ndfclAAA相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线).pdf

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1、相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“一、添加平行线构造“A A”“”“X X”型”型例例 1 1：如图，D 是ABC 的 BC 边上的点，BD：DC=2：1，E 是 AD 的BE：EF 的值.解法一：过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P，则（中点，求：PE=EF BP=2PF=4EF 所以 BE=5EF BE：EF=5：1.解法二：过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q，BE：EF=5：1

2、.解法三：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S，解法四：过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T，BEBT5BD=2DCBE：EF=5：1.；BT DC，变式变式：如图，D 是ABC 的 BC 边上的点，BD：DC=2：1，E 是 AD 的中点,连结 BE 并延长交 ACEFTC2于 F,求 AF：CF 的值.解法一：过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P，解法二：过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q，解法三：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S，解法四：过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T，例例 2 2：如图，在ABC 的 AB 边和 A

3、C 边上各取一点 D和 E，且使 ADAE，DE 延长线与 BC 延长线相交于 F，求证：（证明：过点C 作 CG 分析：分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.方法一：过 E 作 EM 方法二：过 D 作 DN 例例 4 4：在ABC 中，D为 AC上的一点，E 为 CB 延长线点，BE=AD，DE 交 AB 于 F。BC=ACDF|证明：过 D 作 DGBC 交 AB 于 G，则DFG 和EFB 相似，DGDFDFDGBEAD,由 DGBC 可得ADG 和ACBEF相似，

4、即BEEFADEFBCACDF.例例 5 5：已知点 D 是 BC 的中点，过 D 点的直线交 AC 于 E,长线于 F,】求证：分析：分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论.上的一求证：EF交 BA 的延（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段 EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.）例例 6 6：已知：在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BD 是高，求证：BC2=2ACCD分析：分析：本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段 2 倍是哪一线段.|例例 7 7:如图，ABC 中，AD 是 BC 边上中线，E 是AC上一点，连接 ED 且交 AB 的延

5、长线于 F 点.求证：AE：EC=AF：BF.分析：分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与 2 倍关系的 结论，证明所得结论.找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似.例例 8 8：在ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F,求证：BP=PEPF分析：分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.二、作垂线构造相似直角三角形作垂线构造相似直角三角形例例 9 9：如图从ABCD 顶点 C

6、 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，分别为 E、F，求证：AB AE AD AF AC2证明：过 B 作 BMAC 于 M，过 D 作 DNAC 于 N AM：AE=AB：AC AE AC AM（1）AB【CFAB,延长也可以通过似证明.另外垂足（1）+（2）得例例 1010：ABC 中，AC=BC，P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点（不是中点），MN 过 Q 且 MNCP，交 AC、BC 于 M、N，求证：证明：过 P 作 PEAC 于 E，PFCB 于 F，则 CEPF 为矩形/PFEC AB=45 RtAEP=RtPFBPEPE EC=PFPA（1）PBPFEC

7、在ECP 和CNM 中 CPMN 于 Q QCN+QNC=90又 QCN+QCM=90 MCQ=CMRtPECRtMCNEPECEP即（2）CMCNECCNPACM由（1）（2）得（CNQPBCN三、作延长线构造相似三角形三、作延长线构造相似三角形例例 1111.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，若BCD 的平分线 CHABH，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求HBC 的面积。分析：分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题为相似三角形的面积比而加以解决。*于点转化解：解：延长 BA、CD 交于点 PCHAB，CD 平分BCDCB=CP，且 BH=P

8、HBH=3AHPA：AB=1：2PA：PB=1：ADBCPADSPAD：SPBC 9PBC1：-例例 1212.如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FG 交 AB 于 G，求证：FG=CFBF分析：分析：欲证式即由“三点定形”，BFG 与CFG 会相似吗显然不可能。（因为BFG 为 Rt），但由 E 为 CD 的中点，可设法构造一个与BFG 相似的三角形来求解。不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于AFFGFHFGFH又 ED=ECFG=FH 又易证 RtAECFHEDH，则RtECGFBEDECCFFGFHBFFGFH=CF

9、BFFG=FHFG2=CFBF四、利用中线的性质构造相似三角形四、利用中线的性质构造相似三角形例例 1313：如图，中，ABAC，AEBC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC.解：解：取 BC 的中点 M，连 AMABAC AM=CM 1=C又 BD=DCDBC=DCBCAM=C=DBCMACDBCMCAC1又 DC=1AC MCMC=BCBC1BC2（1）又DCRtAECBCRtBAC又 2EC=1 ACDC2CE2BC BC（2）AC由（121AC）（42）得，AC 32小结：小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC 中点 M，构造MACDBC 是解题关键3