常微分方程作业.pdf

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1、1/4 常微分方程第四次作业 第 4 章 n 阶线性微分方程 1试求下列各方程的通解（1）0209 yyy （2）02 yyy（3）0 yy （4）0)4(yy（5）0)4(yy （6）0 yyyy（7）022)4()6(yyyy 2试求下述各方程满足给定的初始条件的解：（1）023 yyy，2)0(y，3)0(y；（2）044 yyy，4)2(y，0)2(y；（3）0 yy，2)0(y，5)0(y 3求下列各方程的通解：（1）5127 yyy （2）xyyy2e3 （3）873782 xxyyy （4）)25(e1362ttxxxt （4）xxyyy2cos102 4一拉紧弹簧所受到的拉力与

2、它的长度成正比，当弹簧受到 9.8N（1kg 力）拉力时，其长度增长 1cm。今有重 2kg 的物体挂在弹簧下端，保持平衡。假若将它稍向下拉，然后再放开，试求由此所产生振动的周期。5一质量为 m 的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。6有一 LRC 电器，其中 LC 并联。再与 R 及电器 E=tvsin串联，试求：（1）通过电阻 R 的电流强度；（2）在解频率等于何值时，电流强度最大或最小？第 5 章 定性和稳定性理论简介 1设0)0,(tf用语言叙述微分方程),(ddxtftx的零解不稳定的定义。2考虑纯量方程xtatx)(dd，)(ta

3、是),0上的连续函数。证明：（1）零解 x=0 是稳定的充分必要条件是存在0)(0tM，使得tttMdssa0)()(0对一切00 tt成立。（2）零解0 x是渐近稳定的充分必要条件是tttdssa0)(lim。3证明方程组 )(dd)(dd2222yxayxtyyxaxytx 的零解是渐近稳定的（其中0a）。4试研究单摆的运动方程 2/4 0sinlg 零解稳定性。（提示：把原方程化为方程组，sinlg。构造 V 函数),(V=)cos1(212lg。5对方程组)()(yxyxyx 假设)(x和)(y分别是x和y的连续可微函数，且满足 0,0)(0,0)(yyyxxx 证明(0,0)是其解，

4、且满足渐近稳定的。6通过求解，确定下列各方程的奇点类型，画出相图，并确定奇点的稳定性：（1）ytytxdd2dd （2）yxtyxtx3dd3dd（3）xtyytxdddd （4）yxtyyxtx3dd32dd 7确定下列各方程的奇点类型，轨线分布以及稳定性：（1）yxtyyxtx43dd3dd （2）yxtyyxtx4dd2dd（3）yxtyyxtx23dd2dd （4）ytyyxtxdd2dd 8确定下列方程原点的奇点类型及稳定性：（1）byxaxtyytx)(dddd22，0,ba且0422 ab；（2）xbaytyytxsindddd，0b。参考答案 3/4 第 4 章 n 阶线性微分

5、方程 1（1）xxCCy5241ee （2）)(e21xCCyx（3）)23sin23cos(ee32211xCxCCyxx （4）xxCCxCCyee2321（5）)22sin22cos(e)22sin22cos(e43222122xCxCxCxCyxx（6）)(ee321CxCCyxx（7）xCxCCCCCyxxxxsincoseeee65432221 2（1）xxye7e52 （2）)2(2)2(2e8e12xxxy （3）xye57 3（1）125ee4231xxCCy （2）xxxCxCy22121e73)23sin23cos(e（3）3431126499773ee2271xxCCy

6、xx （4）)3212181(e)2sin2cos(e2213tttCtCxtt（5）)3sin3cos(e2sin)1691131(2cos)33829263(21xCxCxxxxyx 4sgT22 5)e1(tmkkmgv 6（1）)sin()(tAtI，22)1(CLRVA，RLarctan（2）当LC12时，RVImax 第 5 章 定性和稳定性理论简介 1（略）2提示：写出方程的通解，再根据稳定性定义证明。3取)(21),(22yxyxV证明。4稳定 5取)(21),(22yxyxV证明。6（1）稳定结点 （2）不稳定退化结点（3）中心 （4）不稳定结点 7（1）稳定焦点 （2）不稳

7、定焦点（3）鞍点 （4）鞍点 8（1）0422 ab，0b不稳定结点；0422 ab，0b稳定结点；0422 ab，0b不稳定焦点；0422 ab，0b稳定焦点（2）鞍点 4/4 选做作业 一.填空题 1若)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们()有共同零点.2二阶线性齐次微分方程的两个解)(1xy,)(2xy成为其基本解组的充要条件是().3在方程 y+p(x)y+q(x)y=0 中，p(x),q(x)在(-,+)上连续，则它的任一非零解在 xOy 平面上()与 x 轴横截相交.4n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个()维线性空间.二、单选题 1在方程 y+p(x)y+

8、q(x)y=0 中，若 p(x),q(x)在(-,+)上连续，则它的非零解在 xOy 平面上()与 x 轴相切.(A)可以；(B)不可以；(C)也许可以；(D)也许不可以.2函数)(1x,)(2x在区间a,b上的朗斯基行列式恒为零，是它们在a,b上线性相关的().(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.3n 阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?()(A)是；(B)不是；(C)也许是；(D)也许不是.4方程 y+xy+x2ysinx 的所有解的最大存在区间一定是().（A）(-,+);（B）(-,0);（C）(0,+);（D）2,2 参考答案 一.填空题 1.不能 2.线性无关 3.可以 4.n 二、单选题 1B 2B 3B 4A