 _1 2条4.过点(2,4)作直线与抛物线y2

11、 8x只有一个公共点，这样的直线有 _ 答：2；2 25.过点(0,2)与双曲线 二 1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _91626.过双曲线x2乡1的右焦点作直线I交双曲线于 A、B 两点，假设|AB4，那么满足条件的直线l有_7.对于抛物线 C:y2 4X,我们称满足y02 4x0的点M(x,y)在抛物线的内部，假设点M(x,y)在抛物线的内部，那么直线l:yy 2(x怡)与抛物线 C 的位置关系是_ 答：相离；8.过抛物线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，假设线段 PF 与 FQ 的长分别是p、q，那么答:1；29.设双曲线16y_1的右焦点为F，右准线为9

12、2l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于P,Q,R，那么PFR和QFR的大小关系为(填大于、小于或等于)答：等于；10.求椭圆7x24y228上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离答：；1311.直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？答：3,3:a 1；七、焦半径圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离的计算方法：禾U用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。练习:2 21.椭圆红1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为25

13、 163,那么点 P 到右准线的距离为答:3532.抛物线方程为y2 8x，假设抛物线上一点到y轴的距离等于 5，贝陀到抛物线的焦点的距离等于3.假设该抛物线上的点M到焦点的距离是 4,那么点M的坐标为 _ 答：7,(2,4)丨；2 24点 P 在椭圆 1 Z 1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P 的横坐标为_2595.抛物线y2 2x上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，那么线段 AB 的中点到y轴的距离为 _2 26.右焦点，在椭圆上有一点43椭圆L Z 1内有一点P(1,1),F 为M，使MP 2MF之值最小，那么点 M 的坐标为_答：(主6,1)；3八、焦点三角形

14、椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点22问题：常利用第一定义和正弦、P(x0,y。)到两焦点F1,F2的距离分别为12，焦点F1PF2的xa.22b2牙 中 =arccos 1)，且当r1 r2即P为短轴端点时，最大1，面积为S，那么在椭圆笃2br1r2出设 P 是等轴双曲线b c:S b2tan?c|y01，当|y|2.b即P为短轴端点时，Smax的最大值为22那么该双曲线的方程4;为max2 2arccos2_ 答：x ya为3.椭圆x y1的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点，当 PF2 PF10 时，点 P 的横坐标的取值范be;对于双

15、曲线笃 每1的焦点三角形有：942 22a barccos12b1:Sr1r2 sinr1r22以 b cot。2练习:1.短轴长为的周长为26；答:e2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于 A、B 两点，贝UABF23练习:围是答：辽5T；564.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=二三,F1、F2是它的左右焦点，假设过Fi的直线与双曲线的左支交于2A、B 两点，且AB是AF2与BF2等差中项，那么AB=答：&2；5.双曲线的离心率为 2,F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且FfF2 60,SPF1F212 3求2 2该双曲线的标准方程答：1；412九、抛物线中与焦点弦有关

16、的一些几何图形的性质2:1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x 轴的交点，那么/AMF=ZBMF 3设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A1,B1，假设 P 为 A1B1的中点，贝UPA!PB;4假设AO 的延长线交准线于 C,那么 BC 平行于 x轴，反之，假设过B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，贝 U A,O C 三点共线。长的计算十、弦长公式：假设直线,y kx b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B 的横坐标,那么AB=J1 k2x1x2，假设yi,y2分别为 A、B 的纵坐标，那么AB=*1至y2,假设弦 AB

17、y1所在直线方程设为x ky b，那么AB=山k2Y1Y2。特别地，焦点弦过焦点的弦：焦点弦的弦般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。1.过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于AX1,y1，BX2,y2两点，假设 X1+X2=6，那么|AB|等于2.过抛物线 横坐标为2,十一、圆锥曲线的中点弦问题y2 2x焦点的直线交抛物线于_A_ 答：3；:、B 两点，|AB|=10,O 为坐标原点，那么 ABC 重心的遇到中点弦问题常用“韦达定理 或“点差法求解。在椭圆2 22务芯 1中，以Px,yo为中点的弦所在直线的斜率k=-2_b2x；在双曲线务a ba ya

18、b2x2Pxo,y。为中点的弦所在直线的斜率 k=p 丄；在抛物线y 2px(p0中，以Pxo,yo为中点的弦a yo所在直线的斜率 k=卫。yo练习:1.如果椭圆x 2y 82直线1弦被点3690丨x224,2 丨平分，那么这条弦所在的直线方程是答:xa22y=x+1 与椭圆y1(a b 0)相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L:x b22y=0 上，那么此椭圆的离心率为特别提醒：因为务必别忘了检验十二.你了解以下结论吗20是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时,？222仝伸勺渐近线方程为 2L数，丰0。詁 0；221双曲xTa2ab线2为渐近线即

19、与双曲线:2 2y_b3中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为amx nyx2以b71共渐近线的双曲线方程为yax224椭圆、双曲线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦为一，抛物线的通径为2p，焦准距为p；2b22ba为竺，焦准距c通径是所有焦点弦过焦点的弦中最短的弦;a焦点到相应准线的距离6 假设抛物线y 2px(p20)的焦点弦为 ABA(Xi,yJ,Bgy)，那么|AB|XiX2p；x1x27假设 OAOB 是过抛物线y 2px(p 0)顶点 O 的两条互相垂直的弦，那么直线2AB 恒经过定点(2 p,0)13.动点轨迹方程：1求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围

20、;直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0；如动点P到定点F(1,O)和直线xy 12(x 4)(3 x 4)或y 4x(0 x 3)丨；2 23的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程.答:待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 Mm,0(m 0)，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴，过 A、O、2B 三点作抛物线，那么此抛物线方程为答：y 2x；2 2向圆x y 1作两条切线 PA、PB,切点分别为A B,ZAPB=60,那么动点 P 的轨迹方程为_答：x2

21、y2 4丨；2点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线|：X 5 0的距离小于 1,那么点 M 的轨迹方程是 _答：y 16x；(3)动圆与两圆。Mx y 1和。N：x y 8x 12迹为_ 答：双曲线的一支；代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某曲线上，那么可0都外切，那么动圆圆心的轨先用x,y的代数式表示xo,y，再将xo,yo代入曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y 2x21上任一点,1定点为A(0,1)，点M分PA所成的比为 2，那么 M 的轨迹方程为_ 答：y 6x2丄；3参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直

22、接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量参数表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。如1AB 是圆 0 的直径，且|AB|=2a,M 为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为 N,在 OM 上取点P，使|OP|MN I,求点P的轨迹。答：x2 y2 a|y|圆x22假设点P(x1,yd在2 y 1上运动，那么点yj的轨迹方程是2答：y 2x 1(|x|212)丨；3过抛物线x2 4y2的焦点 F 作直线|交抛物线于 A B 两点，那么弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是答：x 2y 2丨；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从向量的特点岀发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子

23、或脱靴子转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子转化。如椭圆x-2a2b21(a b 0)的左、右焦点分别是 F1一 c,0、F2c,0,Q 是椭圆外的动点，满足|RQ|2a.点P是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点T在线段0,|TF2|0.1设x为点P的横坐标，证明F2Q 上，并且满足PT TF2I F1PI a;2求点 T 的轨迹 C 的方程；3试问：在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点M,使厶 F1MF2的面积 S=b2.假设存在，求/F1MF2的正切值；假设不存在，请说明理由2 2答：1略；2x ya2；3当丄ca时不存在;当b2a时存在，此时/F1MF2=2特殊点对轨迹的“完备

24、 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上性与纯粹性的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质数形结合(如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质化解析几何问题为代数问题、范围构造不等关系等等.如果在一条直线上 岀现“三个或三个以上的点，那么可选择应用“斜率或向量为桥梁 转化.“分类讨论思想化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容给出直线的方向向量u 1,k或u m,n；1F+2OA给岀3给出PM4给出APOB与AB相交，等于OA OB过AB的中点；PN0,等于P是MN的中

25、点；AQBPBQ,等于P,Q与AB的中点三点共线；:AB/AC；存在实数，使5 给岀以下情形之一,且6ABAC；假设存在实数1,使 OC给出OPOAOBOB,等于A,B,C三点共线.为定比，即APOA1等于P是AB的定比分点，5PBMB0,等于MA MB,即AMB是直角给出MA MB m是钝角，给出MA MB m0,等于AMB是锐角,给出MA给出MA MB70,等于AMBMP，等于MP是AMB的平分线/MAMB9在平行四边形ABCD中，给出(AB AD)(AB AD)0，等于ABCD是菱形;|，等于ABCD是矩形;10在平行四边形ABCD中，给出|AB AD|AB AD11在ABC中，给出OA

26、 OB OC，等于O是 外心是三角形三边垂直平分线的交点；12在ABC中，给出OA OB线的交点；13在ABC中,给岀OA OB角形三条高的交点；14在ABC中,给岀OP OA2 2 2ABC的外心三角形外接圆的圆心，三角形的OC 0，等于O是ABC的重心三角形的重心是三角形三条中OB OCOC OA，等于O是ABC的垂心三角形的垂心是三(AB(AC|AC|)(R)等于AP通过ABC的内心;|AB|15在ABC中,给岀a OA b三角形的内心是三角形三条角平分线的交点OBc OC 0,等于O是ABC的内心三角形内切圆的圆心,1 一16在ABC中，给出AD AB2AC,等于AD是ABC中BC边的

27、中线;求解圆锥曲线问题的几种措施圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种 定义、根本公式、法那么固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一.紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。2例 1.点 A 3,2，F 2,0，双曲线X2 Z 1,p 为双曲线上一点。31求|PA|PF|的最小值。2解析：如下列图，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知-|PF|即点 P 到准线距离。2|PA|-|PF|PA|PE|AM-2 2二.引入参b2而t而c t c数，简捷明快pc pt参数的引入，尤如化学中的催化剂，

28、能简化和加快问题的解决。例 2.求共焦点 F、共准线|的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如下列图的坐标系，设点 F 到准线|的距离为 p定值，椭圆中心坐标为Mt，0b2再设椭圆短轴端点坐标为 P X，y，那么Xy b.pt2消去 t,得轨迹方程y px三.数形结合，直观显示t 为参数将“数与“形两者结合起来，充分发挥“数的严密性和“形的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能 使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3.解析:x,yR，且满足方程x2厶一3的几何意义为，曲线x 30)，又m-3，求 m 范围。x 3x2y23(y 0)上的点与点

29、一 3，-3，连线的斜率，如下列图3.52四.应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几题中的一些图形性质就和“平几知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4.圆X 32y24和直线ymx的交点为P、Q,那么|OP|OQ|的值为解：OMP OQN|OP|OQ|OM|ON|5五.应用平面向量，简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。XX例 5.椭圆：-221，直线I:16 12 8-1，P 是I上一点，射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q 在 0P 上且24，当点 P 在|上移动时，求点 Q 的

30、轨迹方程。2满足|OQ|OP|OR|分析：考生见到此题根本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便 地解岀。解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ,OP OQ,OQ x，y，那么OR x，y，OP(x，y)|OQ|OP|OR|2|OQ|222|OQ|2点 R 在椭圆上，P 点在直线I上2 2x2422 22y161，丄-12y8xy_xy即2416128化简整理得点 Q 的轨迹方程为：(x 1)2522(y 1)-1直线53y-x上方局部3六.应用曲线系，事半功倍 利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方

31、法和技巧之一。2 2 2 2例 6.求经过两圆x y 6x 40和x y 6y 280的交点，且圆心在直线x y 40上的圆解：设所求圆的方程为:X y2 26x 4(ii(i)X2(X y)y2 6x 63i)，在直线2 26y28)0y(284)0那么圆心为(3解得的方程。Xy 40上72故所求的方程为Xy x 7y2320七.巧用点差，简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。2例 7.过点 A2，1 丨的直线与双曲线X2 1相交于两点 Pi、P2,求线段 P1P2中点的轨迹方程。2解：设R(Xi,yi)，P2(X2，2，那么y)Xi2yi221

32、2X22y2X2)2(xiX2)2(y2yi)(yiy?)2-得(X2Xi)(Xiyiy2设 PiP2的中点为M(x0，y0)，那么X2Xiy2yi2 X0kPiP2又kAMX2Xiy0，而y。iPi、X。2A、M、P2共线i 2x0kPiPk AM，即yRP2中点 M 的轨迹方程是2X2 y24XX0y 02 y0解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题,i 个填空题,i 个解答题),共计 30 分左右，考查的知识点约为 20 个左右.其命题一般紧扣课本，突岀重点，全面考查.选择题和填空题考查直线，圆，圆锥曲线，参数方程和极坐标系中的根底知识 解答题重点考查圆锥曲线中的重

33、要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的根本知识，这点值得考生在复课时强化.例 i 点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t(0ti)，以 AB 为直腰作直角梯形AA B B，使AA垂直且等于 AT,使B B垂直且等于 BT，A B交半圆于 P、Q 两点，建立如下列图的直角坐标系(i)写出直线A B的方程；2计算出点 P、Q 的坐标；3 丨证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点讲解：通过读图，看出A，B点的坐标.Q.上rA Af f(i)显然A i,i t，B i，t，于是直线A B的方程

34、为y tX i;B(-1,0)A A*r0X2 丨由方程组ytx211,解出P(0,1)、Q(2t21 4)；t1 t1t2门0t22t2)3kPT00 tkQT1 t22t1 P1(i由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点需要注意的是，Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式2 2P 发岀的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.,有趣吗？例 2 直线 I 与椭圆丄_1(a b 0)有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SRa2b2为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程.讲解：从直线I所处的位置，设岀直线I的方程，由，直线 l 不过椭圆

35、的四个顶点，所以设直线 代入椭圆方程l 的方程为y kx2 2 2b2x2a2y2a2b2，得化简后，得关于x的一元二次方程于是其判别式(2ka2 m)2由，得=0即a2k2在直线方程y kx,2 2 2b2x2a(k x(a k b)x 2kam(k 0).2、2 2m)2kmxa b.2、2 2mx a m0.b2m2).4(a2k2 b2)(a2 m2 a2b2)4a2b2(a2k2b2 m2.m中,分别令 y=o,x=0,求得R(m,0),S(0,m).kx令顶点 P 的坐标为x,y，由，得m解得m.kyy.代入式并整理，得2a2x21,即为所求顶点 P 的轨迹方程.方程 a_b2yx

36、2形似椭圆的标准方程，你能画出它的图形吗？例 3 双曲线笃 1的离心率e，过A(a,0),B(0,b3b)的直线到原点的距离是-21求双曲线的方程;2 丨直线y kx5(k0)交双曲线于不同的点2C，D 且 C，D 都在以B 为圆心的圆上,求 k 的值.讲解：T 1C皿原点到直线 AB:ab、a2b2、3.abaa故所求双曲线方程为x232把y kx 5 代入 x23y23中消去 y，整理得(1 3k)x30kx 78o 2 20.设C(X1,y1),D(X2,y2),CD的中点是E(x,y)，那么X。X12X215 ky1 矿0kX05,BEkyo1XoX0kyk15 k0,5k即 10,又

37、k0,k27故所求 k=.7为了求出k的值,需要通过消元，想法设法建构k的方程.F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且/F1PF2的最大值为 90，直例 4 椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点，ABF2的面积最大值为 12.1求椭圆 C 的离心率；2求椭圆 C 的方程.讲解：1设|PF-i|门,|PF21 r2,|FIF2|2c,对PF1F2,由余弦定理，得1 2 2(J)22r24 c24a24c24a24c2cos EPFAr24c?-2r21r2122(2)222解出e-e 222 丨考虑直线|的斜率的存在性，可分两种情况:i)当

38、 k 存在时,设 i 的方程为y k(x c)22椭圆方程为笃y_a1,A(X1,y1),B(X2,y2)由 e2c2,b2b于是椭圆方程可转化为X22y2 2c20将代入，消去y得 整理为2k2(X c)2 2c20,X的一元二次方程，得(12k2)X2 4ck2X 2c2(k21)0.2 2c 1 k2那么 X2是上述方程的两根且I X*22X11 2k2，IABI1 k IX2X边上的高h I RFIkI厂也可这样求解1:AB2Isin BRF22c1 k2,12IF1F2I121k IkIS护如刁)#2。c I k I I X122c21心创1 2 k22.2c21T2c2.442k

39、k22c,I ABI.2c,Sii)当 k 不存在时，把直线X c代入椭圆方程得由知 S 的最大值为.2c2由题意得 2c2=12所以c26 2 b212 2故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：126、2下面给岀此题的另一解法，请读者比拟二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：x my c.这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.12e2，2 2c(1匕，2k2y21X20y椭圆的方程为：xl:x 2y 0上.1求此椭圆的离心率;2b1,A(Xl,y1),B(X2,y2)由e.得:a22 2a把代入并整理得:由得一22a2 b2.于是y2是上述方程的两根22c2,b2 c2,于是椭圆

40、方程可化为:2y22c2022b222222-0,a 2b(m2)y 2mcy c2ab02(a2c2a22c2，故椭圆的离心率为2 2 2 2 22|AB|、.&bc,F(b,0),1 m|y2)2(y y从而椭圆的右焦点坐标为2由1知Xy I)24m c 4c(m 2)设F(b,0)关于直线l:x 2y2.2c(1 m)0的对称点为22122im-AB 边上的高2假设椭圆的右焦点关于直线|的对称点的在圆X24上，求此椭圆的方程m2.h2c1 m2yX 1,从而讲解S 1|AB|h2：1A、B2 2c(1 m2两点的坐标分别为)2c21 m22Xm22y12得设1 m2A(X12 2 c,y

41、1,B(X2,y222c2.由)(m 2).那么2 2c21112a bm 22当且仅当/2 2(a b)x、2m=0 取等号2a,2x a即S2 amax2b2-2c2.0,根据韦达定理，得由题意知2c212,于是b22a2,y1y212.2(X.1X2)22b2故当 ABFa b1 2 2,22a b2,2面积最大时椭圆的方程x2为:1.212 2.2线段 AB 的中点坐标为xab2例 5 直线 厂二y x 1与椭圆二a b a bay 0 1x1(a b0)相交于00 b y03两点4,且线段(X0,y),那么0b 21 且一22-20,解得XX。b。5且 y b5AB的中点在直线由得x

42、032422y04,(b)(b)4,b 4，故所求的椭圆方程为552 2x y842 21.例 6。M:x2(y 2)2 1,Q 是 x轴上的动点，QA,QB 分别切OM 于 A,B 两点,41如果|AB|，求直线 MQ 的方程；2求动弦 AB 的中点3P 的轨迹方讲解:1由|AB|-，可得3|MP|,.|MA|2(|/ABI)212(2)21,由射影定得|MB|2|MP|MQ I,得 I MQ I 3,在 RtMOQ中,|OQ|MQ|2|MO|2所以直线 AB 方程是2x.5y 2 _ 532225，故a 5 或 a0;-,(*)0 或 2x、.5y 2.52连接MB,MQ，设P(x,y),

43、Q(a,0),由点 M,P,Q在一直线上,由射影定理得|MB|2|MP|MQ|,即x2(y 2)2、a24 1,(*)72(y)41(y 2).162把*及*消去 a，并注意到y 2，可得x2适时应用平面几何知识，这是快速解答此题的要害所在，还请读者反思其中的微妙例 7 如图，在 Rt ABC 中，/CBA=90 ,AB=2,AC=。DO 丄 AB 于 0 点,OA=OB,D0=2，曲线 E 过 C2点，动点 P 在 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.1建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；2 丨过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，

44、设，试确定实数 的取值范围.DN讲解：1建立平面直角坐标系,如下列图/|PA|+|PB|=|CA|+|CB|吟2 2丘:动点P 的轨迹是椭圆Ta.2,b1,c2x线 E 的方程是 y2.122设直线 L的方程为2 2y kx2,代入曲线 E 的方程X2N(X2,y2),那么2y2(2k1)x 8kx 6 0设 M1X1,yd(8k)24(2k i)6 0,XiX28k2k i622X1X2i)L 与 y 轴重合时,|DM|TDN|k2ii)L 与 y 轴不重合时,由得DMDNXDXMXDXNXiX2x2xi0,Xi0,二 o.(XiX2)2XiX2XiX2X2XiX2)2xix264k26(2

45、k2i)323(2而k23(2右)323(2i63,4i,io2,ioi.的取值范围是13,i.值得读者注意的是，直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕2例 8 直线I过抛物线y 2px(p20)的焦点，且与抛物线相交于对于抛物线的任意给定的一条弦A(Xi,yi)和 B(X2,y2)两点.i求证：4x2p;2求证:CD，直线 I 不是 CD 的垂直平分线2讲解：i易求得抛物线的焦点F(P0).假设 l 丄 x 轴，那么 l 的方程2为X2P24，显然XiX24P.假设I 不垂直于 x 轴，可设y k(X)，代入抛物线方程整理得P2PP(i)x F TP2、2d22设C(,c),D

46、(,d)且c d0,那么X x2的方程为y.综上可知4xix222p假设I过 F，那么02p-，那 CD 的垂直平分线么2.2cd2c2c d2p(X _4pc d2p(2c j)整理得4p)(c d)(2p2d2)2p c d2 2 2d 0.这时I的方程为 y=0，从而I与抛物线2px只相交于原点.而I 与抛物线有两个不同的交点，因此I与 I 不重合，I 不是 CD 的垂直平分线此题是课此题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升复课切忌忘掉课本！.课本是高考试题的生长点，例 9 某工程要将直线公路 I 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和 B，沿着道路 AP、

47、BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m，PB=150m，/APB=60，试说明怎样运土石最省工？讲解：以直线 I 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，那么在I 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为 M，那么|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|MB|=|BP|-|AP|=50,2 2|AB|50 7，-M 在双曲线 上y_1的右支上.2522526故曲线右侧的土石层经道口B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工.y2 a2(a 0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，假设PF2F1F20,|PF1|=6,