数列经典例题[裂项相消法]_1.pdf

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1、 1 学习好帮手 数列裂项相消求和的典型题型 1已知等差数列na的前n项和为,15,5,55SaSn则数列11nnaa的前 100 项和为()A100101 B99101 C99100 D101100 2数列,)1(1nnan其前n项之和为,109则在平面直角坐标系中，直线0)1(nyxn在y轴上的截距为()A10 B9 C10 D9 3等比数列na的各项均为正数，且6223219,132aaaaa()求数列na的通项公式；()设,logloglog32313nnaaab求数列1nb的前n项和 4正项数列na满足02)12(2nanann()求数列na的通项公式na；()令,)1(1nnanb

2、求数列nb的前n项和nT 5设等差数列na的前n项和为nS，且12,4224nnaaSS()求数列na的通项公式；()设数列nb满足,211*2211Nnabababnnn求nb的前n项和nT 6已知等差数列na满足：26,7753aaana的前n项和为nS()求na及nS；()令),(11*2Nnabnn求数列nb的前n项和nT 7在数列na中nnanaa211)11(2,1,()求na的通项公式；v1.0 可编辑可修改 2 学习好帮手 ()令,211nnnaab求数列nb的前n项和nS；（）求数列na的前n项和nT 8已知等差数列na的前 3 项和为 6，前 8 项和为4()求数列na的通

3、项公式；()设),0()4(*1Nnqqabnnn求数列nb的前n项和nS 9已知数列na满足,2,021aa且对*,Nnm都有211212)(22nmaaanmnm()求53,aa；()设),(*1212Nnaabnnn证明：nb是等差数列；（）设),0()(*11Nnqqaacnnnn求数列nc的前n项和nS 10已知数列na是一个公差大于 0 的等差数列，且满足16,557263aaaa()求数列na的通项公式；()数列na和数列nb满足等式),(2222*33221Nnbbbbannn求数列nb的前n项和nS 11已知等差数列na的公差为 2，前n项和为nS，且421,SSS成等比数列

4、(1)求数列na的通项公式；(2)令,4)1(112nnnaanb求数列nb的前n项和nT.12正项数列na的前n项和nS满足：0)()1(222nnSnnSnn.(1)求数列na的通项公式na；(2)令,)2(122nnannb数列nb的前n项和为nT，证明：对于,*Nn都有645nT.答案：1A；2B 3解：()设数列an的公比为 q，由 a32=9a2a6有 a32=9a42，q2=由条件可知各项均为正数，故 q=v1.0 可编辑可修改 3 学习好帮手 由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1，a1=故数列an的通项式为 an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（

5、1）+（）+（）=，数列的前 n 项和为 4解：()由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可有（an2n）（an+1）=0 an=2n()an=2n，bn=，bn=，Tn=数列bn的前 n 项和 Tn为 5解：()设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由 S4=4S2，a2n=2an+1 有：，解有 a1=1，d=2 an=2n1，nN*()由已知+=1，nN*，有：当 n=1 时，=，当 n2 时，=（1）（1）=，n=1 时符合 v1.0 可编辑可修改 4 学习好帮手 =，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又 Tn=+，Tn=+，两式相减有：Tn=+（+）=Tn=

6、3 6解：()设等差数列an的公差为 d，a3=7，a5+a7=26，有，解有 a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n；()由()知 an=2n+1，bn=，Tn=，即数列bn的前 n 项和 Tn=7解：()由条件有，又 n=1 时，故数列构成首项为 1，公式为 的等比数列，即 v1.0 可编辑可修改 5 学习好帮手 ()由有，两式相减，有：，（）由有 Tn=2Sn+2a12an+1=8解：()设an的公差为 d，由已知有 解有 a1=3，d=1 故 an=3+（n1）（1）=4n；()由()的解答有，bn=n qn1，于是 Sn=1 q0+2 q1+3 q2+n

7、qn1 若 q1，将上式两边同乘以 q，有 qSn=1 q1+2 q2+3 q3+n qn 上面两式相减，有（q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn 于是 Sn=若 q=1，则 Sn=1+2+3+n=，Sn=9解：()由题意，令 m=2，n=1，可有 a3=2a2a1+2=6 再令 m=3，n=1，可有 a5=2a3a1+8=20()当 nN*时，由已知（以 n+2 代替 m）可有 a2n+3+a2n1=2a2n+1+8 v1.0 可编辑可修改 6 学习好帮手 于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8 即 bn+1bn=8 bn是公差为 8 的等差数列（）由

8、()()解答可知bn是首项为 b1=a3a1=6，公差为 8 的等差数列 则 bn=8n2，即 a2n+1a2n1=8n2 另由已知（令 m=1）可有 an=（n1）2 an+1an=2n+1=2n+1=2n 于是 cn=2nqn1 当 q=1 时，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）当 q1 时，Sn=2 q0+4 q1+6 q2+2n qn1 两边同乘以 q，可有 qSn=2 q1+4 q2+6 q3+2n qn 上述两式相减，有（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2 Sn=2 综上所述，Sn=10解：()设等差数列an的公差为 d，则依题意可知 d0 由 a2+

9、a7=16，有，2a1+7d=16 由 a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55 由联立方程求，有 d=2，a1=1/d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1 v1.0 可编辑可修改 7 学习好帮手 ()令 cn=，则有 an=c1+c2+cn an+1=c1+c2+cn+1 两式相减，有 an+1an=cn+1，由（1）有 a1=1，an+1an=2 cn+1=2，即 cn=2（n2），即当 n2 时，bn=2n+1，又当 n=1 时，b1=2a1=2 bn=于是 Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，11解(1)因为S1a1，S22

10、a121222a12，S44a143224a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n14nanan1(1)n14n(2n1)(2n1)(1)n1(12n112n1)当n为偶数时，Tn(113)(1315)(12n312n1)(12n112n1)112n12n2n1.当n为奇数时，Tn(113)(1315)(12n312n1)(12n112n1)112n12n22n1.所以Tn 2n22n1，n为奇数，2n2n1，n为偶数.(或Tn2n1(1)n12n1)12(1)解 由S2n(n2n1)Sn(n2n)0，8 学习好帮手 得Sn(n2n)(Sn1)0，由于an是正项数列，所以Sn10.所以Snn2n(nN*)n2 时，anSnSn12n，n1 时，a1S12 适合上式 an2n(nN*)(2)证明 由an2n(nN*)得bnn1(n2)2a2nn14n2(n2)21161n21(n2)2 Tn116 1132122142132152 1(n1)21(n1)21n21(n2)2 11611221(n1)21(n2)21161122564(nN*)即对于任意的nN*，都有Tn564.