最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论.pdf
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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一一.概念概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1 1、周期函数的定义:、周期函数的定义:对于f(x)定义域内的每一个x,都存在非零常数T,使得f(xT)f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周
2、期性,T叫做f(x)的一个周期,则kT(kZ,k 0)也是f(x)的周期,所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。分段函数的周期:分段函数的周期:设y f(x)是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:y f(x),xa,b,T b a。把y f(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移,即得y f(x)在其他周期的图像:y f(x kT),xkT a,kT b。xa,bf(x)f(x)f(x kT)x kT a,kT b2 2、奇偶函数:、奇偶函数:设设y f(x),xa,b或xb,a a,b若若f(x)f(x),则称y f(x)为奇函数;若若f(x)f(x)则称
3、y f(x)为偶函数。分段函数的奇偶性分段函数的奇偶性3 3、函数的对称性:、函数的对称性:(1 1)中心对称即点对称:)中心对称即点对称:点A(x,y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称;点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称;函数y f(x)与2b y f(2a x)关于点(a,b)成中心对称;函数b y f(a x)与b y f(a x)关于点(a,b)成中心对称;函数F(x,y)0与F(2a x,2b y)0关于点(a,b)成中心对称。(2 2)轴对称:对称轴方程为:)轴对称:对称轴方程为:Ax By C 0。点A(x,y)与B(x/,y/)B(x
4、直线2A(Ax By C)2B(Ax By C),y)关 于2222A BA BAx By C 0成轴对称;函数y f(x)与y 2B(Ax By C)2A(Ax By C)f(x)关于直线2222A BA BAx By C 0成轴对称。F(x,y)0与F(x 2A(Ax By C)2B(Ax By C),y)0关于直线A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。二、二、函数对称性的几个重要结论函数对称性的几个重要结论(一)函数(一)函数y f(x)图象本身的对称性(自身对称)图象本身的对称性(自身对称)若f(xa)f(xb),则f(x)具有周期性;若f(a x)f(b x),则f(x)具
5、有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性内同表示周期性,内反表示对称性”。1 1、f(a x)f(b x)y f(x)图象关于直线图象关于直线x(a x)(b x)a b对称对称22推论推论 1 1:f(a x)f(a x)y f(x)的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称推论推论 2 2、f(x)f(2a x)y f(x)的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称推论推论 3 3、f(x)f(2a x)y f(x)的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称2 2、f(a x)f(b x)2cy f(x)的图象关于点的图象关于点(a b,c)对称对称2推论 1、f(a x)f(a x)2
6、by f(x)的图象关于点(a,b)对称推论 2、f(x)f(2a x)2by f(x)的图象关于点(a,b)对称推论 3、f(x)f(2a x)2by f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y f(x)与y f(x)图象关于 Y 轴对称2、奇函数y f(x)与y f(x)图象关于原点对称函数3、函数y f(x)与y f(x)图象关于 X 轴对称4、互为反函数y f(x)与函数y f1(x)图象关于直线y x对称5.5.函数函数y f
7、(a x)与与y f(b x)图象关于直线图象关于直线x b a对称对称2推论 1:函数y f(a x)与y f(a x)图象关于直线x 0对称推论 2:函数y f(x)与y f(2a x)图象关于直线x a对称推论 3:函数y f(x)与y f(2a x)图象关于直线x a对称(三)(三)抽象函数的对称性与周期性抽象函数的对称性与周期性1 1、抽象函数的对称性、抽象函数的对称性性质性质 1 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(ax)f(ax)(2)f(2ax)f(x)(3)f(2ax)f(x)性质性质 2 2 若函数 yf(x)关于点(a,0)中
8、心对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(ax)f(ax)(2)f(2ax)f(x)(3)f(2ax)f(x)易知,yf(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或 2)当 a0 时的特例。2 2、复合函数的奇偶性、复合函数的奇偶性定义定义 1 1、若对于定义域内的任一变量 x,均有 fg(x)fg(x),则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义定义 2 2、若对于定义域内的任一变量 x,均有 fg(x)fg(x),则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明:说明:(1 1)复数函数复数函数 fg(x)fg(x)为偶函数,为偶函数,则则 fg(fg(x)x)fg(x)fg(x)而不是而不是 ffg(x)
9、g(x)fg(x)fg(x),复合函数,复合函数 y yfg(x)fg(x)为奇函数,则为奇函数,则 fg(fg(x)x)fg(x)fg(x)而不是而不是ffg(x)g(x)fg(x)fg(x)。(2 2)两个特例:)两个特例:y yf(xf(xa)a)为偶函数,则为偶函数,则 f(xf(xa)a)f(f(x xa)a);y yf(xf(xa)a)为奇函数,则为奇函数,则 f(f(x xa)a)f(af(ax)x)(3 3)y yf(xf(xa)a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数为偶(或奇)函数,等价于单层函数 y yf(x)f(x)关于直线关于直线 x xa a 轴对称(或关于点(轴对称(
10、或关于点(a a,0 0)中心对称)中心对称)3 3、复合函数的对称性、复合函数的对称性性质性质 3 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x(ba)/2 轴对称性质性质 4 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点(ba)/2,0)中心对称推论推论 1 1、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论推论 2 2、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4 4、函数的周期性、函数的周期性若 a 是非零常数,若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立,则函数 yf(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。f(xa)
11、f(xa)f(xa)f(x)f(xa)1/f(x)f(xa)1/f(x)5 5、函数的对称性与周期性、函数的对称性与周期性性质性质 5 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T2|ab|性质性质 6 6、若函数 yf(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T2|ab|性质性质 7 7、若函数 yf(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线xb 轴对称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T4|ab|6 6、函数对称性的应用、函数对称性的应用(1 1)若)若y f(x)关于点(h,k)对称,则x
12、x 2h,y y 2k,即即/f(x)f(x/)f(x)f(2h x)2kf(x1)f(x2)f(xn)f(2h xn)f(2h xn1)f(2h x1)2nk(2 2)例题)例题 1 1、f(x)1 1关于点(,)对称:f(x)f(1 x)1;x2 2a aax4x11)对称:f(x)f(x)2f(x)x12x1关于(0,2f(x)11 11(R,x 0)关于(,)对称:f(x)f()12 2xx1 2 2、奇函数的图像关于原点(、奇函数的图像关于原点(0 0,0 0)对称:)对称:f(x)f(x)0。3 3、若若f(x)f(2a x)或f(a x)f(a x),则y f(x)的图像关于直线
13、的图像关于直线x a对对称。设称。设f(x)0有n个不同的实数根,则x1 x2 xn x1(2a x1)x2(2a x2)xn(2a xn)na.22(当n 2k 1时,必有x1 2a x1,x1 a)(四)常用函数的对称性(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论三、函数周期性的几个重要结论1、f(xT)f(x)(T 0)y f(x)的周期为T,kT(kZ)也是函数的周期2、f(xa)f(xb)y f(x)的周期为T ba3、f(x a)f(x)y f(x)的周期为T 2a4、f(x a)1y f(x)的周期为T 2af(x)1y f(x)的周期为T 2af(x)5、f(x a)6、
14、f(x a)1 f(x)y f(x)的周期为T 3a1 f(x)7、f(x a)1y f(x)的周期为T 2af(x)18、f(x a)1 f(x)y f(x)的周期为T 4a1 f(x)9、f(x 2a)f(x a)f(x)y f(x)的周期为T 6a10、若p 0,f(px)f(px pp),则T.2211、y f(x)有两条对称轴x a和x b(b a)y f(x)周期T 2(b a)推论:偶函数y f(x)满足f(a x)f(a x)y f(x)周期T 2a12、y f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0)(b a)y f(x)周期T 2(b a)推论:奇函数y f(x)满足f(a
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