上海市虹口区2019届高三二模数学试题.pdf

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1、 上海市虹口区 2019届高三二模数学试题-作者:_ -日期:_ 2 上海市虹口区 2019 届高三二模数学试卷 一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1.设全集，若，则_【答案】【解析】【分析】先化简集合 A，再利用补集定义直接求解【详解】全集 UR，集合 Ax|x3|1x|x4或 x2），UAx|2x42，4 故答案为：2，4【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2.若复数（为虚数单位），则 的共轭复数_【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答

2、案【详解】由 zi（2i）1+2i，得 故答案为：12i【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题 3.已知，在第四象限，则_【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值【详解】cos，且 是第四象限角，则 sin，又sin=，故答案为【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符 3 号，属于基础题 4.行列式的元素 的代数余子式的值等于_【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解【详解】行列式的元素 的代数余子式的值为：（1）2+1（4cos9sin）（29）7 故答案为

3、：7【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5.5 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为_【答案】【解析】【分析】设 A周六、周日都有同学参加公益活动，计算出事件 A 包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得【详解】设 A周六、周日都有同学参加公益活动，基本事件的总数为 2532 个，而 5 人都选同一天包含2 种基本事件，故 A 包含 32230 个基本事件，p（A）故填：【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件 A 包含的基本事件的方

4、法，属于基础题 6.已知、是椭圆的两个焦点，点 为椭圆 上的点，若为线段的中点，则线段的长为_ 4【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得 F1（3，0），F2（3，0）a6 点 P 为椭圆 C上的点，|PF1|8，则|PF2|4，M 为线段 PF1的中点，则线段 OM的长为：|PF2|2 故答案为：2【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查 7.若函数（）有 3个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过 a与 0 的大小讨论，转化求解 a的范围即可【详解】函数 f（x）

5、x|xa|4 有三个不同的零点，就是 x|xa|4 有三个不同的根；当 a0时，函数 yx|xa|与 y4 的图象如图：函数 f（x）x|xa|4（aR）有 3个零点，必须，解得 a4；当 a0 时，函数 yx|xa|与 y4 的图象如图：5 函数 f（x）x|xa|4 不可能有三个不同的零点，综上 a（4，+）故答案为：（4，+）【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力 8.若函数（）为偶函数，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 f（x）f（x），即 log3（9x+1）+kxlog3（9x+1）+k（x），变形

6、可得 k 的值，即可得答案【详解】根据题意，函数（kR）为偶函数，则有 f（x）f（x），即 log3（9x+1）+kxlog3（9x+1）+k（x），变形可得：2kxlog3（9x+1）log3（9x+1）2x，则有 k1；故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题 9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 6 【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面

7、的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为 2，棱锥的高为 2，故底面 S22 故棱锥的体积 VSh2，故答案为 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键 10.在平面直角坐标系中，边长为 1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线 是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、，则双曲线 的方程为_ 7 【答案】【解析】【分析】求出 B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出 a，b即可得到双曲线方程【详解】由题意可得 c1，边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点 O，如图所示，双曲线 是以 C、F 为焦点

8、的，且经过正六边形的顶点 A、B、D、E，可得 B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b21，解得 a2，b2，所求双曲线的方程为：故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查 11.若函数，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（0）与 f（1）的值，据此依次求出 f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得 f（x）f（x+6），（x0），据此可得 f（2019）f（3+3366）f（3），即可得答案 8【详解】根据题意，函数，当 x0时，f（x）2x，则 f（0）201，f（1）212，当 x0 时，f（x）f（x1）f

9、（x2），f（x+1）f（x）f（x1），+得 f（x+1）f（x2），f（x+4）f（x+1）=f（x2），即 f（x+6）f（x），又 f（2019）f（3+3366）f（3）而 f（1）f（0）f（1）121，f（2）f（1）f（0）112，f（3）f（2）f（1）2（1）1，f（2019）f（3+3366）f（3）1；故答案为：1【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题 12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据圆心到点 P的距离以及平面向量的数量积定义，求出 PC的最小值，计算再计算的最小值【详解】圆 C：（xm）

10、2+（ym+1）21的圆心坐标为（m，m1），半径为 1，PC，PAPB，cosAPC，cosAPB2（）211，（PC21）（1）3+PC23+23+2，9 当且仅当 PC时取等号，的最小值为 23 故答案为：23【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20分）13.已知、是两个不同平面，为 内的一条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面

11、平行的定义及性质可判断必要性.【详解】、表示两个不同的平面，直线 m，m，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在 m，满足必要性，“m”是“”的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题 14.钝角三角形的面积是，则等于（）A.1 B.2 C.D.5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角 B，再由余弦定理求得 AC 的值【详解】由题意，钝

12、角ABC 的面积是 SABBCsinB1sinBsinB，10 sinB，B或（不合题意，舍去）；cosB，由余弦定理得：AC2AB2+CB22ABCBcosB1+221（）5，解得 AC 的值为 故选：C【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题 15.已知直线 经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线 的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点 P 的直线 l与圆 C：x2+y216 相交于 A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大由此可得结论【详解】不等式组表示的区域如图阴

13、影部分，其中 AB 的中点为 P，则 APOP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小 l 经过可行域，由图形可知点 P 为直线 x2y+10 与 y20 的交点（3，2）时，|OP|最长，因为kOP，则直线 l的方程为：y2（x4），即 故选：D 【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大 11 16.已知等比数列的首项为 2，公比为，其前 项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】Sn，n 为奇数时，Sn，根据单调性可得：Sn2；n 为偶数时，Sn，根据单调

14、性可得：Sn可得 Sn的最大值与最小值分别为：2，考虑到函数 y3t在（0，+）上单调递增，即可得出【详解】Sn，n为奇数时，Sn，可知：Sn单调递减，且，SnS12；n为偶数时，Sn，可知：Sn单调递增，且，S2Sn Sn的最大值与最小值分别为：2，考虑到函数 y3t在（0，+）上单调递增，A B BA的最小值 故选：B【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求 的值；12（2）当

15、时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值【详解】（1）由题意知函数 f（x）的反函数是其本身，所以 f（x）的反函数 ay93x，x，反函数为 y，所以 a3（2）当时，f（x），f（x），则 yf（x）+f（x）3，故最小值为3【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题 18.如图，在多面体中，、均垂直于平面，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系（1）由已知分别求出的坐标与平面 A1B1C1

16、的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面 AA1B1 的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角 AA1B1C1的大小 13【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，AA14，CC13，BB1ABAC2，BAC120，A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，1，2），C1（0，2，3）（1），设平面 A1B1C1 的一个法向量为，由，取 y1，得 AB1与 A1B1C1所成角的最小值 sin|cos|AB1与 A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面 AA1B1 的一个法向量为，由，取 x11，得 cos 二面角 AA1B1C1的大小为【点睛】本题考查利用空间向量法求

17、解空间角，考查计算能力，是中档题 19.如图，一块长方形区域，在边的中点 处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求 关于 的函数关系式；14（2）当时，求 的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论 的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可【详解】（1），则 OA1，即 AEtan，HOF，HFtan（），则AOE，HOF 得面积分别为tan，tan（），则阴影部分的面积 S1，当，）时，E 在 BH上，F在线段 CH 上，如图，EH，FH，则 EF

18、，则 S（），即，；同理当，；15 即 S（2）当时，S12（1+tan）0tan1，即 11+tan2，则 1+tan22，当且仅当 1+tan，即 1+tan时取等号，即，即 S的最大值为 2 【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题 20.设 为抛物线的焦点，过点 的直线 与抛物线 相交于、两点.（1）若，求此时直线 的方程；（2）若与直线 垂直的直线 过点，且与抛物线 相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；16 （3）设抛物线 上的点、在其准线上的射影分别

19、为、，若的面积是的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线 l 的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线 方程（2由（1）得点 P，又直线 与直线 垂直，将 m 换为,同理可得 Q（，）由此可求直线 PQ 的方程，可得结论；（3）利用的面积是的面积的两倍，求出 N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求 TS中点的轨迹方程【详解】（1）抛物线焦点坐标为 F（1，0），设直线 方程为 xmy+1，设点 A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y24my40，则由韦达定理有：y1+y24m，y1y

20、24，2，1x12（x21），y12y2，17 由可得 m2，,直线方程为 xy+1，即（2）由（1）得点 P，又直线 与直线 垂直，将 m 换为,同理可得 Q（，）m时，直线 PQ的斜率 kPQ，直线 PQ 的方程为：y-2m（x12），整理为 m（x3）（m21）y0，于是直线 PQ 恒过定点 E（3，0），m1 时，直线 PQ 的方程为：x3，也经过点 E（3，0）综上所述：直线 PQ恒过定点 E（3，0）（3）设 S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为 x1，2|y1y2|，设直线 TS 与 x 轴交点为 N，STSF|FN|y1y2|，的面积是TSF 的面积的两倍，

21、|FN|，|FN|=1,xN2，即 N（2，0）设 TS 中点为 M（x，y），由得4（x1x2），又，即 y22x4 18 TS中点轨迹方程为 y22x4【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题 21.设各项均为正数的数列的前 项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前 项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合 中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）a11，an2Sn+Sn1（nN*，n2），S

22、n+1+Sn，相减可得：an+1+an，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得 an 数列bn满足（nN*）n2时，b1b2bn1，相除可得 bn（2）cn，利用求和公式与裂项求和方法可得：Tn作差 Tn+1Tn，利用其单调性即可得出（3）xk1b1+k2b2+knbn，且 x0，其中 k1，k2，kn1，1（nN*，n2），要使 x0，则必须 kn1其它 k1，k2，kn11，1（nN*，n2），可任取 1，1通过放缩及其求和公式即可证明另外 kn1此时：x2222n1+2n0 其它 k1，k2，kn11，1（nN*，n2），可任取 1，1此时集合内的元素 x共有 2n1个互不相同的正数

23、，利用乘法原理可得：表示 x 的式子共有 2n1个利用反证法证明这 2n1个式子所表示的 x 互不相等，再分析求解所有元素的和【详解】（1）a11，an2Sn+Sn1（nN*，n2），Sn+1+Sn，相减可得：an+1+an，化为：（an+1+an）（an+1an1）0，19 an+1+an0，an+1an1，又S2+S1，可得a220，a20，解得：a22，a2a11，数列an设等差数列，an1+n1n 数列bn满足（nN*）n2 时，b1b2bn1，（2）cn，Tn（1）Tn+1Tn（）n3 时，Tn+1Tn n4 时，Tn+1Tn 当 m4 时，使得对任意的 nN*，均有 TmTn（3）

24、xk1b1+k2b2+knbn，且 x0，其中 k1，k2，kn1，1（nN*，n2），要使 x0，则必须 kn1其它 k1，k2，kn11，1（nN*，n2），可任取 1，1 证明：若 kn1，则 xk12+k222+kn12n1kn2n2+22+2n12n2n20，此时 x 恒为负数，不成立 kn1此时：x2222n1+2n2n20，故 k1，k2，kn11，1（nN*，n2），可任取 1，1 其它 k1，k2，kn11，1（nN*，n2），可任取 1，1 此时集合内的元素 x 共有 2n1个互不相同的正数 证明：k1，k2，kn11，1（nN*，n2），利用乘法原理可得：表示 x 的式子

25、共有 2n1个 下面证明这 2n1个式子所表示的 x互不相等，具体如下：20 证明：假如这 2n1个式子所表示的 x 存在相等的数，x12n+kn12n1+k222+k12x22n2n1222ki，1，1（iN*，n1i2），即满足 ki1，1（iN*，n1i2）的第一组系数的下标数为 m 则2m2m1+（）2m2+（）2，而|2m1+（）2m2+（）2|22m1+22m2+222m+14|2m|2m+1 因此，假设不成立，即这 2n1个式子所表示的 x 互不相等 这 2n1个 x 互不相等的正数 x（每个均含 knbn2n）又 ki1 或1（i1，2，n1）等可能出现，因此所有 kibi（i1，2，n1）部分的和为 0 故集合 B 中所有元素的和为所有 knbn2n的和，即 2n2n122n1【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 -THE END,THERE IS NO TXT FOLLOWING.-