排列组合解题技巧归纳总结.pdf

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1、排列组合解题技巧归纳总结排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理;教学内容教学内容1.分类计数原理加法原理完成一件事,有n类办法,在第 1 类办法中有m1种不同的方法,在第 2 类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有：N m1 m2 mn种不同的方法2.分步计数原理乘法原理完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1 步有m1种不同的方法,做第 2 步有m2种不同的方法,做第n步有mn种

2、不同的方法,那么完成这件事共有：N m1m2mn种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事;分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类;3.确定每一步或每一类是排列问题有序还是组合无序问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略一一.特殊元素和

3、特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.1先排末位共有C31然后排首位共有C4最后排其它位置共有A43113131C3A4 288由分步计数原理得C4C4A4C3位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置;若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种

4、葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法二二.相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略例 2.7 人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排;由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法甲甲 乙乙丙丙 丁丁要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的

5、不同种数为20三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有A55种,第二步将 4 舞蹈插入第一步4排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,4节目的不同顺序共有A55A6种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30四四.

6、定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略例人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不3/A同排法种数是：A7734空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法,其余的三个位4置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有A7种方法;思考:可以先让甲乙丙就坐吗插入法先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余4 四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐

7、增加,共5有多少排法C10五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为mn种练习题：1某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 422.某8层大楼一楼电梯上来

8、8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78六六.环排问题线排策略环排问题线排策略例 6.8 人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A44并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有 8-1 种排法即7CDEFGHBAABCDEFGHA一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有 n-1 种排法.如果从 n 个不同元素中取出m 个元素作圆形1m排列共有Ann练习题：6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120七七.多排问题直排策略多排问题直排策略例人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,

9、相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有1A24种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5个位置上任意215A A A排列有A5种,则共有445种5前 排后 排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研练习题：有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346八八.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选

10、出 2 个组成复合元共有C52种方法.再把 4 个元素包含一个复合元素装入 4 个不同的盒内有A44种方法,根据分步计数原理装球的方法共有C52A44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种九九.小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个解：把,当作一个小集团与排队共有A22种排法,再排小集

11、团内部共2222AA有A2种排法,由分步计数原理共有222A2A2种排法.15243小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理;练习题：.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式54的种数为A22A5A4552.5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A22A5A5种十十.元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案解：因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排;相邻名额之间形成个空隙;在个

12、空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法;一一班班二二班班三三班班四四班班五五班班六六班班七七班班将 n 个相同的元素分成 m 份 n,m 为正整数,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,插入 nm1个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为Cn1练习题：110 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法C9432.x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数C103十一十一.正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10

13、的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法;这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有C53,只含有 1 个偶12123C5,和为偶数的取法共有C5C5C5数的取法有C5;再淘汰和小于10的偶数共9种,123C5C59符合条件的取法共有C5有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二十二.平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例 12.6 本不同的书平

14、均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法解:分三步取书得C62C42C22种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为 AB,CD,EF,则222C6C4C2中还有AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD共有A33种取3法,而这些分法仅是 AB,CD,EF 一种分法,故共有C62C42C22/A3种分法;n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以Ann为均分的组数避免重复计数;练习题：1将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两

15、组 4 个队,有多少分法54C13C84C4/A22名学生分成 3 组,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 15403.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安22/A2 90排 2 名,则不同的安排方案种数为_C42C22A6十三十三.合理分类与分步策略合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员;选上唱歌人员为标准进行研究只会唱

16、的 5 人中没有人选上唱歌人员共有C32C32种,只会唱的 5 人中只有 1 人112C3C4种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有C52C52种,选上唱歌人员C5由分类计数原理共有112C3C4C52C52种;C32C32C5解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确;分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终;练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 342.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能

17、乘 1人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法.27本题还有如下分类标准：以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四十四.构造模型策略构造模型策略例 14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3 盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有C53种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模

18、型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种 120十五十五.实际操作穷举策略实际操作穷举策略例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C52种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5 号球,3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法,

19、同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有1 种装法,由分步计数原理有2C52种3 号盒 4 号盒 5 号盒对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 92.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有72 种132545 53 34 4十六十六.分解与合成策略分解与合成策略例 16.30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=

20、235 7 1113依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积,135C52C5C54C5所有的偶因数为：C5练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共C8412 58,每个四面体有3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成358174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七十七.化归策略化归策略例 17.25 人排成

21、 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法111C2C1种;再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55 方队中选有C3取 3 行 3 列有C53C53选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人111C2C1选法;有C53C53C3处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这

22、个简要的问题的解决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种C73 35BA十八十八.数字排序问题查字典策略数字排序问题查字典策略例 18由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数解:N 2A55 2A44 A33 A22 A11 297数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数;练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140十九十

23、九.树图策略树图策略例 193人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_N 10对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果练习:分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中i号人不坐i号椅i 1,2,3,4,5的不同坐法有多少种N 44二十二十.复杂分类问题表格策略复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:红111223黄123121兰32121111121311C5C4C5C4

24、C5C4C52C3C52C32C53C2取法一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效二十一：住店法策略二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作 7 家“店”,五项冠军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 75种.小结本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固;排列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证;同学们只有对基本的解题策略熟练掌握;根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础;