二次函数图像的性质和应用解析.pdf

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1、 二次函数的图象与基本性质（一）、知识点回顾【知识点一：二次函数的基本性质】yax2 yax2k ya(xh)2 ya(xh)2k yax2bxc 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 【知识点二：抛物线的图像与 a、b、c 关系】（1）a 决定抛物线的开口方向：a0，开口向 _；a0，图像与 y 轴的交点在_；c=0，图像与 y 轴的交点在_；c0，图像与 y 轴的交点在_；（3）a，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：_；（4）b24ac 决定抛物线与_交点情况：b24ac轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx000【知识点三：二次函数的平移】设0,0nm，将二次函数2ax

2、y 向右平移 m 个单位得到_；向左平移 m 个单位得到_；向上平移 n 个单位得到_；向下平移 n 个单位得到_。简单总结为_，_。（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二 次 函 数)0(2acbxaxy，当0y时，即 变 为 一 元 二 次 方 程)0(02acbxax，从图象上来说，二次函数)0(2acbxaxy的图象与 x 轴的交点的横坐标 x 的值就是方程)0(02acbxax的根。【知识点五：二次函数解析式的求法】（1）知抛物线三点，可以选用一般式：cbxaxy2，把三点代入表达式列三元一次方程组求解；（2）知

3、抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：khxay2)(；其中抛物线顶点是),(kh；（3）知 抛 物 线 与x轴 的 交 点 坐 标 为)0,(),0,(21xx可 选 用 交 点 式：)(21xxxxay，特 别：此 时 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线)(2121xxx（二）、感悟与实践 例 1：（1）求二次函数 yx24x1 的顶点坐标和对称轴.（2）已知二次函数 y2x28x6，当_时，y 随 x 的增大而增大；当 x_时，y 有_值是_ 变式练习 1-1：二次函数 yx2mx 中，当 x3 时，函数值最大，求其最大值 例 2：已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图

4、 1 所示，则有：（1）a _0,b_0,c_0（2）b24ac_0（3）a+b+c_0 （4）a-b+c_0 变式练习 2-1：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 2 所示，其对称轴 x=1，给出下列结果：b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是（）A、B、C、D、变式练习 2-2：已知二次函数的图像如图 3 所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）C D 例 3：（2012广州）将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）Ay=x21 By=x2+1 Cy=（x1）2 Dy=（x+

5、1）变式练习 3-1：（2012 泰安）将抛物线23yx向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A23(2)3yx B23(2)3yx 2yaxbxcybxcayxy-1 x 图 1 x=1 图 2 图 3 A B C23(2)3yx D23(2)3yx 例 4：二次函数22yxxk 的部分图象如图 4 所示，则关于 x 的一元二次方程220 xxk的一个解13x，另一个解2x=（）A、1 B、1 C、2 D、0 变式练习 5-1：（2009 广州 25）如图 6，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；二次函数的性质

6、的综合应用 例1.已知抛物线yxx12122（或223yxx）（1）把它配方成2()ya xhk的形式；（2）写出抛物线的开口方向，顶点M的坐标、对称轴方程；(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值。2yxpxq0p xAB、y(01)C，ABC54图 4 图 6 y x B A C O (5)当 x=1 时，函数有最小值；(6)关于直线 x=-1 对称；(7)函数 y 的值恒大于 0；(8)顶点在 x 轴上方；(9)抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1；8.如图，抛物线与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与

7、 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy2ABC 二次函数应用题归类【基本思想】一、转化思想实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。二、建模思想从实际问题中发现、提

8、出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。三、运动思想图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。四、分类讨论的思想二次函数与其他知识的综合题时经常用到。【最值的确定方法】1二次函数在没有范围条件下的最值：二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式224()24bacbya xaa，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2二次函数在有范围条件下的最值：如果自

9、变量的取值范围21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当2bxa，244acbya最值，如果顶点不在范围，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性 2014 年中考第 23 题分类汇总分析 一、分段函数型 1.【四月调考】某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每月少卖 3 件.设每件商品的售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件.（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）设每月的销

10、售利润为 W，请直接写出与的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？二、与不等式结合型 2.【2009 四月调考】某商场将进货价为 30 元的书包以 40 元售出，平均每月能售出 600 个。调查表明：这种书包的售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个。（1）请写出每月售出书包的利润 y（元）与每个书包涨价 x（元）间的函数关系式；（2）设某月的利润为 10000 元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于 6000 元?3.某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 60 元时，每个

11、月可卖出 100 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2 件设每件商品的售价为 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过 80%且每个月的利润不低于2250 元？三、前期投入，亏损、盈利型 4.【2011 年四月】杰瑞公司成立之初投资 1500 万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本 60 元。按规定，该产品售价不得低于 100 元/件且不得超过 1

12、80 元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示。(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达 1340 万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。四、面积有关问题 5.【2010 年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成。已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米。（1）若平行于

13、墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图象，直接写出 x 的取值范围。五、二次函数与建模(高频型)6.2015 调考要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根 2.25m 的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3m(1)建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系

14、式（不要求写取值范围）；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为 0.3 m，最内轨道的半径为 r m，其上每 0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当 r 为多少时池中安装的地漏的个数最多？六、细节变化、陷阱题 9.中百超市每天购进一种水产品 300 千克，其进货成本（含运输费）是每千克 3 元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过 10 元，一天内没有销售完的水产品只能按 2 元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每天的损耗率是 10%，根

15、据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量y(单位：千克，y0）与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：（1）求出每天销售量y与每千克销售价x之间的函数关系式；（2）根据题中的分析：每天销售利润w最多是多少元？（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于 960 元？【巩固练习】A 组：1.二次函数y=x2-2x-6的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；2、抛物线与 x 轴的一个交点的坐标为（l,0),则它与 x 轴的另一个交点的坐标是_ 3、二次函数 y=2(1)x2 的图像的对称轴是直线_.4、抛物线 y22xbx3 的对称轴是直线 x1，则 b 的值为

16、_；若抛物线 y=2()a xhm形状与它一样，则 a=_ 5 抛物线3)2(2 xy的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）6 二次函数的最小值是（）A2 B1 C3 D 7 抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A()mn，B()mn，C()mn，D()mn，8、若抛物线2yax+c 的图像经过点 P(m,m),则此抛物线也经过点（）A(-m,n)B(m,-n)C(n,m)D(-n,m)9、二次函数2365yxx 的图象的顶点坐标是（）A(18)，B(18)，C(1 2)，D(14)，10、二次函数的图象上最低点的坐标是 A(-1，-2)B(1，-2

17、)C(-1，2)D(1，2)11、若把代数式223xx化为2xmk的形式，其中,m k为常数，则mk=.12、已知A、B是抛物线243yxx上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_（写出一对即可）13、函数，当为 时，函数的最大值是 ；242myxx2(1)2yx232(1)2yx)32(xxyx 14、若二次函数2)1(2mxxmy 的最大值为，则常数；B 组：1.向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？()A.第 8 秒 B.第 10

18、秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒。2 抛物线(1)(3)(0)ya xxa的对称轴是直线（）A1x B1x C3x D3x 3 函数(2)(3)yxx取得最大值时，x _ 4、已知二次函数若0ac，则其图象与x轴的位置关系是 （）A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定 5.(2010 台州)如图，点 A，B 的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线nmxay2)(的顶点在线段 AB上运动，与x 轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C 的横坐标最小值为3，则点 D 的横坐标最大值为()A3 B1 C5 D8 第 第 7 题图 6.如图，两条抛物线12121xy、

19、12122xy与分别经过点0,2,0,2且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_ 7.(2010 株洲）已知二次函数221yxaa（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当1a，0a，1a，2a 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y .二次函数应用题练习 1.九五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺 30 间，据预测，当每间的年租金为 10 万元时，可全部租出；每间的年租金每增加 5000 元，少租出商铺一间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元。49_mcbxaxy2

20、第 6 题图 y x O 第 5 题图 DCB(4,4)A(1,4)（1）当租金为 13 万元时，能租出多少间商铺？（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？（3）若公司要求收益不低于 275 万元，则年租金定在什么范围？2.一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：10500yx 设经销商每月获得利润为w（元）（1），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？（2）如果经销商想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果

21、经销商想要每月获得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面 1 米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点 6 米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式 （2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取734）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取562）4.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间

22、，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元(1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式；(2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关于 x的函数关系式 (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利

23、润=Q收购总额)？5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图 12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图 12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？0.5米HG图7FEDCBA 6.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图

24、 17 所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？说明你的理由 7.已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试在AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积。8.用 19 米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD 长表示窗框的宽，EF=0.5 米(铝合金条的宽度忽略不计)（1）求窗框的透光面积 S（平方米）与窗框的宽 x（米）之间的函数关系式；（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（3）当窗框的面积不小于 10 平方米时，试结合函数图象，直接写出 x 的取值范围