习题反常积分的收敛判别法.pdf

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1、 习题反常积分的收敛判别法 用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 证明比较判别法（定理 8.2.2）；举例说明，当比较判别法的极限形式中l 0或 时，adxx)(和adxxf)(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解（1）定理 8.2.2（比较判别法）设在,)a 上恒有)()(0 xKxf，其中K是正常数.则 当adxx)(收敛时adxxf)(也收敛；当adxxf)(发散时adxx)(也发散.证 当adxx)(收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0，aA 0，0,AAA：KdxxAA)(.于是 AAdxxf)(AA

2、dxxK)(，所以adxxf)(也收敛；当adxxf)(发散时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理，00，aA 0，0,AAA：KdxxfAA)(.于是 AAdxx)(0)(1AAdxxfK，所以adxx)(也发散.（2）设在,)a 上有0)(,0)(xxf，且0)()(limxxfx.则当adxxf)(发散时，adxx)(也发散；但当adxxf)(收敛时，adxx)(可能收敛，也可能发散.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品279 例如21)(xxf，)20(1)(pxxp，则0)()(limxxfx.显然有 1)(dxxf收敛，而对于1)(dxx，则当21

3、p时收敛，当10 p时 发散.设在,)a 上有0)(,0)(xxf，且)()(limxxfx.则当adxxf)(收敛时，adxx)(也收敛；但当adxxf)(发散时，adxx)(可能发散，也可能收敛.例如xxf1)(，)21(1)(pxxp，则)()(limxxfx.显然有 1)(dxxf发散，而对于1)(dxx，则当121 p时发散，当1p时收敛.证明 Cauchy判别法及其极限形式（定理 8.2.3）.证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法）设在,)a (,)0上恒有f x()0，K是正常数.若f xKxp()，且p 1，则adxxf)(收敛；若f xKxp()，且p 1，则adxxf

4、)(发散.推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在,)a (,)0上恒有f x()0，且 lim()xpx f xl，则 若0 l，且p 1，则adxxf)(收敛；若0 l，且p 1，则adxxf)(发散.证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x取为px1.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品280 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：11321xexdxxln;131tanarcdxxx;110 xxdx|sin|;xxdxqp11（Rqp,）.解（1）当x时，1ln123xexx231x，所以积分11321xexd

5、xxln收敛.（2）当x时，31arctanxx32x，所以积分131tanarcdxxx收敛.（3）因为当0 x时有 xxx11sin11，而积分dxx011发散，所以积分110 xxdx|sin|发散.（4）当x时，pqxx1qpx1，所以在1 qp时，积分xxdxqp11收敛，在其余情况下积分 xxdxqp11发散.证明：对非负函数f x()，)cpv(f x dx()收敛与f x dx()收敛是等价的.证 显然，由f x dx()收敛可推出)cpv(f x dx()收敛，现证明当0)(xf时可由)cpv(f x dx()收敛推出f x dx()收敛.用心整理的精品 word文档，下载即

6、可编辑！精心整理，用心做精品281 由于)cpv(f x dx()收敛，可知极限 Alim)(AFAlimAAdxxf)(存在而且有限，由Cauchy收敛原理，0，00A，0,AAA：)()(AFAF，于是0,AAA与0,ABB，成立 AAdxxf)()()(AFAF 与 BBdxxf)()()(BFBF，这说明积分0)(dxxf与0)(dxxf都收敛，所以积分f x dx()收敛.讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：lnlnlnsinxxxdx2;sin xxdxp1（Rp）;1tanarcsindxxxxp（Rp）;sin()xdx20;anmxdxxqxpsi

7、n)()(（pxm()和qxn()分别是m和n次多项式，qxn()在),ax范围无零点.）解（1）因为AxdxAF2sin)(有界，xxlnlnln在),2 单调，且0lnlnlnlimxxx，由 Dirichlet判别法，积分lnlnlnsinxxxdx2收敛；由于xxxsinlnlnln xxx2sinlnlnln)2cos1(lnlnln21xxx，而积分 2lnlnlndxxx发散，22coslnlnlnxdxxx收敛，所以积分2sinlnlnlndxxxx发散，即积分lnlnlnsinxxxdx2条件收敛.（2）当1p时，ppxxx1sin，而11dxxp收敛，所以当1p时积分 si

8、n xxdxp1绝对收敛；用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品282 当10 p时，因为AxdxAF1sin)(有界，px1在),1 单调，且01limpxx，由 Dirichlet 判别法，积分sin xxdxp1收敛；但因为当10 p时积分1|sin|dxxxp发散，所以当10 p时积分sin xxdxp1条件收敛.（3）当1p时，pxxxarctansinpx2，而11dxxp收敛，所以当1p时积分1tanarcsindxxxxp绝对收敛；当10 p时，因为AxdxAF1sin)(有界，pxxarctan在),1 单调，且0arctanlimpxxx，由 Di

9、richlet判别法，积分1arctansindxxxxp收敛；但因为当10 p时积分1sinarctandxxxxp发散，所以当10 p时积分 1arctansindxxxxp条件收敛.（4）令2xt，02)sin(dxx02sindttt，由于02sindttt条件收敛，可知积分sin()xdx20条件收敛.（5）当1 mn且x充分大时，有xxqxpnmsin)()(2xK，可知当1 mn时积分anmxdxxqxpsin)()(绝对收敛.当1 mn时，因为AxdxAF1sin)(有界，且当x充分大时，)()(xqxpnm单调且0)()(limxqxpnmx，由 Dirichlet判别法可知

10、anmxdxxqxpsin)()(收敛；但由于当用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品283 x时，)()(xqxpnmxa，易知1sin)()(dxxxqxpnm发散，所以当1 mn时，积分anmxdxxqxpsin)()(条件收敛.当1 mn时，由Axqxpnmx)()(lim，A为非零常数、或，易知积分anmxdxxqxpsin)()(发散.设f x()在,a b只有一个奇点xb，证明定理 8.2.3和定理 8.2.5.定理 8.2.3（Cauchy判别法）设在,)a b上恒有f x()0，若当x属于b的某个左邻域,)bb 0时，存在正常数K，使得 f xKbx

11、p()()，且p 1，则f x dxab()收敛；f xKbxp()()，且p 1，则f x dxab()发散.证（1）当p 1时，积分bapdxxb)(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，0，0，),0(,：Kdxxbbbp)(1.由于)(bbdxxf)(bbpdxxbK，所以f x dxab()收敛.（2）当1p时，积分bapdxxb)(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理，00，0，),0(,：Kdxxbbbp0)(1.由于)(bbdxxf0)(bbpdxxbK，所以f x dxab()发散.推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在,)a b上恒有f x()0，且 用心整

12、理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品284 lim()()xbpbxf xl，则 若0 l，且p 1，则f x dxab()收敛；若0 l，且p 1，则f x dxab()发散.证（1）由lim()()xbpbxf xl （lp0,1），可知 0，),(bbx：pxblxf)(1)(，再应用定理8.2.3的（1）.（2）由lim()()xbpbxf xl （lp0,1），可知 0，),(bbx：pxblxf)(2)(，再应用定理8.2.3的（2）.定理 8.2.5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dxab()()收敛：（Abel 判别法）f x dxab()收敛

13、，g x()在,)a b上单调有界；（Dirichlet 判别法）badxxfF)()(在,0(ab 上有界，g x()在,)a b上单调且0)(limxgbx.证（1）设Gxg|)(|，因为f x dxab()收敛，由 Cauchy收敛原理，0，0，),(,bbAA：GdxxfAA2)(.由积分第二中值定理，AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(AAdxxfGdxxfG)()(22.（2）设MF|)(|，于是),baAA，有MdxxfAA2)(.因为0)(limxgbx，0，0，),(bbx，有Mxg4)(.由积分第 用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！

14、精心整理，用心做精品285 二中值定理，AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(|)(|2|)(|2AgMAgM22.所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy收敛原理，都有adxxgxf)()(收敛的结论.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：112301xxdx();ln xxdx2011;12202cossinxxdx;102cos xxdxp;|ln|xdxp01;xxdxpq11011();1011|ln|)1(dxxxxqp.解（1）因为32)1(1xx321x)0(x，32)1(1xx31)1(1x)1(x，所以积分112301xxdx()收敛.（2）因

15、为1lnlim21xxx21，且对任意10，01lnlim20 xxxx，即当0 x充分小时，有xxx11ln2，所以积分ln xxdx2011收敛.（3）因为xx22sincos121x)0(x，xx22sincos12)2(1x)2(x，所以积分12202cossinxxdx发散.（4）因为pxxcos1221px)0(x，所以当3p时积分102cos xxdxp收敛，当3p时积分102cos xxdxp发散.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品286（5）首先对任意的10与任意的p，有0|ln|lim0pxxx，即当0 x充分小时，有xxp1ln；且 pxln

16、px)1(1)1(x.所以当1p时，积分|ln|xdxp01收敛，当1p时，积分|ln|xdxp01发散.（6）11)1(qpxxpx11)0(x，11)1(qpxxqx1)1(1)1(x，所以在0,0qp时积分xxdxpq11011()收敛，在其余情况下积分 xxdxpq11011()发散.（7）|ln|)1(11xxxqpqx)1(1)1(x，且 0|)ln|)1(lim11210 xxxxqppx，即当0 x充分小时，有 21111ln)1(pqpxxxx，所以当1,0qp时积分1011|ln|)1(dxxxxqp收敛，在其余情况下积分1011|ln|)1(dxxxxqp发散.讨论下列反

17、常积分的敛散性：xxxdxpq1101ln(Rqp,);112230 x xxdx()();ln()10 xxdxp;0tanarcdxxxp;2/0tandxxxp;xdxpx10e;10 xxdxpq;2ln1dxxxqp.解（1）xxxdxpq1101ln2101lndxxxp2101lndxxxq12111lndxxxxqp.当0p，0q时积分2101lndxxxp与积分2101lndxxxq显然收敛，且当1x时，用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品287 xxxqpln11)1(1ln1)1(11)1(111xxxqpqpxxqp1)1)(，即12111l

18、ndxxxxqp不是反常积分，所以积分xxxdxpq1101ln收敛.（2）032)2()1(1dxxxx1032)2()1(1dxxxx2132)2()1(1dxxxx 232)2()1(1dxxxx.因为 32)2()1(1xxx313121x)0(x，32)2()1(1xxx32)1(1x)1(x，所以积分1032)2()1(1dxxxx收敛；因为 32)2()1(1xxx32)1(1x)1(x，32)2()1(1xxx313)2(121x)2(x，所以积分2132)2()1(1dxxxx收敛；因为 32)2()1(1xxx313)2(121x)2(x，32)2()1(1xxx341x)

19、(x，所以积分232)2()1(1dxxxx收敛.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品288 由此可知积分112230 x xxdx()()收敛.（3）0)1ln(dxxxp10)1ln(dxxxp1)1ln(dxxxp.由pxx)1ln(11px)0(x，可知当2p时，积分10)1ln(dxxxp收敛，当2p时，积分10)1ln(dxxxp发散；当1p时，0)1ln(lim213ppxxxx，即当0 x充分大时，有 2131)1ln(ppxxx，其中1213p，可知当1p时，积分1)1ln(dxxxp收敛，当1p时，积分1)1ln(dxxxp发散；综上所述，当21

20、 p时，积分0)1ln(dxxxp收敛，在其余情况下积分0)1ln(dxxxp发散.（4）0tanarcdxxxp10tanarcdxxxp1tanarcdxxxp.由pxxarctan11px)0(x,可知当2p时积分10tanarcdxxxp收敛；由pxxarctanpx2)(x，可知当1p时积分1tanarcdxxxp收敛.所以当21 p时积分0tanarcdxxxp收敛，在其余情况下积分 0tanarcdxxxp发散.（5）2/0tandxxxp4/0tandxxxp2/4/tandxxxp.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品289 由pxxtan211p

21、x)0(x，可知当23p时积分4/0tandxxxp收敛，当23p时积分4/0tandxxxp发散；由pxxtan122()2ppx)2(x，可知积分2/4/tandxxxp收敛.所以当23p时积分2/0tandxxxp收敛，当23p时积分 2/0tandxxxp发散.（6）xdxpx10e101edxxxp11edxxxp.由于积分11edxxxp收敛，及xpex1px11)0(x，所以当0p时积分xdxpx10e收敛，当0p时积分xdxpx10e发散.（7）10 xxdxpq101dxxxqp11dxxxqp.当qp 时，显然积分10 xxdxpq发散；当qp 时，由于 qpxx1),mi

22、n(1qpx)0(x，qpxx1),max(1qpx)(x，所以当1),min(qp，且1),max(qp时积分10 xxdxpq收敛，其余情况下积分10 xxdxpq发散.（8）设1p，则对任意的q，当x充分大时，有211ln1pqpxxx，因为121p，可知积分2ln1dxxxqp收敛.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品290 设1p，则对任意的q，当x充分大时，有211ln1pqpxxx，因为121p，可知积分2ln1dxxxqp发散.设1p，令tx ln，则2ln1dxxxqp2lnqtdt，由此可知当1p 或 1,1qp 时积分2ln1dxxxqp收敛，

23、在其余情况下积分2ln1dxxxqp发散.讨论下列反常积分的敛散性：xxdxp1201;xxxdxqpsin11(p 0);0sincosedxxxpx;0sin2sinedxxxpx;(5)1021cos1dxxxp；(6)11sindxxxxp (0p).解（1）xxdxp120110211dxxxp1211dxxxp.由211xxppx11)0(x，211xxppx31)(x，可知当20 p时积分xxdxp1201收敛，在其余情况下积分xxdxp1201发散.（2）当1 pq时，由qppqxxxx11|sin|，可知积分xxxdxqpsin11绝对收 敛.当pqp1时，因为AxdxAF1

24、sin)(有界，当x充分大时pqxx1单 调减少，且01limpqxxx，由 Dirichlet判别法，积分11sindxxxxpq收敛；但因为积分11|sin|dxxxxpq发散，所以当pqp1时积分sin xxdxp1条 用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品291 件收敛.当pq 时，由于n 时22sin1qnpnxxdxx 不趋于零，可知积分 xxxdxqpsin11发散.（3）0sincosedxxxpx10sincosedxxxpx1sincosedxxxpx.由pxxxecossinpx1)0(x，可知当1p时积分10sincosedxxxpx收敛，在其

25、余情况下积分10sincosedxxxpx发散.当1p时，易知积分1sin|cos|edxxxpx发散；当0p时，易知积分1sincosedxxxpx发散.当10 p时，因为1cos1sinexdxeAx，px1单调减少，且01limpxx，由 Dirichlet 判别法；可知积分1sincosedxxxpx收敛.综上所述，当10 p时，积分0sincosedxxxpx条件收敛，在其余情况下积分0sincosedxxxpx发散.（4）0sin2sinedxxxpx10sin2sinedxxxpx1sin2sinedxxxpx.由pxxxe2sinsin12px)0(x，可知当2p时积分10si

26、n2sinedxxxpx收敛，在其余情况下积分10sin2sinedxxxpx发散.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品292 当21 p时，显然积分1sin|2sin|edxxxpx收敛；当1p时，易知积分1sin|2sin|edxxxpx发散；当0p时，易知积分1sin2sinedxxxpx发散.当10 p时，因为)1(sin02sinkkxxdxe，可知Axxdxe0sin2sin有界，且px1单调减少，01limpxx，由 Dirichlet判别法，可知积分 1sin2sinedxxxpx收敛.综上所述，当21 p时积分0sin2sinedxxxpx绝对收敛

27、，当10 p时积分0sin2sinedxxxpx条件收敛，在其余情况下积分0sin2sinedxxxpx发散.（5）令21xt，则 1021cos1dxxxptdttpcos121123.于是可知当1p时积分1021cos1dxxxp绝对收敛；当31 p时积分1021cos1dxxxp条件收敛，当3p时积分1021cos1dxxxp发散.（6）当1p时，因为ppxxxx11sin，可知积分11sindxxxxp绝对收敛.当10 p时，因为261sinnnpdxxxxpn2321，而级数 用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品293 121npn发散，所以积分11sin

28、dxxxxp发散；又因为 dxxxxp1)1sin(dxxxxxxp1sin1coscos1sin，注意到当x充分大时，pxx1sin与pxx1cos都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分11sindxxxxp收敛，所以积分11sindxxxxp条件收敛.10证明反常积分04sinsinxdxxx收敛.证 对任意AAA，由分部积分法，4sinsinAAxdxxx42)(cos4sinAAxdxx 244cossinAAxxx244coscosAAdxxxx342sincosAAdxxxx.显然，当A时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理，可知反常积分04sinsinxd

29、xxx收敛.11设f x()单调，且当x 0时f x()，证明：f x dx()01 收敛的必要条件是lim()xxf x 00.证 首先由f x()的单调性，对于充分小的10 x，有 xxdttfxfx2)()(20.由 Cauchy收敛原理，xxxdttf200)(lim，于是得到 0)(lim0 xxfx.用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品294 12设adxxf)(收敛，且)(xxf在),a上单调减少，证明:0)()(lnlimxfxxx.证 首先容易知道当x时，)(xxf单调减少趋于0，于是有 0)(xxf，且 xxdttttfxfxx1)()()(ln

30、210 xxdttf)(.然后由 Cauchy收敛原理，0)(limxxxdttf，于是得到 0)()(lnlimxfxxx.13设f x()单调下降，且lim()xf x 0，证明：若fx()在,)0 上连续，则反常积分fxx dx()sin20收敛.证 首先由分部积分法，02sin)(xdxxf02)(sinxxdf02sin)(xdxxf.由于AxdxAF02sin)(有界，f x()单调下降，且lim()xf x 0，由 Dirichlet判别法，可知积分02sin)(xdxxf收敛，从而积分fxx dx()sin20收敛.14.设adxxf)(绝对收敛，且lim()xf x 0，证明

31、fx dxa2()收敛.证 首先由lim()xf x 0，可知aA，Ax，有1)(xf，即当Ax 时，成立)()(2xfxf.因为积分adxxf)(绝对收敛，于是由比较判别法，积分fx dxa2()收敛.15 若fx dxa2()收敛，则称f x()在,)a 上平方可积（类似可定义无界函数在,a b上平方可积的概念）.对两种反常积分分别探讨f x()平方可积与f x()的反常积分收敛之间的关系；用心整理的精品 word文档，下载即可编辑！精心整理，用心做精品296)sin(sinsinsinsin2xxxxxxxxxpppp.这时积分1sindxxxp收敛；积分12)sin(sindxxxxxpp当121p时收敛，当210 p发散.当121p时，由于434sinsinnnpdxxxx1)1(122ppn，因为级数1)1(11ppnn发散，所以积分1sinsindxxxxp发散.综上所述，当121p时，积分sinsinxxxdxp1条件收敛；当210 p时，积分sinsinxxxdxp1发散.当0p时，因为有2242sinsinnnpdxxxx2224sin2nnxdx162，由 Cauchy收敛原理，可知积分sinsinxxxdxp1发散.