《圆锥曲线中的定点与定值问题)教学设计.pdf

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1、1/10 课题名称：圆锥曲线中的定点与定值问题 教学内容分析 圆锥曲线在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一.由于圆锥曲线内容的丰富性，与其他章节知识交叉的综合性，决定了圆锥曲线在高考中地位的特殊性.定点、定值问题与运动变化密切相关，这类问题常与函数，不等式，向量等其他章节知识综合，是学习圆锥曲线的一个难点，这就要求我们在圆锥曲线的复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线的整体把握.学情分析 在学习本节课以前，学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握，学生具备一定的探究问题、分析问题和解决

2、问题的能力，但对圆锥曲线中的定点和定值等综合问题的解决缺乏一个明确的“主线”，正确解答这类问题既要有较强的分析问题能力、几何直观能力还要有较强的运算能力，是对学生数学能力的综合体现，但这几方面学生都比较欠缺，这也是本节课需要对学生数学素养进行培育的重要着眼点.教学目标（1）掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法和解题策略；（2）通过师生互动探究的过程，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理定点和定值综合问题中的应用，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线章节的整体把握；（3）通过合作学习，让学生在团队协作中，自我探究，进一步让学生学会思考问题的方法，培养学生计算能力，严谨的推理能

3、力和多角度思考问题的数学素养。教学重点 掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法；参变量的选取原则 教学难点 对圆锥曲线基本知识与方法的综合运用；分析问题的能力和运算能力的突破 教学方法 启发式、讨论探究式.教学过程设计 2/10 教学 环节 师生活动 设计意图（一）课 题 引 入 提问学生：前面我们主要学习了圆锥曲线的哪些内容？这节课我们来利用这些知识和方法一起研究圆锥曲线中的一些综合问题.通 过提问，让学生总结归纳之前学习的圆锥曲线的基础知识和基本方法，为接下来的定点和定值问题的探究 作 铺垫.（二）范 例 讲 解 例 1：已知椭圆22143xy，过点(1,0)F的直线与椭圆交于,A B两点

4、，点A关于x轴的对称点为A，求证：直线A B横过一定点.教师活动：让学生思考，小组讨论解决这一问题的策略.分析：直线A B是变化的，本质是由于过点(1,0)F的直线的变化引起的，所以可以设过点(1,0)F的直线的斜率为参变量，将直线A B的方程用斜率加以表示，由于定点是与参变量的变化是无关的，然后通过代数变形，将参变量分离出来，令参变量的系数为零，即可求出定点.解法 1：设:1(0)ABlxmym，1122(,),(,)A x yB xy，立 足于学生现有认知水平，通过此中等难度 的 例题，与学生一起探究分析解决圆锥曲线中的定点问题的主线，并3/10 则11(,)A xy，联立2234121x

5、yxmy，得 22(34)690 mymy 12122269,3434myyy ymm 212221:()A Byylyyxxxx直线，2121()xxm yy又，代入上式，得 12121212()()2()0yyxm yyymy yyy，不妨设12yy，上式化为 22140 xmy 因为定点与m的变化无关，所以040yx，即40 xy 直线A B恒过点(4,0)，经检验，当直线A B的斜率为0时，结论也成立 综上，直线A B横过定点(4,0)进一步提问：这个定点能否通过分析，提前确定下来呢？解法 2：212221:()A Byylyyxxxx 根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很

6、可能过x轴上一定点.在直线A B方程中，令0y，得 221212122121121212()(1)(1)2()=yxxmyyy myxxyyyymy yyyyy 将12122269,3434myyy ymm 代入上式，化简得4x 对解决策略和通性通法加以梳理，体会特殊到一般思想的运用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养.与 学 生一起板书解决例1，学生能够对例 1 的分析和解决有清楚的梳理.通过对例1 的探究，再分析此例可知，定值问题4/10 所以，直线A B横过定点(4,0)深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：（1）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引起的；进而引

7、进参变量，根据题意建立这些参变量与已知量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基本思路。（2）特殊到一般的思想 可以先通过特殊情况找到这个定点，明确解决问题的目标，然后就一般的情形进行推理计算证明.例2：设点,A F分别是双曲线13922 yx的左顶点和右焦点,点P是双曲线右支上的动点.问：是否存在常数,使得PAFPFA对于任意的动点P恒成立？证明你的结论.教师活动：引导学生类比例 1 的解题策略进行分析，,PFAPAF大小的变化是由于动点P在双曲线右支上移动导致的，若存在满足条件的常

8、数，则其值与动点P的变化无关，所以可以设点P的坐标为参变量；进一步引导学生通过观察图形，可以把探究,PFAPAF的倍数关系，转化为探究直线PF与直线PA斜率间的关系；解：由题意知：12(,0),(,0)33AF,（1）当直线PF与x轴垂直时，易知1PFAF，所以 22PFAPAF 本质上与例 1 中的定点问题是 类 似的，即这两个问题都是寻求运动变化过程中的不变性，而这些不变性常常反映了数学对象的本 质 属性，通过类 比 思想，探究定值问题的解决策略.学 生的难点在于把代数恒等式进行变形化简或消参 5/10（2）以下证明当直线PF与x轴不垂直时，2PFAPAF 即可，设00(,)P xy，,P

9、FAPAF，直线PA的斜率001003tan1313yykxx；直线PF的斜率002003tan()2323yykxx，003 tan32yx 而000012222010006316(31)2tan231(31)91()31yxyxkykxyx 又2200931xy得2200391yx代入上式，得 0000063tan2tan(31)3(31)32yyxxx 2(0,)(,),(0,)(,)22344 3 2 综上，存在常数2,使得PAFPFA对于任意的动点P恒成立.回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：与解决定点问题类似，首先寻找变化的根源，引入合适的参变量，建立参变量与其他已知量的关系

10、；其次，把几何定值用引入的参变量表示；最后，利用代数恒等变形进行化简或消参变量，求得定值。可根据特殊情形，先确定定值，这对一般情形的推理指明了解决方向.教师补充总结：定值问题的含义比较丰富：可以是一些几何量：线段长度，三角形面积，向量的数量积、线段的比例系数等，但都有有个共同特征，即：在变化过程中表现出来的不变量。6/10 （三）课 堂 练 习 1、（2017 上海春考 20 改编）已知双曲线22:14yx，过点(0,2)M的直线l与双曲线交于,P Q两点，P为P关于y轴的对称点，是否存在一个定点，使得直线P Q总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。2、过抛物线2yx上

11、一点(4 2)A，作倾斜角互补的两条直线,AB AC，它们分别交抛物线于,B C两点，求证：直线BC的斜率为定值.通过前面两道例题的分析和策 略 总结，学生对解决圆锥曲线中的定点与定值问题有了整体把握，利用这两道题，当堂检验学生的课堂学习效果；并让学生在亲自的解题体验中 感 悟“解决圆锥曲线的定点定值问题关键在于寻找产生变化的本质原因”.通过7/10 与学生一起尝试找出突破圆锥曲线的定点定值问 题 之“难”的对策，从而实现对圆锥曲线内 容 的“整体把握”.（四）小 结 结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总结：1、数学知识：2、思想与方法：特殊到一般、类比、化归、设参的原则 （五）布

12、1、（2016 格致三模 22）已知抛物线2:2(0)C ypx p，过点(,0)(0)M aa 与这六道作业题分别8/10 置 作 业 x轴不垂直的直线l与C交于11()A x y,、22()B xy、两点。设A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点。2、（2017金山一模19）已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F的坐标是)0,1(，长轴长是短轴长的2倍，直线l与椭圆 C 交于点A与B，且B、A都在x轴上方，满足180OFBOFA（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。3、（

13、2017 黄浦二模 20）设椭圆M:22221(0)xyabab的左顶点为A、中心为O，若椭圆 M 过点1 1(,)2 2P，且APPO （1）求椭圆 M 的方程；（2）若APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求APQ 面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为12,k k的直线交椭圆 M 于,D E两点，且121k k，求证：直线DE恒过一个定点 4、（2017 虹口一模 20）椭圆2222:1xyCab（0ab）过点(2,0)M，且右焦点为(1,0)F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点(4,3)P，记PA、PB的斜率分别为1k和2k；选自上海各区模拟考，有很强的代表性，一方面，

14、让学生练习课上分析问题的思路和计算能力，另一方面，通过这些题目 的 选取，让学生感受圆锥曲线中的这类问题在高考中的重要地位，并对学生的数 据 分析，直观想象，数学运算，逻辑推理的数学素养的培养x y 9/10（1）求椭圆C的方程；（2）探讨12kk是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12kk的取值范围；5、（2017 奉贤一模 20）过双曲线1422yx的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点.求证：OA OB是一个定值 6、（2017 青浦一模 19）如图，1F、2F分别是椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右焦点，且焦距为2 2，动弦AB平行于x轴，且11|4F AFB；（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若2MF、2NF的斜率分别为1k、2k，求证：12k k是定值；大 有 裨益.板书设计 圆锥曲线中的定点与定值问题 一、复习归纳 10/10 二、例题讲解 例 1 例 2 三、策略总结 四、小结