2015年全国高考文科数学试题及参考答案-新课标.pdf

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1、绝密启封并使用完毕前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷 一、选择题：本大题共 1

2、2 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,12,14,则集合 AB 中元素的个数为 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点 A（0,1），B（3,2），向量ACuuu r=（-4，-3），则向量BCuuu r=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数 z 满足（z-1）i=i+1，则 z=（A）-2-I（B）-2+I（C）2-I（D）2+i（4）如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5

3、中任取 3 个不同的数，则 3 个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个焦点，则|AB|=（A）3（B）6（C）9（D）12（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，

4、圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛（7）已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n项和。则S8=4S4，a10=（A）172（B）192（C）10（D）12（8）函数 f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为（A）（k-14,k+-34）,kZ（A）（2k-14,2k+-34）,kZ（A）（k-14,k+-34）,kZ（A）（2k-14,2k+-34）,kZ（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）已知函数f(x)=2x1 2,1l

5、og2(x+1),1，且 f（a）=-3，则 f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20，则 r=（A）1(B)2(C)4(D)8（12）设函数 y=f（x）的图像关于直线 y=-x 对称，且 f（-2）+f（-4）=1，则 a=（A）-1（B）1（C）2（D）4 第卷 注意事项：第卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都

6、必须作答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）在数列an中，a1=2,an+1=2an,Sn为an的前 n 项和。若-Sn=126，则 n=.（14）已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则 a=.（15）x,y 满足约束条件，则 z=3x+y 的最大值为.（16）已知 F 是双曲线 C：x2-82y=1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A（0,66）.当APF 周长最小是，该三角形的面积为 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）

7、已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC（）若 a=b，求 cosB；（）设 B=90，且 a=2，求ABC 的面积（18）（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若ABC=120，AEEC，三棱锥ACD 的体积为36，求该三棱锥的侧面积（19）（本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费x1和年销售量y1

8、（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1=x1,，wu r=1881iw1（）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一

9、组数据（u1v1）,（u2v2）.（unvn）,其回归线 v=u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（20）（本小题满分 12 分）已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.（1）求 K 的取值范围；（2）若OMuuuu rONuuu r=12，其中 0 为坐标原点，求MN.（21）.（本小题满分 12 分）设函数x。（）讨论()f x的导函数()fx零点的个数；（）证明：当0a 时，2()2lnf xaaa。请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。（22）（本小题满分

10、10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是O的直径，AC 是O的切线，BC 交O于点 E。（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O的切线；（）若 CA=3CE，求ACB 的大小。（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中。直线1C:2x ，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2C MNV的面积（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2|,0f xxxa a.（）当1

11、a 时，求不等式()1f x 的解集；（）若()f x的图像与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围 2015 年文科数学参考答案 一选择题 （1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二填空题 （13）6 （14）1 （15）4 （16）12 6 三解答题（17）解：（）由题设及正弦定理可得22bac 又ab，可得2,2bc ac 由余弦定理可得2221cos24acbBac6 分（）由（）知22bac 因为90B o，由勾股定理得222acb 故222acac，得2ca 所以ABCV的面积为 112 分（

12、18）解：（）因为四边形 ABCD 为菱形，所以ACBD 因为BE 平面ABCD，所以ACBE，故AC 平面BED 又AC 平面AEC，所以平面AEC 平面BED5 分（）设ABx，在菱形ABCD中，由120ABCo，可得 因为AEEC，所以在Rt AECV中，可得32EGx 由BE 平面ABCD，知EBGV为直角三角形，可得22BEx 由已知得，三棱锥EACD的体积3116632243E ACDVAC GD BExgg 故2x 9 分 从而可得6AEECED 所以EACV的面积为 3，EADV的面积与ECDV的面积均为5 故三棱锥EACD的侧面积为32 512 分（19）解：（）由散点图可以

13、判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型2 分（）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于 所以y关于w的线性回归方程为100.668yw，因此y关于x的线性回归方程100.668yx6 分（）（）由（）知，当49x 时，年销售量y的预报值 年利润z的预报值 576.60.24966.32z 9 分（）根据（）的结果知，年利润z的预报值 所以，当13.66.82x，即46.24x 时，z取得最大值，故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大12 分（20）解：（）由题设，可知直线l的方程为1ykx 因为l与C交于两点，所以2|23 1|11kk 解得474733

14、k 所以k的取值范围为47 47(,)335 分（）设1122(,),(,)M x yN xy 将1ykx代入方程22(2)(3)1xy，整理得 所以1212224(1)7,11kxxx xkk7 分 由题设可得24(1)8121kkk，解得1k，所以l的方程为1yx 故圆心C在l上，所以|2MN 12分（21）解：（）()f x的定义域为(0,)，2()2(0)xafxexx 当0a 时，()0fx，()fx没有零点；当0a 时，因为2xe单调递增，ax单调递增，所以()fx在(0,)单调递增，又()0fa，当b满足04ab且14b 时，()0f b，故当0a 时，()fx存在唯一零点6 分

15、（）由（），可设()fx在(0,)的唯一零点为0 x，当0(0,)xx时，()0fx；当0(,)xx时，()0fx 故()f x在0(0,)x单调递减，在0(,)x 单调递增，所以当0 xx时，()f x取得最小值，最小值为0()f x 由于02020 xaex，所以00022()2ln2ln2af xaxaaaxaa 故当0a 时，2()2lnf xaaa12 分（22）解：（）连结AE，由已知得，,AEBC ACAB 在Rt AECV中，由已知得，DEDC，故DECDCE 连结OE，则OBEOEB 又90ACBABCo，所以90DECOEBo，故90OEDo，DE是Oe的切线5 分（）设1

16、,CEAEx，由已知得22 3,12ABBEx 由射影定理可得，2AECE BEg，所以2212xx，即42120 xx 可得3x，所以60ACBo10 分（23）解：（）因为cos,sinxy，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4 sin405 分（）将4代入22cos4 sin40，得23 240，解得122 2,2，故122，即|2MN 由于2C的半径为 1，所以2C MNV的面积为1210 分（24）解：（）当1a 时，()1f x 化为|1|2|1|10 xx 当1x 时，不等式化为40 x，无解；当11x 时，不等式化为320 x，解得213x；当1x 时，不等式化为20 x，解得12x 所以()1f x 的解集为2|23xx5 分（）由题设可得，1 2,1,()31 2,1,12,.xa xf xxaxaxa xa 所以函数()f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，(,1)C a a，ABCV的面积为22(1)3a 由题设得22(1)63a，故2a 所以a的取值范围为(2,)10 分