高中数学直线与圆的方程知识点总结.pdf

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1、WORD 格式高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：找：直线向上方向、x 轴正方向；平行：=0；范围：0 180。2、斜率：找 k：k=tan（90）；垂直：斜率 k 不存在；范围：斜率 kR。3、斜率与坐标：ktany1y2y2y1x1x2x2x1构造直角三角形（数形结合）；斜率 k 值于两点先后顺序无关；注意下标的位置对。应4、直线与直线的位置关系：l1:ykxb,l:ykxb11222相交：斜率k1k（前提是斜率都存在）2特例-垂直时：0l1x轴，即 k 不存在，则12k；斜率都存在时：1k1k。2平行：斜率都存在时：k1k2,b1b2；斜率都不存在时：两直线都与 x 轴垂直

2、。重合：斜率都存在时：k1k,bb212；二、方程与公式：1、直线的五个方程：点斜式：()yy0kxx 将已知点(x00,y0)与斜率 k 直接带入即可；斜截式：ykxb 将已知截距(0,b)与斜率 k 直接带入即可；yyxx1xxyy1两点式：，(,)将已知两点(,),(,)其中1yxyx 直接 1212122yyxx2121专业资料整理WORD 格式带入即可；xy截距式：1ab将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可；一般式：AxByC0，其中 A、B 不同时为0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可专业资料整理WORD

3、格式3、距离公式：两点间距离：P1P(xx)(yy)21212点到直线距离：d22AxByC0022AB平行直线间距离：dCC1222AB4、中点、三分点坐标公式：已知两点(,),(,)Ax1yBxy122x1xyyAB 中点(,)212x0y：(,)022AB 三分点(,),(,)212s1tst：(,)1222x1x2yy靠近 A 的三分点坐标33x12xy2 y)212(靠近 B 的三分点坐标,33中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P（x0，y0）,对称后的点坐标为 P

4、（x，y），则pp的斜率与已知直线的斜率垂直，且 pp的中点坐标在已知直线上。三、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）：建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。y2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题”：PAPB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：PAPB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；2PBox2PA 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。3、直线必过点：含有一个参数-y=(a-1)x+2a+1=y=(a-1)(x+2)+

5、3令：x+2=0=必过点(-2,3)含有两个参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解=必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析：讨论斜率的存在性：专业资料整理WORD 格式解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）专业资料整理WORD 格式直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。圆的方程6.定义：一个动点到一个定点

6、以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.7.圆的方程表示方法：2yDxEyFDE2C,22，第一种：圆的一般方程x0 其中圆心2EFD42半径 r.2当 D40 时，方程表示一个圆，2E2F2E2FDE.当 D40 时，方程表示一个点,222E2F当 D40 时，方程无图形.第二种：圆的标准方程2()22(xaybr.其中点 C(a,b)为圆心，r 为半径的)圆第三种：圆的参数方程圆的参数方程：xarcosybrsin（为参数）注：圆的直径方程：已知 A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)08.点和圆的位置关系：给定点(,)C:(

7、xa)ybr.2M 及圆2()()x220yM 在圆 C 内(xaybr22020)()M 在圆 C 上（x2200a)(yb)r20M 在圆 C 外(xaybr2220)()09.直线和圆的位置关系：2yb2rr2B22设圆圆 C：()()(0)AxByC；xa；直线 l：0(A0)圆心 C(a,b)到直线 l 的距离AaBbCd.2BA2dr 时，l 与 C 相切；dr 时，l 与 C 相交；，专业资料整理WORD 格式dr 时，l 与 C 相离.5、圆的切线方程：一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特别地，过圆2y r22x 上一点 P(x0

8、,y0)的切线方程为2x0 xyyr.(注:该点在圆上，则切线方程只0有一条)专业资料整理WORD 格式yyk(xx)1010，联立求出k 切线方程.（注：若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则byk(a x)11R2R1过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。）10.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:xC2:x+y+D+y+D22222x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x1x+E1y+F1+y+D+y+D2222+y+D1x+E1y+F1=01x+E1y+F1=022（x2x+E2y+F2）=02

9、2+y+D2222过两圆的交点的直线方程：x1x+E1y+F1-x+y+D+y+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的22+y+D方2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）11.与圆有关的计算：22弦长的计算：AB=2*R-d其中 R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离2-d2AB=（1+k）*X1-X2其中 k 是直线的斜率，X1 与 X2 是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径12.圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设

10、 P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设（Px，y）是在某个圆上的动点，则求x+y 或 x-y 的最值可以转化为：设 T=x+y 或 T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。13.圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内

11、到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：PF PF 2a(2aF F)第二定义：(01)1212PFceeda专业资料整理WORD 格式222、标准方程：xy221(ab0)ab22或yx221(ab0)ab；专业资料整理WORD 格式3、参数方程xaybcossin（为参数）几何意义：离心角4、几何性质：（只给出焦点在 x 轴上的的椭圆的几何性质）、顶点(a,0),(0,b)、焦点(c,0)c、离心率e(0e1)a2a准线：x（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）c5、焦点三角形面积：Sb（设 F1PF2）(推导过程必须会)2tanPFF1226、椭圆面积：S

12、ab椭（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（0）判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1）切点（xy）已知时，0022xy221(ab0)ab22yx221(ab0)ab22xy221(0)abab22yx221(0)abab9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22xy221(0)abab22ya221(0)abab专业资料整理2）切线斜率 k 已知时，xxyy切线00221abyyxx切线00221ab切线ykxakb222切线ykxbka222raex（左加右减）0raey（下加上减）0WORD 格式双曲线PFc1、定义：PF1P

13、F22a第二定义：e(e1)da专业资料整理WORD 格式222、标准方程：xy221(a0,b0)ab22yx221(a0,b0)ab参数方程：xayb3、几何性质顶点(a,0)焦点(c,0)c a bc离心率ea2准线xac渐近线22xy221(a0,b0)ab22yx221(0,0)ababe1222（焦点在 x 轴）（焦点在 y 轴）sec（为参数）用法：可设曲线上任一点 P(asec,btan)tanbyxabyxa22或xy220ab22或yx220ab4、特殊双曲线22、等轴双曲线xy221aa22、双曲线xy221abe2 渐近线 yx22xy221的共轭双曲线ab性质 1：双

14、曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系相离（0）；相切（0）相交（0）；判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式22xy221(0,0)abab点 P 在右支上 rex0a（左加右减）点 P 在左支上r(exa)（左加右减）0专业资料整理WORD 格式22yx221(a0,b0)ab点 P 在上支上 rey0a（下加上减）7、双曲线切线的求法切点 P(x0,y0)已知点 P 在上支上r(eya)（下加上减）022xy221(a0,b0)ab22yx221(a0,b0)ab22xy22

15、1ab22yx221abxxyy切线00221abyyxx切线00221ab22()ykxakbkaykxabkk22(b)a22切线斜率 K 已知b8、焦点三角形面积：Sb（为 F1PF2）2cotPFF122抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质：P 几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为 P标准方程：22(0)ypxp22(0)ypxp图像：范围：x0 x0对称轴：x 轴 x 轴顶点：（0，0）（0，0）pp焦点：（,0）（,022离心率：e1e1p准线：x2标准方程：22(0)xpyp图像：22(0)xpyp）px2范围：y0y0对称轴：y 轴

16、y 轴专业资料整理WORD 格式定点：（0，0）（0，0）焦点：（0，离心率：e1e1准线：2yppy2p2）(0,)p23、参数方程2x2pt（t 为参数方程）22(0)y2ptypxp4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦2椭圆：双曲线通径长2b抛物线通径长 2Pa5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点）2）相切（有一个交点）；3）相离（没有交点）6、抛物线切线的求法1）切点 P(x,y)00已知：22(0)ypxp 的切线；y0yp(xx0)2）切线斜率 K 已知：22(0):pypxpykx2k22(0):pypxpykx2k222(0):xpypykx2pk2pk22(

17、0):xpypykx2此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用附加：弦长公式：ykxb 与曲线交与两点 A、B 则12dABxx1kyy121212k解题指导：轨迹问题：(一)求轨迹的步骤1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点 p（x，y）2、立式：写出适条件的 p 点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式 f（x，y）=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上专业资料整理WORD 格式（二）求轨迹的方法专业资料整理WORD 格式1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线

18、的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。2xxxx。弦长问题：|AB|=(1k)()412122弦的中点问题：中点坐标公式-注意应用判别式。.求曲线的方程1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例 1（1994 年全国）已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0

19、，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。=2px(p0)设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y./设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A、B22/16k8(kA/（k1,2k（,2（21k1），B2k2kk11525得：k-k-1=0.解得：k=,p=.2-k-1=0.解得：k=2522，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：1)/）。因为 A、B均在抛物线上，代入，消去 p，/、B均在抛物线上，代入，消去 p，1所以直线 L 的方程为：y=15425x,抛物线 C 的方程为 y=2=25x.2曲线的形状未知-求轨迹

20、方程例 3（1994 年全国）已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆C：x2+y=1,动M2点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,N求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。专业资料整理WORD 格式分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点 M 组成的OQ专业资料整理WORD 格式集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|可得：(-1)(x+y)-4 x+(1+4)=0.当=1 时它表示一条直线；当1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。22222=|MO|-|ON|=|MO|-1，将 M 点坐标代入，2222.研究圆锥曲线有关的问题B1有关最值问

21、题C例 6(1990 年全国)设椭圆中心为坐标原点，长轴在x 上，离心率，OAx）到这个椭圆上的点的最远距离是 7，3已知点（P0，2求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点 P 到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。22xy设椭圆方程为 122ab，则由 e=222223得：a=4b，所以 x=4b-4y.2222=4b，所以 x=4b-4y2设 Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:2)3x(y=211若 b，则-22与 b0)，过M（a,0）且斜率为1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、专业资料整

22、理WORD 格式B，|AB|2p。（1）求 a 的取值范围；专业资料整理WORD 格式（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线 L 的方程为：y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得：设直线 L 与抛24(ap)4a0物

23、线两交点的坐标分别为 A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又 y1=x1-a,y2=x2-xx2(ap)12a,2x xa1 22228p(p2a)|AB|(xx)(yy)2(xx)4x1x21212120|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p,pp解得:.a24(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：xxyy(xa)(xa)1212123,.xapy3p2222222所以|QM|=(a+p-a)+(p-0)=2p.又MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，122|22AB|QN|p|AB|p2p2p,即NAB 面积的最大值为22所以 SNAB=22P。专业资料整理