例谈生活中的不等式.pdf

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1、例谈生活中的不等式例谈生活中的不等式在实际生活中，常常涉及到不等式的应用问题，通过解决这些实际问题，可使我们认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学知识无处不在.例例 1 1 国际上广泛使用“身体体重指数”（BMI）作为判断人体健康状况的一个指标：这个指数 B 等于人体的体重 G（千克）除以人体身高 h（米）的平方所得的商.国内健康组织参考标准身体体重指数范围B1818B2520B2525B30B30身体属型不健康瘦弱偏瘦正常超重不健康肥胖（1）写出身体体重指数B 与 G、h 之间的关系式；（2）如上表是国内健康组织提供的参考标准，若林老师体重 G=78 千克，身高 h=1.75米，问他的体

2、型属于哪一种？（3）赵老师的身高位 1.7 米，那么他的体重在什么范围内属于正常？解析:(1)根据指数 B 等于人体的体重 G（千克）除以人体身高 h（米）的平方所得的商,得 B=G.h2G78=25.47.对比表中参数可知林老师属于超重;h21.752GG(3)由 20B25,得 20225,即 2025,解得 57.8G1000.即当这两种灯的使用寿命超过1000 小时,小王选择节能灯才合算.评注：创建节约型社会是每个公民的职责，通过解决本题，可使你懂得一些节约用电的知识，同时也体验了学好数学知识的重要意义.应用不等式解决生活问题应用不等式解决生活问题一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,

3、涉及到社会生活和生产的方方面面,为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面和同学们欣赏 07年中考中的应用问题。一、进货方案设计型一、进货方案设计型例例 1 1、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别进价（元/台）售价（元/台）电视机18002000洗衣机15001600计划购进电视机和洗衣机共100 台，商店最多可筹集资金161 800 元（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润（利

4、润售价进价）解解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100 x）台，根据题意，得111x(100 x),，解不等式组，得33x392331800 x1500(100 x)161800.即购进电视机最少 34 台，最多 39 台，商店有 6 种进货方案（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得y（20001800）x(16001500)(100 x)100 x100001000，当x最大时，y的值最大即当x39 时，商店获利最多为 13900 元点评：点评：本题是一道开方性的问题，不仅需要列一元一次不等式解决问题，而且要找出最佳解决方案。二、租赁方案设计型：二、租赁方案设计型：例例

5、2 2、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20 吨，桃子12 吨现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷 4吨和桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2 吨（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300 元，乙种货车每辆要付运输费240 元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8x）辆，依题意，得4x+2（8x）20，且x+2（8x）12，解此不等式组，得x2，且x4，即 2x4x是正整数，x可取的值为 2，3，

6、4因此安排甲、乙两种货车有三种方案：方案一方案二方案三甲种货车2 辆3 辆4 辆乙种货车6 辆5 辆4 辆（2）方案一所需运费 3002+2406=2040 元；方案二所需运费 3003+2405=2100 元；方案三所需运费 3004+2404=2160 元所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040 元点评：点评：本题要列出不等式组，并要根据实际问题设计合理方案，注意方案最优化的选择。三、购物方案设计型：三、购物方案设计型：例例3 3、某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠甲班有56名学生，乙班有54名学生（1）

7、若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于 30 人且不足 100 人时，至少要有多少人，才能使得按 7 折优惠购买 100 张门票比根据实际人数按8 折优惠购买门票更便宜？解：解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班为56100.8448（元）；乙班为54100.8432（元）；所以两班分别购买门票共需花费880元当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共（5654）100.7770（元）（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，30

8、x100,0.81 0 x 1000 .71 0.7.5 x 100解这个不等式组，得8.所以，当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.四、生活娱乐问题型四、生活娱乐问题型例例4 4、小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地 后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地小宝的体重可能是（）23.2千克千克21.1千克19.9千克解:设小宝的体重是 x 千克，则妈妈的体重

9、是2x 千克.由题意得,由此可以得出小宝的体重.点评：点评：本题较为新颖，只需列出不等式组即可获解。温馨提示：温馨提示：以上几例可以看出，不等式应用题的取材广泛，内容丰富多彩，又紧密联系现实生活解这类问题难点在于理清题意，寻找题目中的关键信息词，例如“不少于”、“不得超过”、“大于”、“小于”、“比要节省”等，建立方程和不等式模型，从而解决实际问题.解答此类问题的关键是把实际问题与数学问题相联系，建立相应的数学模型.一道关于不等式的中考题赏析一道关于不等式的中考题赏析近年来，在各地的中考试题中，常常出现一类利用不等式确定方案的题型。解答这类题目，应先构建不等式的模型，通过确定未知数的取值来决定

10、方案。例例（河南省课改区中考题）某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34 万元。价格（万元台）每台日产量（个）(1)按该公司要求可以有几种购买方案？(2)若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于380 个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6x）台，由题意，得 7x+5（6x）34。解这个不等式，得 x2。x 是自然数，x 取 0，1，2，三个值。该公司按要求有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机

11、器，购买乙种机器6 台；方案二：购买甲种机器 1 台，乙种机器 5 台；方案三：购买甲种机器 2 台，乙种机器 4 台。（2）按方案一购买机器，所耗资金为 65=30 万元，新购买机器日生产量为 660=360 个；按方案二购买机器，所耗资金为 17+55=32 万元，新购买机器日生产量为 1100+560=400 个；按方案三购买机器，所耗资金为 27+45=34 万元，新购买机器日生产量为2100+460=440 个。甲 7 100乙 5 60因此，选择方案二既能达到生产力不低于380 个的要求，又比方案三节约2 万元资金。故应选择方案二。不等式应用题赏析不等式应用题赏析纵览全国各地市中考

12、试题，以现实生活为背景，设计新颖的不等式应用题频频出现 当所给出的题目中出现“最多、最少、不低于、不超过、至多、至少”等关键词语时，常考虑借助不等式（组）来解决解决这类问题的突破口是对题目中所给的条件进行分析，把题中所给的条件转化为相应的不等关系，然后根据题意，恰当设出未知数，列出不等式或不等式组进行求解现撷取几例，分类进行解析一、利用不等式解决问题一、利用不等式解决问题例例 1 1（福州课改）请你帮小健同学解答以下问题：学校准备用2000元购买名著和辞典作为科艺节的奖品，其中名著每套 65元，辞典每本 40元现已购买名著20 套，问最多还能买辞典多少套？分析：分析：解决此问题的关键是应理解“

13、最多”的含义，即买辞典所花钱数（辞典单价套数）买名著所花的钱数（名著单价套数）总费用2 000 元而买名著的套数、单价和辞典单价均已确定，只需再设出辞典的套数，便可列出不等式，从而使问题获解解：解：设买辞典x套根据题意，得65 2040 x2000解这个不等式，得x17为x为整数，所以x的最大整数值为 17故最多还能买辞典 17 本二、利用不等式组解决问题二、利用不等式组解决问题例例 2 2（连云港）光明农场现有某种植物10 000kg，打算全部用于生产高科技药品和保健食品 若生产高科技药品，1kg该植物可提炼出0.01kg的高科技药品，将产生污染物0.1kg；若生产保健食品，1kg 该植物可

14、制成 0.2kg 的保健食品，同时产生污染物 0.04kg已知每生产 1kg 高科技药品可获利润 5 000 元，每生产1kg 保健食品可获利润 100 元要使总利润不低于 410 000 元，所产生的污染物总量不超过880kg，求用于生产高科技药品的该植物重量1因2的范围分析：分析：此题中存在两个关键词“不低于”、“不超过”，从而可得如下两个不等量关系：生产高科技药品的所获利润生产保健食品所获利润410 000；生产高科技药品所产生的污染物量生产保健食品所产生的污染物量880故可设出未知数，构建不等式组进行求解解：解：设用于生产高科技药品的该植物重量为xkg，则用于生产保健食品的植物重量为(

15、10000 x)kg.50000.01x 1000.2(10000 x)410000，根据题意，得0.1x 0.04(10000 x)880.解得 7000 x8000答：答：用于生产高科技药品的该植物重量不低于7 000kg 且不高于 8 000kg三、利用不等式与方程解决问题三、利用不等式与方程解决问题例例 3 3（山东泰安）某“希望学校”为加强信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个机房只配置 1 台教师用机，若干台学生用机现有厂方提供的产品推介单一份，如下表现知：教师配置CZXM系列机型，学生配置CZXN系列机型；所有机型均按八折优惠销售，两个机房购买计算机的钱

16、数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20 万元也不超过 21 万元请计算，拟建的两个机房各能配置多少台学生用机？产品推介单类别机型生产初级机房高级机房CZXM 012型CZXM 025型CZXN 316型2005 年 1 月CZXN 216型2005 年 3 月日期CZXM 012型CZXM 025型单价10000 元14375 元CZXN 316型4375 元CZXN 216型8750 元性能多人交互分析：分析：由题意可得如下等量关系：购买初级机房学生用机的钱数=购买高级机房学生用机的钱数；不等量关系：20 万元每个机房购买计算机的钱数21 万元，设出恰当的未知数便可列出方程和不等式，通过求其整数解，便可确定拟建的两个机房所能配置的学生用机台数解：解：设初、高级机房分别配置学生用机x台、y台(100004375x)0.8(143758750y)0.8，由题意，得200000(100004375x)0.8210000.化简，得x2y 1，从而26.9 y28.454.9x57.7.x、y只能取正整数，x 55，y 27或x 57，y 28.答：答：初、高级机房各能配置学生用机55 台、27 台，或 57 台、28 台