(新课标)2020版高考数学二轮复习第一部分基础考点自主练透第5讲计数原理与二项式定理学案理新人教A.pdf

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1、第 5 讲 计数原理与二项式定理 两个计数原理 考法全练 1甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都-泉州“二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有()A16 种 B18 种 C20 种 D24 种 解析：选 C任意相邻两天组合在一起，一共有 6 种情况:，,，,。若甲选或，则乙各有 4 种选择,若甲选或或或,则乙各有 3 种选择，故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有 244320（种）2如果一个三位正整数“a1a2a3满足a1a2且a3a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343，275)，那么所有凸数的个数为（）A240 B204 C729 D920 解析

2、：选 A分 8 类，当中间数为 2 时,有 122（个）;当中间数为 3 时，有 236(个）；当中间数为 4 时,有 3412（个)；当中间数为 5 时，有 4520(个）；当中间数为 6 时，有 5630（个)；当中间数为 7 时，有 6742（个)；当中间数为 8 时，有 7856（个）;当中间数为 9 时,有 8972（个）故共有 26122030425672240(个）3某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成 5 块区域，如图社区准备从 4 种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的)所选花卉的颜色不能相同,则不同种植方

3、法的种数为()A96 B114 C168 D240 解析:选 C先在a中种植，有 4 种不同方法,再在b中种植，有 3 种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有 3 种不同方法，若c与b不同色，c有 2 种不同方法，d有 2 种不同方法，再在e中种植，有 2 种不同方法，所以共有 4313243222168（种),故选 C 4用数字 0,1,2，3，4 组成没有重复数字且大于 3 000 的四位数，这样的四位数有_ 个 解析：当千位上的数字为 4 时,满足条件的四位数有 A错误!24(个）；当千位上的数字为 3 时,满足条件的四位数有 A3424（个)由分类加法计数原理得所有满足条件的四

4、位数共有 242448(个）答案：48 5将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是_ 解析：按分步来完成此事第 1 张有 10 种分法，第 2 张有 9 种分法，第 3 张有 8 种分法,故共有 1098720 种分法 答案:720 6在学校举行的田径运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在 1，2，3，4,5，6，7，8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种 解析：分两步安排这 8 名运动员第一步，安排甲、乙、丙三人，共有 1，3,5，7 四条跑道可安排,所以安排方式有 4 3224(

5、种）;第二步，安排另外 5 人,可在 2,4，6，8 及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有 54321120（种）所以安排这 8 名运动员的方式共有 241202 880（种）答案:2 880 错误!应用两个计数原理解题的方法（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理（2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 排列、组合的应用 考法全练 1（2019长春市质量监测（一)要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到A、B、C三个班级中,要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为（)A6

6、 B12 C24 D36 解析：选 B由题意可知，可以分两类,第一类，甲与另一人一同被分到A班，分法有 C错误!A错误!6(种)；第二类，甲单独被分到A班，分法有 C错误!A错误!6(种)所以共有 12种，故选 B 2(一题多解）(2019安徽五校联盟第二次质检）某地环保部门召集 6 家企业的负责人座谈,其中甲企业有 2 人到会,其余 5 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为(）A15 B30 C35 D42 解析：选 B法一：甲企业有 2 人,其余 5 家企业各有 1 人，共有 7 人,所以从 7 人中任选3 人共有 C错误!种情

7、况，发言的 3 人来自 2 家企业的情况有 C错误!C错误!种，所以发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 C错误!C错误!C错误!30（种），故选 B 法二：发言的 3 人来自 3 家不同企业且含甲企业的人的情况有 C错误!C错误!20（种）；发言的 3 人来自 3 家不同企业且不含甲企业的人的情况有 C错误!10(种），所以发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 201030(种），故选 B 3（2019合肥市第二次质量检测）某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务 E,任务B,C

8、不能相邻，则不同的执行方案共有(）A36 种 B44 种 C48 种 D54 种 解析：选 B由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，（1)当AE排第一、二位置时，用表示其他任务，则顺序为AE,余下四项任务,先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有 A错误!A错误!种方法（2)当AE排第二、三位置时，顺序为AE，余下四项任务又分为两类:B,C两项任务中一项排在第一位置,剩余三项任务排在后三个位置,有 A错误!A错误!种方法;D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有 A12A错误!种方法(3)当A

9、E排第三、四位置时,顺序为AE,第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有 C错误!C错误!A错误!A错误!种方法根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有 A2，2A错误!A错误!A错误!A错误!A错误!C错误!C错误!A错误!A错误!44（种),故选 B 4（2019成都市第二次诊断性检测)用数字 0，2，4，7，8，9 组成没有重复数字的六位数，其中大于 420 789 的正整数个数为(）A479 B480 C455 D456 解析：选 C当首位为 7，8,9 时，六位数共有 3A55354321360（个);当首位为 4，第二位为 7，8，9 时，六

10、位数共有 3A错误!3432172(个);当首位为 4，第二位为 2，第三位为 7，8，9 时，六位数共有 3A错误!332118(个)；当首位为 4，第二位为 2，第三位为 0，第四位为 8，9 时，六位数共有 2A222214(个);当首位为 4，第二位为 2，第三位为 0,第四位为 7，第五位为 9 时,六位数共有 1 个 所以大于 420 789 的正整数共有 360721841455（个)5（一题多解）（2019长沙市统一模拟考试）为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B,C，D，E，F，共 6 门选修课程,学校规定每个学生必须从这 6 门课程中选 3门,且A，B两门课程至

11、少要选 1 门,则学生甲共有_种不同的选法 解析：通解：根据题意,可分三类完成：(1)选A课程不选B课程，有 C错误!种不同的选法；(2）选B课程不选A课程，有 C2，4种不同的选法；(3)同时选A和B课程，有 C错误!种不同的选法根据分类加法计数原理，得 C2，4C错误!C错误!66416（种),故学生甲共有 16 种不同的选法 优解：从 6 门课程中选 3 门不同选法有 C错误!种，而A和B两门课程都不选的选法有 C错误!种，则学生甲不同的选法共有 C错误!C错误!20416(种)答案：16 6(2019郑州市第一次质量预测)中国诗词大会(第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场

12、比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵，别有韵味若沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面，沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有_种（用数字作答）解析：分两步完成：（1)蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月进行全排有 A错误!种，若蜀道难排在游子吟的 前面,则有错误!A错误!种；(2)沁园春长沙与清平乐六盘山插入已经排列好的四首诗词形成的前 4 个空位(不含最后一个空位)中，插入法有 A错误!种由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有错误!A错误!A错误!144（种)答案：144 排列、组合应用

13、问题的 8 种常见解法(1)特殊元素（特殊位置)优先安排法（2)相邻问题捆绑法(3）不相邻问题插空法(4)定序问题缩倍法(5)多排问题一排法(6)“小集团”问题先整体后局部法(7）构造模型法（8)正难则反，等价转化法 二项式定理 考法全练 1.错误!错误!的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80 解析:选 CTr1C错误!(x2）5r错误!错误!C错误!2rx103r，由 103r4，得r2,所以x4的系数为 C错误!2240.2(2019武汉部分学校调研）若错误!错误!的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（)A8 B10 C11 D12 解析：选 C错误!错误!的展开式的通

14、项Tr1C错误!（x4)nr错误!错误!（1)rC错误!x错误!，当 4n错误!r0，即n错误!r时展开式中存在常数项，所以n的最小值为 11，选C 3（2019四省八校双教研联考）二项式(1xx2）（1x)10展开式中x4的系数为（）A120 B135 C140 D100 解析：选 B（1x）10的展开式的通项Tr1Cr，10(x)r（1)rC错误!xr,分别令r4，r3，r2,可得展开式中x4的系数为（1)4C错误!（1)3C错误!（1）2C错误!135,故选 B 4（x2xy）5的展开式中，x5y2的系数为（)A10 B20 C30 D60 解析：选 C（x2xy）5（x2x)y5，含y

15、2的项为T3C2，5（x2x)3y2.其中（x2x）3中含x5的项为 C1，3x4xC错误!x5.所以x5y2的系数为 C25C错误!30。故选 C 5若（3x1）5a0a1xa2x2a5x5，则a12a23a34a45a5（）A80 B120 C180 D240 解析：选 D由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5两边求导,可得 15（3x1)4a12a2x3a3x25a5x4，令x1 得，15（31）4a12a23a35a5，即a12a23a34a45a5240，故选 D 6（2019广州市调研测试）已知(2x错误!)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2（a1a3）2

16、_ 解析：因为(2x 2)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,所以取x1 得（错误!2)4(a0a2a4)（a1a3）；取x1 得（错误!2)4(a0a2a4)(a1a3）.相乘得（a0a2a4)2(a1a3)2（错误!2)4（错误!2)4(错误!)222416.答案:16 错误!对于“多项式乘二项式型的二项式问题,通用的解法是系数配对法,即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xrk的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加,即得到xr项的系数 提醒 关注 2 个常失分点：（1）混淆“项的系数”与“二项式系数”概念，项的系数与a，b有关，可正可负,二项式系数只与n有关，恒为正(

17、2）注意“常数项“有理项“系数最大的项”等概念 一、选择题 1在某夏令营活动中，教官给 6 位“萌娃布置一项搜寻空投食物的任务已知:食物投掷地点有远、近两处;由于 Grace 年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处,一组去近处那么不同的搜寻方案有(）A10 种 B40 种 C70 种 D80 种 解析：选 B若 Grace 不参与任务，则需要从剩下的 5 位小孩中任意挑出 1 位陪同,有 C错误!种挑法，再从剩下的 4 位小孩中挑出 2 位搜寻远处，有 C错误!种挑法，最后剩下的 2 位小

18、孩搜寻近处,因此一共有 C错误!C错误!30 种搜寻方案；若 Grace 参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处，有 C错误!种挑法，剩下 3 位小孩去搜寻远处，因此共有 C错误!10 种搜寻方案综上，一共有 301040 种搜寻方案,故选 B 2（2019合肥市第一次质量检测)若错误!错误!的展开式的常数项为 60,则a的值为()A4 B4 C2 D2 解析:选 D错误!错误!的展开式的通项为Tr1C错误!（ax)6r错误!错误!（1）ra6rCr6x6错误!r,令 6错误!r0,得r4，则(1）4a2C错误!60，解得a2，故选 D 3（2019重庆市七校

19、联合考试）错误!(1x)6展开式中x2的系数为（）A15 B20 C30 D35 解析：选 C由多项式乘法知，若求错误!（1x）6展开式中x2的系数，只需求(1x)6展开式中x2和x4的系数（1x)6展开式中含x2和x4的项分别是 C错误!x215x2和 C错误!x415x4，所以错误!（1x)6展开式中x2的系数是 30.故选 C 4若 4 个人按原来站的位置重新站成一排,恰有 1 个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A4 种 B8 种 C12 种 D24 种 解析：选 B将 4 个人重排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，有 C1，4种站法，剩下 3人不站原来位置有 2 种站法，所

20、以共有 C错误!28 种站法,故选 B 5设(x23x2)5a0a1xa2x2a10 x10，则a1等于（）A80 B80 C160 D240 解析:选 D因为（x23x2)5（x1）5(x2)5，所以二项展开式中含x项的系数为 C错误!（1）4C错误!（2)5C错误!（1)5C错误!(2）416080240，故选 D 6（2019广州市综合检测（一)）(2x3)（xa)5的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中x4的系数是(）A5 B10 C15 D20 解析：选 A在（2x3）（xa）5中，令x1，得展开式的各项系数和为（1a）532，解得a1，故(x1）5的展开式的通项Tr1C错误!x

21、5r.当r1 时，得T2C错误!x45x4，当r4 时，得T5C错误!x5x，故（2x3)(x1）5的展开式中x4的系数为 2555，选 A 7(2019柳州模拟）从1，2，3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是（)A72 B70 C66 D64 解析：选 D从1，2，3，10中选取三个不同的数,恰好有两个数相邻，共有 C12C错误!C错误!C错误!56 种选法,三个数相邻共有 C错误!8 种选法,故至少有两个数相邻共有 56864 种选法，故选 D 8(2019洛阳尖子生第二次联考）某校从甲、乙、丙等 8 名教师中选派 4 名同时去 4个边远地区支教（每地

22、1 名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有（)A900 种 B600 种 C300 种 D150 种 解析：选 B第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去,再从剩余的 5 名教师中选 2 名，不同的选派方案有 C错误!A错误!240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的 5 名教师中选 4 名，不同的选派方案有 C错误!A错误!360(种)所以不同的选派方案共有 240360600(种）故选 B 9已知(x2）9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2（2a24a46a68a8)2的值为()A39 B310 C3

23、11 D312 解析：选 D对（x2）9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得 9（x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8,令x1,得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a932.所以（a13a35a57a79a9）2(2a24a46a68a8）2（a12a23a38a89a9)（a12a23a38a89a9)312，故选 D 10现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是(）A72 B144 C240 D288 解析:选 D首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体,有 C错误!A错误!6 种选法，则

24、现在共有 5 个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有 C错误!A错误!A错误!8 种情况，若这双鞋在左数第二个位置，则共有 C错误!C错误!8 种情况，若这双鞋在中间位置，则共有 A错误!A错误!A错误!A错误!16 种情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样,第五个位置和第一个位置的情况一样所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是6(2828 16）288。故选 D 11(一题多解）某校毕业典礼上有 6 个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A120 种 B156 种 C188

25、 种 D240 种 解析:选 A法一：记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和 2号,2 和 3 号，3 和 4 号,4 和 5 号，5 和 6 号，其排法分别为 A2，2A33，A22A错误!，C错误!A错误!A错误!，C错误!A错误!A错误!,C错误!A错误!A错误!，故总编排方案有 A错误!A错误!A错误!A错误!C错误!A错误!A错误!C错误!A错误!A错误!C错误!A错误!A错误!120（种)法二：记演出顺序为 16 号,按甲的编排进行分类,当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C错误!A错误!A错误!48（种);当甲在 2 号位置时，丙、丁

26、相邻的情况有3 种，共有 C错误!A错误!A错误!36(种)；当甲在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种,共有 C1，3A2，2A错误!36(种）所以编排方案共有 483636120（种）12(2019河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于 2021 年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出 3 名男记者和 2 名女记者到民间进行采访报导工作过程中的任务划分为：“负重扛机“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑四项工作，每项工作至少一人参加，但2 名女记者不参加“负重扛机工作，则不同的安排方案数共有（）A150 B126 C90 D54 解析：选 B根据题意,“负重扛机”可由 1 名男

27、记者或 2 名男记者参加，当由 1 名男记者参加“负重扛机工作时，有 C错误!种方法，剩余 2 男 2 女记者可分为 3组参加其余三项工作，共有错误!A错误!种方法，故由 1 名男记者参加“负重扛机”工作时,有 C错误!错误!A错误!种方法;当由 2 名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余 1 男 2 女 3名记者各参加一项工作，有 C23A错误!种方法故满足题意的不同安排方案数共有 C错误!错误!A错误!C错误!A错误!10818126。故选 B 二、填空题 13在错误!错误!的展开式中，x3的系数是_ 解析:错误!错误!的展开式的通项Tr1C错误!（4）5r错误!错误!,r0，1，2，3,4

28、，5，错误!错误!的展开式的通项Tk1C错误!xrk错误!错误!4kC错误!xr2k，k0，1，,r.令r2k3，当k0 时，r3；当k1 时,r5。所以x3的系数为 40C错误!(4)53C错误!4C错误!（4）0C错误!180.答案：180.14（2019福州市质量检测)（1ax）2(1x)5的展开式中,所有x的奇数次幂项的系数和为64,则正实数a的值为_ 解析：设（1ax）2(1x）5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，令x1 得 0a0a1a2a3a4a5a6a7,令x1 得（1a）225a0a1a2a3a4a5a6a7,得：(1a）2252(a1a3a5a7)

29、,又a1a3a5a764，所以（1a）225128,解得a3 或a1(舍)答案：3 15(一题多解）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_ 解析：法一:从 16 张不同的卡片中任取 3 张，不同取法的种数为 C错误!,其中有 2 张红色卡片的不同取法的种数为 C错误!C错误!，其中 3 张卡片颜色相同的不同取法的种数为 C错误!C3，4，所以 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张的不同取法的种数为 C3，16C错误!C错误!C错误!C错误!472.法二：若没

30、有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选 3 张，若都不同色,则不同取法的种数为 C错误!C错误!C错误!64，若 2 张颜色相同,则不同取法的种数为 C错误!C错误!C错误!C错误!144。若红色卡片有 1 张，则剩余 2 张不同色时，不同取法的种数为C错误!C错误!C错误!C错误!192，剩余 2 张同色时，不同取法的种数为 C错误!C错误!C2472,所以不同的取法共有 6414419272472(种）答案：472 16红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成A,B，C，D，E，F六项任务,并对任

31、务的顺序提出了如下要求,重点任务A必须排在前三位，且任务E,F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有_种 解析：因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论 当A在第一位时，有 A错误!A错误!48(种)；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有 C1，3A错误!A错误!36(种)；当A在第三位时，分两种情况:E,F在A之前，此时应有 A错误!A错误!种，E，F在A之后，此时应有 A错误!A错误!A错误!种,故而A在第三位时有 A错误!A错误!A错误!A错误!A错误!36(种）综上，共有 48363

32、6120 种不同的安排方案 答案：120 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.