2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案.pdf

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1、1/15 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 答案速查：一、选择题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）C B C C A B D D 二、填空题（9）（10）（11）（12）（13）（14）2 sinxex ln 12 1 712 2 三、解答题（15）13a（16）()yy x的极小值为13，极大值为 1；凸区间为1(,)3，凹区间为1(,)3，拐点为1 1(,)3 3（17）21111121|(1,1)(1,1)(1,1)xyd zfffdxdy（18）()arcsin42xey x（19）略（20）（I）94；（II）278g（21）Ia（22）（I）5a；（

2、II）112324，2122，31235102（23）（I）A的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为1110kk，2220kk，3330kk（II）001000100A 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当0 x 时，3sinsin3f xxx与kcx是等价无穷小，则（）（A）k=1,c=4 （B）k=1,c=4 （C）k=3,c=4 （D）k=3,c=4【答案】（C）2/15【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式【难易度】【详解】解析：方法一：当0 x 时，sin

3、 xx 03sinsin3limkxxxcx03sinsin cos2cos sin 2limkxxxxxxcx 20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx 221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx 304lim14,3kxckcx，故选择（C）.方法二：当0 x 时，33sin()3!xxxo x 333333(3)()3sinsin33()3()4()3!3!xxf xxxxo xxo xxo x 故3,4kc，选（C）.（2）设函数 f x在 x=0 处可导，且 0f=0，

4、则 23302limxx f xf xx=（）（A）2 0f （B）0f （C）0f （D）0【答案】（B）【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：2333300200limlim2xxx fxfxfxffxfxxx 0200fff 故应选（B）（3）函数()ln(1)(2)(3)f xxxx的驻点个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（C）【考点】复合函数求导【难易度】【详解】3/15 解析：方法一：令)3)(2)(1()(xxxxg，易知0)3()2()1(ggg，且0)(xg有两个根，图象如图，即)(xg有两个驻点，所以)(xg有两个驻点，因为xyln函数单调，故)(

5、lnxg有两个驻点，选 C.方法二：令(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)xxxxxxfxxxx2312110(1)(2)(3)xxxxx 有两个不同的根.所以()f x有两个驻点.选（C）.（4）微分方程2(0)xxyyee 的特解形式为（）（A）()xxa ee （B）()xxax ee （C）()xxx aebe （D）2()xxxaebe【答案】（C）【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】解析：对应齐次微分放的特征方程为220r，解得r，于是2xyye，2xyye 分别有特解xyaxe，xybxe，因此原非齐次方程有特解()xxyx aebe.选（

6、C）.（5）设函数(),()f x g x均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,fg且(0)(0)0fg，则函数()()zf x g y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （）（A）(0)0,(0)0fg （B）(0)0,(0)0fg（C）(0)0,(0)0fg （D）(0)0,(0)0fg【答案】（A）【考点】多元函数的极值【难易度】4/15【详解】解析：因为函数()()zf x g y在点(0,0)处取得极小值，且(),()f x g x均有二阶连续导数 所以(0,0)(0,0)()()0zfx g yx，(0.0)(0.0)()()0zf x g yy，满足.又因为2(0,0

7、)2(0,0)()()(0)(0)zAfx g yfgx，2(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zBfx g yfgx y，2(0,0)2(0,0)()()(0)(0)zCf x gyfgy，所以必须有2(0)(0)(0)(0)0BACfgfg 且0A，又因为(0)0f，(0)0g，所以(0)0,(0)0fg，选（A）.（6）设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,I J K的大小关系是（）（A）IJK （B）IKJ （C）JIK （D）KJI【答案】（B）【考点】定积分的基本性质【难易度】【详解】解析：如图所示，因为04x时，20sincoscot

8、2xxx，因此lnsinlncoslncotxxx 444000lnsinlncoslncotxdxxdxxdx，故选（B）.（7）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记1100110001P，2100001,010P则 A=（）/4 5/15（A）12PP （B）112P P （C）2 1PP （D）121P P【答案】（D）【考点】矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1APB，2P BE，所以11111212 1ABPP PP P，故选（D）（8）设1234(,)A 是 4 阶矩

9、阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组 Ax=0的一个基础解系，则*0A x 的基础解系可为（）（A）13,（B）12,（C）123,（D）234,【答案】（D）【考点】【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系【详解】解析：因为(1,0,1,0)T是方程组 Ax=0 的一个基础解系 所以1234131100(,)01100A 即13,线性相关，故排除（A）（C），又因为*4()4()1()30()3r Ar Ar Ar A，即*()2r A，所以排除（B），从而应选（D）.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1012l

10、im()2xxx .【答案】2【考点】重要极限公式；洛必达法则 6/15【难易度】【详解】解析：原式=011 21(1)21 211 2lim(1)122012lim1(1)2xxxxxxxxe00212 ln2ln2limlim2222.xxxxxeee（10）微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解为y=.【答案】sinxyex【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】解析：(cos)dxdxxyeex edxC(cos)xexdxC(sin)xexC 由于(0)0,y故0C,所以sin.xyex（11）曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s .【答案】ln 12 【考点】定积分的

11、应用【难易度】【详解】解析：2211tansecdsy dxxdxxdx 4400secln sectanln(12)sxdxxx （12）设函数,0,()0,0 xexf xx0，则()xf x dx .【答案】1【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：原式 0000 xxdxx edxxde 00 xxxeedx 01xe 1（13）设平面区域 D 由直线,yx圆222xyy及 y 轴所围成，则二重积分7/15 Dxyd .【答案】712【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】解析：用极坐标变换.:42D，02sinr，于是 原式2sin204cossind

12、rrrdr 42sin2041sincos4rd5522444cossin4sin(sin)dd 66244227sin163212（14）二次型2221,23123121 323(,)3222f x x xxxxx xx xx x，则f的正惯性指数为 .【答案】2【考点】矩阵的特征值的概念；用配方法化二次型为标准形【难易度】【详解】解析：方法一：f的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.由于二次型f对应矩阵111131111A，111131140111EA，故1230,1,4.因此f的正惯性指数为 2.方法二：用配方法.222221123232323232()()32()fxx xxxxxx

13、x xxx 2212322xxxx 那么经坐标变换22122TTx Axyyyy，亦知2p.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、8/15 证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）已知函数20ln(1)()xtdtF xx，设0lim()lim()0,xxF xF x试求的取值范围.【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：当0时，lim()xF x；不符合题意.当0时，xdttxFxxx02)1ln(lim)(lim,0)1(2lim)1(12lim)1(112lim)1ln(lim1222212xxx

14、xxxxxxxxxx得01即1；0lim)1ln(lim)1ln(lim)(lim120120020 xxxxxdttxFxxxxx 得21即3 于是当13时，0lim()lim()0 xxF xF x.（16）（本题满分 11 分）设函数()yy x由参数方程3311331133xttytt 确定，求()yy x的极值和曲线()yy x的凹凸区间及拐点.【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点【难易度】【详解】解析：221()1dytdty xdxtdt，2222223()2(1)2(1)14()(1)1(1)dy xt tt ttdty xdxtttdt 令()0y x得1t 当1t 时

15、，53x，13y ，0y.13y 为极小值.当1t 时，1x ，1y，0y.1y为极大值.9/15 令()0yx得0t,13xy.当0t 时，13x，0y；当0t 时，13x，0y.所以曲线()yy x的凸区间是1(,)3，凹区间是1(,)3，拐点是1 1(,)3 3.（17）（本题满分 9 分）设函数(,()zf xy yg x，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()g x可导且在1x 处取得极值(1)1g，求211.xyzx y 【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数【难易度】【详解】解析：12()zfyfy g xx,因为函数()g x可导且在1x 处取得极值(1)1g,所以

16、0)1(g，所以1121(,(1)(1)(,)xzfy ygyfy gfy yyx 21111121111()(,)(,)(,)xyxyyzzxfy yy fy yfy yx yy 11112(1,1)(1,1)(1,1)fff（18）（本题满分 10 分）设函数()y x具有二阶导数，且曲线:()l yy x与直线yx相切于原点，记为曲线l在点(,)x y处切线的倾角，若,ddydxdx求()y x的表达式.【考点】变量可分离的微分方程；可降阶的高阶微分方程【难易度】【详解】解析：由题设知：(0)0y，(0)1y，(0)4及 解：因为tany，两边对x求导得22sec(1tan)ddydxd

17、x，10/15 代入ddydxdx，tany 得)1(2yyy.令,dpyp ydx，得2(1)dpppdx 分离变量得221()(1)1dppdxdppppp 积分得22211lnln(1)ln221pxppCCp 由(0)1p得11ln22C ，代入得 22212ln212xxpdyexppdxe 由(0)0y，再积分得 20002()2()arcsinarcsin42221()2txttxxxttedeeey xdtee （19）（本题满分 10 分）（I）证明：对任意的正整数 n，都有111ln(1)1nnn 成立.（II）设111ln(1,2,)2nan nn，证明数列 na收敛.【

18、考点】函数单调性的判别、微分中值定理【难易度】【详解】解析：（I）方法一：设)1()11ln(1)(xxxxf，则0)1(111111)(222xxxxxxf，)(xf在),1 上单调递减 所以0)(lim)(xfxfx，即)1()11ln(1xxx 设)1(11)11ln()(xxxxg 则011111)1(11111)(22xxxxxxxg，)(xg在),1 上单调递减 11/15 1211112Oyx222xyy221xy所以0)(lim)(xgxgx，即)1(11)11ln(xxx 综上：对任意的正整数 n，都有111ln(1)1nnn 成立.方法二：设 1ln 1,0,f xx xn

19、,显然()f x在10,n上满足拉格朗日中值定理 1111110ln 1ln1ln 1,0,1ffnnnnn 10,n 时，111111111 01nnnn,即111111nnn 111ln 11nnn，结论得证.（II）设1111ln23nann.1111lnln 10111nnnaannnn，即数列 na单调递减.1111ln23111ln(1 1)ln(1)ln(1)ln(1)ln233 41ln 2ln2 3ln(1)ln0nannnnnnnnn 得到数列 na有下界.利用单调递减数列且有下界得到 na收敛.（20）（本题满分 11 分）一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面

20、，该曲线由2212()2xyy y与2211()2xyy连接而成（I）求容器的容积；（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为2/,gm s，水的密度为3310/kg m）【考点】定积分的应用【难易度】【详解】12/15 解析：（I）2212221122)2()1(dyyydyyV 49)31()31(221322113yyyy（II）2()(2)dWgfyy dy，221122221121234234221123()(2)(1)(2)(2)(2)12141(2)(2)234342727 10()88Wgfyy dygyy dyyyy dygy

21、yyyyyyggJ ，（21）（本题满分 11 分）已 知 函 数(,)f x y具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且(1,)0fy，(,1)0f x，(,)Df x y dxdy a，其中(,)|01,01Dx yxy ，计算二重积分(,)xyDIxyfx y dxdy.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】【详解】解析：1100(,)xyIxdxyfx y dy1100(,)xxdxydfx y 111000,|,xxxdx yfx yfx y dy 1100(,1)(,)xxxdxfxfx y dy(,1)0(,1)0 xf xfx 1100(,)xIxdxf

22、x y dy 1100(,)xdyxfx y dx 111000(,)|(,)dy xf x yf x y dx 1100(1,)(,)dyfyf x y dx 13/15(,)Df x y dxdya.（22）（本题满分 11 分）设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTT，不能由向量组12(1,1,1),(1,2,3),TT 3(3,4,)Ta线性表示.（I）求 a 的值；（II）将123,用123,线性表示.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换【难易度】【详解】解析：（I）因为123101,01310115 ，所以123,线性无关，又因为123,不能

23、由123,线性表示，所以123,3r ，所以123113113,1240115013023aaa ，所以5a （II）123123,（）=101113013124115135 1011130131240140221011130131240011021002150104210001102 故112324，2122，31235102 （23）（本题满分 11 分）A为 3 阶实对称矩阵，A的秩为 2，且111100001111A（I）求A的所有特征值与特征向量；（II）求矩阵A【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征14/15 向量【难易度】【详解】解析：（I

24、）因为111100001111A 所以110011A ，111000111A，所以11是A的特征值，1(1,0,1)T是对应的特征向量；21 是A的特征值，2(1,0,1)T是对应的特征向量.因()2r A 知0A，所以30是A的特征值.设3123(,)Tx x x是A属于特征值30的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即 131323130,0,TTxxxx 解得3(0,1,0)T 故矩阵A的特征值为1,1,0；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)TTTkkk，其中 123,k k k均是不为 0 的任意常数.（II）将321,单位化得101211，101212，0103 令0212110002121),(321Q，则011AQQT 所以100110000100TAQQ.15/15 友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！