【数学】普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)理科数学含解析.pdf

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1、普通高等学校 2018 年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)理科数学 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合2,1,0,1,2A

2、 ，2|4Bx x，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A2,1,0,1 B 0 C1,0 D1,0,1【答案】D【解析】求解二次不等式可得：|22Bx xx 或，则|22Bxx R，由 Venn 图可知图中阴影部分为：1,0,1RAB 本题选择 D 选项 2已知函数 21xfx，则满足4log3fa 的实数a的值为（）A13 B14 C12 D2【答案】B【解析】41log24log2113afaa，即11212,4,4aaa 3已知向量2,1a,1xb，若ab与ab共线,则实数x的值是（）A2 B C2 D【答案】B【解析】由2,1a，,1xb，则2,2xab，2,0 xab，因为ab与ab

3、共线，所以202 2xx，解得2x，故选B 4将函数sin4yx的图像上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位，则所得函数图像的解析式为（）A5sin224xy Bsin23xy C5sin212xy D7sin 212yx【答案】B【解析】函数sin4yx经伸长变换得1sin24yx，再作平移变换得1sin264yx1sin23x，故选：B 5 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子”根据这个

4、问题，有下列 3 个说法：得到橘子最多的人所得的橘子个数是 15；得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12 其中说法正确的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：a，3a，6a，9a，12a，其和为 60，故6a，由此可知得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是 12 是正确的，故选 C 6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A32 3 16+33 B16833 C32 363 D8 3 6 【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为1122

5、3238 363 ，故选D 7 如图所示的程序框图，若输出的结果为 4，则输入的实数x的取值范围是（）A18,27 9 B81,9 27 C12,9 D1,29【答案】A【解析】1n，12x，否，31xx；2n，否，313 1 94xxx ；3n，否，943 1 2713xxx ；4n，12x，是，即2713 12x；解不等式271x，127x，且满足9412x，89x，综上所述，若输出的结果为 4，则输入的实数x的取值范围是1827 9，故选A 8已知F为抛物线24 3yx的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若3AFFB，则以AB为直径的圆的标准方程为()A225 3

6、64233xy B226422 33xy C225 3264xy D222 3264xy【答案】A【解析】设AB方程为3xmy，由23 4 3xmyyx，得24 3120ymy，则4 312 30ABABABAyymy yyyy ，解得6Ay，2By ，可得3 3,6A，3,23B，圆心坐标为A，B中点坐标53,23，22316 33 36233AB，圆半径为8 33r，以AB为直径的圆方程为225 364233xy，故选 A 9已知定义在R上的函数 f x是奇函数，且满足 3fxf x，13f，数列 na满足11a 且1nnnan aa*nN，则3637f af a（）A-3 B-2 C2

7、D3【答案】A【解析】函数 f x是奇函数，fxf x，又 3fxf x，3fxfx，3fxf x，即 6f xf x，f x是以6为周期的周期函数，1nnnan aa，11a，11nnanan，1221123113211241nnnnnnnaaaannnaanaaaannn ，即nan，3636a，3737a，又 13f，00f，363701113f af affff故选 A 10某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备 2 小时，B设备 6 小时；生产一件乙产品需用A设备 3 小时，B设备 1

8、小时A、B两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A320 千元 B360 千元 C400 千元 D440 千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品 x 件,y 件时该企业每月利润的最大值为 z，由题意可得约束条件：234806960 0,0,xyxyxyxyNN，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2zxy的最大值 目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点150,60B处取得最大值：max22 15060360zxy千元 本题选择 B 选项 11中国古代十进制的算筹计数法，在世界

9、数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数19 的方法的一种 例如：163 可表示为“”，27 可表示为“”问现有 8 根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）A48 B60 C96 D120【答案】C【解析】设 8 根算筹的组合为123,1,2,3,4,5,1,2,3ia a aai，不考虑先后顺序，则可能的组合为：1,2,5，1,3,4，2,2,4，2,3,3，对于1,2,5，组合出的可能的算筹为：1,2,5，1,6,9，1,2,9，1,6,5共 4 种，可以组成的三位数的个数为：4 3!种，同理1,3,4可以组成的三位数的个数为：4 3!种，对

10、于2,2,4，组合出的可能的算筹为：2,2,4，6,6,4，2,2,8，6,6,8，2,6,4，2,6,8共 6 种，可以组成的三位数的个数为：3!2 3!42 种，同理2,3,3可以组成的三位数的个数为：3!2 3!42 种，利用加法原理可得：8 根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!12 3!816 3!962 本题选择 C 选项 12偶函数 f x定义域为00,22，其导函数是 f x当02x时，有 cossin0fxxf xx，则关于x的不等式 2cos4f xfx的解集为（）A,4 2 B,2 44 2 C,00,44 D,0,44 2 【答案】C【解析】令 cosf xF

11、 xx，则 2cossincosfxxf xxF xx，当02x时，有 cossin0fxxf xx，则 0Fx，又 coscosfxfxFxF xxx，F x为偶函数，F x在02，上单调递增，在02，上单调递减，则 2cos4f xfx，当00,22x，时，cos0 x，即 4coscos4ff xx，4x且0 x，故04x或04x，故选C 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 设aR，若 复 数(1i)(+i)a在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 实 轴 上，则a _【答案】-1【解析】复数(1i)(+i)=(1)+(+1)iaaa，因为该复数在复平面内对应

12、的点在数轴上，所以10a 故1a 14已知随机变量21,N，若(3)0.2P，则1P _【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线1x 对称，则：130.2PP，则：1110.8PP 15 已知函数 3sin 2cos 2(0)f xxx 的图象关于点06，对称，记 f x在区间62，上的最大值为n，且 f x在mn，（mn）上单调递增，则实数m的最小值是_【答案】2312【解析】2sin 26f xx，所以266k，又0，得6，所以 2sin 23f xx，且求得2n，又222232kxk，得单调递增区间为5,1212kk ，由题意，当2k 时，2312m 16已知

13、点1F，2F分别是双曲线222:10yC xbb的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足122FFOP，21tan4PF F，则双曲线C的离心率的取值范围为_【答案】171,3【解析】由122FFOP，可得OPc，故12PFF为直角三角形，且12PFPF，2221212|PFPFF F 由双曲线定义可得122PFPFa 1212tan4PFPF FPF，124PFPF，可得223aPF 又222222|4aPFPFc，整理得22222PFaca 222222225239aaPFacaa 222179cea，又1e，1713e，即双曲线C的离心率的取值范围为171,3 答案：1

14、71,3 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分，每个试题 12 分 17已知ABC的内角A，B，C满足sinsinsinsinsinsinsinsinABCBCABC（1）求角A；（2）若ABC的外接圆半径为 1，求ABC的面积S的最大值【答案】(1)3A；(2)3 34S【解析】（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 根据sinsinsinsinsinsinsinsinABCBCABC，可得222abcbabcbccabc，3 分 所以2221cos222b

15、cabcAbcbc，又因为0A，所以3A6 分（2）22 sin2sin3sin3aRaRAA，8 分 所以2232bcbcbcbcbc，10 分 所以1133 3sin32224SbcA（bc时取等号）12 分 18某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款（单位：元）0,50 50,100 100,150 150,200 200,顾客人数 20 a 30 20 b 统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客占30%，该商场每日大约有4000 名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100 元的顾客发放纪念品（1）试确定

16、a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（2）现有 4 人前去该商场购物，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望 【答案】(1)2400；(2)见解析【解析】（1）由已知，100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客有2010030%b，10b；10020 30 20 1020a2 分 该商场每日应准备纪念品的数量大约为60400024001004 分（2）由（1）可知 1 人购物获得纪念品的频率即为概率6031005p，5 分 故 4 人购物获得纪念品的数量服从二项分布34,5B，6 分 040432160C55625P ，131432961C55625P ，2224322162C5562

17、5P ，3134322163C55625P ，404432814C55625P ，11 分 的分布列为：0 1 2 3 4 P 16625 96625 216625 216625 81625 数学期望为312455E12 分 19已知梯形BFEC如图（1）所示，其中5EC，4BF，四边形ABCD是边长为2的正方形，现沿AD进行折叠，使得平面EDAF 平面ABCD，得到如图（2）所示的几何体（1）求证：平面AEC平面BDE；（2）已知点H在线段BD上，且AH平面BEF，求FH与平面BFE所成角的正弦值 【答案】(1)见解析；（2）FH与平面BEF所成角的正弦值为147 【解析】（1）证明：由平面

18、EDAF 平面ABCD，DEAD，平面EDAF平面ABCDAD，DE 平面EDAF，得DE 平面ABCD，又AC 平面ABCD，ACDE，2 分 由ABCD为正方形得ACBD，3 分 又BDDED，BD，DE 平面BDE，AC 平面BDE，4 分 又AC 平面AEC，平面AEC 平面BDE5 分（2）由ED 平面ABCD得ADED，CDED，又ADDC故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立图示空间直角坐标系，则2,0,0A，2,2,0B，0,0,3E，2,0,2F，6 分 设DHDB，则2,2,0H，设平面BEF的一个法向量为,x y zn，由2,2,3BE ，2,0

19、,1EF，0 0BEEFnn，得2230 20 xyzxz，取1x，得1,2,2n，9 分 AH平面BEF，22,2,0AH，2240，13，2 2,03 3H，4 2,23 3FH，11 分 设FH与平面BEF所成的角为，则 sincos,FHn42 14FHFHnn147，FH与平面BEF所成角的正弦值为14712 分 20已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，B为椭圆的上顶点，12BF F为等边三角形，且其面积为3，A为椭圆的右顶点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：ykxm与椭圆C相交于,M N两点（M，N不是左、右顶点），且满足MANA，试问：直线l

20、是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由【答案】(1)22143xy；（2）直线l过定点，定点坐标为207，【解析】（1）由已知 1 2233 312c34BF FbcbcS，2224abc，椭圆的标准方程为22143xy4 分（2）设11M xy，22N xy，联立22 1.43ykxmxy，得222348430kxmkxm，22226416 3430m kkm，22340km即，1222122834 43.34mkxxkmx xk，6 分 又22221212121223434mky ykxmkxmk x xmk xxmk，因为椭圆的右顶点为2,0A，1MANAkk，即12121

21、22yyxx，7 分 121 212240y yx xxx，22222234431640343434mkmmkkkk，2271640mmkk10 分 解得：12mk，227km ，且均满足22340km，11 分 当12mk 时，l的方程为2yk x，直线过定点2 0，与已知矛盾；当227km 时，l的方程为27yk x，直线过定点207，所以，直线l过定点，定点坐标为207，12 分 21已知函数 22e321xf xxxb，xR的图象在0 x 处的切线方程为2yax（1）求函数 f x的单调区间与极值；（2）若存在实数x，使得 223220f xxxk 成立，求整数k的最小值【答案】(1)

22、函数 f x的单调递减区间为(，0)；单调递增区间为(0，),所以函数 f x在0 x 处取得极小值 02f；(2)k的最小值为 0【解析】（1）2e62xfxx，因为 0fa，所以0a，易得切点(0,2)，所以1b 易知函数 fx在R上单调递增，且 00f 则当0 x 时，0fx；当0 x时，0fx 所以函数 f x的单调递减区间为,0；单调递增区间为0,所以函数 f x在0 x 处取得极小值 02f5 分（2）2215()23220e1022xf xxxkxxk 215e122xxx，(*)令215()e122xh xxx，若存在实数 x，使得不等式(*)成立，则min()kh x，6 分

23、 5()e2xh xx，易知()h x在R上单调递增，又3(0)02h，3(1)e02h，121()e202h，3334423777512771()e2.561.6204444125444h，（或由e1xx当0 x 时取等号，得334473ee(1)044）所以存在唯一的01 3,2 4x，使得 00h x，8 分 且当0()xx，时，0h x；当0(,+)xx时，0h x 所以 h x在0,x上单调递减，在0(,)x 上单调递增，2min000015()()e122h xh xxxx，9 分 又 00h x，即005e02xx，所以005e2xx10 分 所以 200005151222h x

24、xxx2001732xx，因为 x01 3,2 4，所以 0271,328h x，则 0kh x，又kZ 所以k的最小值为 012 分（二）选考题（共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分）22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是12 cos 2sinxy（为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3 sincos0m（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点,0P m，直线l与曲线C相交于A，B两点，且1PA PB，求实数m的值【答案】（1）曲线C的普通方程为2212xy，直线l的

25、直角坐标方程为33yxm；（2）13m 或0m 或2m【解析】（1）2212cos 122sinxxyy，故曲线C的普通方程为2212xy 直线l的直角坐标方程为333yxmyxm5 分（2）直线l的参数方程可以写为32 12xmtyt（t为参数）设A，B两点对应的参数分别为1t，2t，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程2212xy，可以得到222311222mttt231120mtm，所 以212121PA PBt tm2211mm2220mm或220mm，解得13m 或0m 或2m10 分 23已知0a，0b，且222ab（1）若2214211xxab 恒成立，求x的取值范围；（2）证

26、明：55114abab【答案】（1）99|22xx；（2）见解析【解析】（1）设,1121132,1 21,2x xyxxxxx x，由222ab，得22112ab 故222222222222221411414149141422222babaababababab 所以92112xx 当1x时，92x，得912x；当112x 时，9322x，解得136x，故112x；当12x 时，92x，解得92x，故9122x；综上，9922x 5 分（2）5511abab5544baabab55222222baaba bab 5522222222224baaba babab 另解：由柯西不等式，可得222255255222211114ababababab 10 分