一次函数和几何图形综合专题讲座.pdf
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1、一次函数与几何图形综合专题讲座一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结思想方法小结:(1)函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题(2)数形结合法数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用知识规律小结知识规律小结:(1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k0)位置的影响当 b0 时,直线与 y 轴的正半轴相交;当 b=0 时,直线经过原点;当 b0 时,直线与 y 轴的负半
2、轴相交当 k,b 异号时,即-0 时,直线与 x 轴正半轴相交;当 b=0 时,即-=0 时,直线经过原点;当 k,b 同号时,即-0 时,直线与 x 轴负半轴相交当 kO,bO 时,图象经过第一、二、三象限;当 k0,b=0 时,图象经过第一、三象限;当 bO,bO 时,图象经过第一、三、四象限;当 kO,b0 时,图象经过第一、二、四象限;bkbkbk当 kO,b=0 时,图象经过第二、四象限;当 bO,bO 时,图象经过第二、三、四象限(2)直线 y=kx+b(k0)与直线 y=kx(k0)的位置关系直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时,把直线y=kx 向上
3、平移 b 个单位,可得直线y=kx+b;当 bO 时,把直线 y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线 y=kx+b(3)直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2(k10,k20)的位置关系k1k2y1与 y2相交;k1 k2;y1与 y2相交于 y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2)b b12k1 k2,y1与 y2平行;b b21k1 k2,y1与 y2重合.b1b2例题精讲:例题精讲:1、直线y=-2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,C 在 y 轴的负半轴上,且 OC=OByQBxoCAP(1)求AC的解析式;(2)在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQBP,
4、交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系,并证明你的结论。(3)在(2)的前提下,作 PMAC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论:(MQ+AC)/PM 的值不变;(MQ-AC)/PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。yQBMoCAPx2(本题满分 12 分)如图所示,直线 L:y mx5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于 A、B 两点。(1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;第 2 题图第 2 题图(2)在(1)的条件下,如图所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两点分别作 AMOQ 于 M,BNOQ 于 N,
5、若 AM=4,BN=3,求 MN 的长。(3)当m取不同的值时,点 B 在y轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直角顶点在第一、二象限作等腰直角OBF 和等腰直角ABE,连 EF 交y轴于 P 点,如图。问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请求出其值,若不是,说明理由。第 2 题图考点:一次函数综合题;直角三角形全等的判定专题:代数几何综合题分析:(1)是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度;(2)由 OA=OB 得到启发,证明AMOONB,用对应线段相等求长度;(3)通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求PB 的长解答:
6、解:(1)直线 L:y=mx+5m,A(-5,0),B(0,5m),由 OA=OB 得 5m=5,m=1,直线解析式为:y=x+5(2)在AMO 和OBN 中 OA=OB,OAM=BON,AMO=BNO,AMOONBAM=ON=4,BN=OM=3(3)如图,作 EKy 轴于 K 点先证ABOBEK,OA=BK,EK=OB再证PBFPKE,PK=PBPB=BK=OA=121252ABy yl10 0 xCl2点评:本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里的垂直关系证明全等,本题也涉及一次函数图象的实际应用问题3、如图,直线l1与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,直线l2与直线
7、l1关于 x 轴对称,已知直线l1的解析式为y x3,(1)求直线l2的解析式;(3 分)(2)过 A 点在ABC 的外部作一条直线l3,过点 B 作 BEl3于 E,过点 C作 CFl3于 F 分别,请画出图形并求证:BECFEF(3)ABC 沿 y 轴向下平移,AB 边交 x 轴于点 P,过P点的直线与 AC 边的延长线相交于点 Q,与 y 轴相交与点 M,且 BPCQ,在ABC 平移的过程中,OM 为定值;MC 为定值。在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。(6 分)A0 0y yBxCy yBP0 0 xAMCQ考点:轴对称的性质;全等三角形的判定与性质分
8、析:(1)根据题意先求直线 l1与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标,再根据轴对称的性质求直线 l2的上点 C 的坐标,用待定系数法求直线l2的解析式;(2)根据题意结合轴对称的性质,先证明BEAAFC,再根据全等三角形的性质,结合图形证明 BE+CF=EF;(3)首先过 Q 点作 QHy 轴于 H,证明QCHPBO,然后根据全等三角形的性质和QHMPOM,从而得HM=OM,根据线段的和差进行计算 OM 的值解答:解:(1)直线 l1与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,A(-3,0),B(0,3),直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称,C(0,-3)直线 l2的解析式为:y=-x-
9、3;(2)如图 1答:BE+CF=EF直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称,AB=BC,EBA=FAC,BEl3,CFl3BEA=AFC=90BEAAFCBE=AF,EA=FC,BE+CF=AF+EA=EF;(3)对,OM=3过 Q 点作 QHy 轴于 H,直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称POB=QHC=90,BP=CQ,又 AB=AC,ABO=ACB=HCQ,则QCHPBO(AAS),QH=PO=OB=CHQHMPOMHM=OMOM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OMOM=BC=312点评:轴对称的性质:对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被
10、对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等4.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且a、b满足.(1)求直线AB的解析式;(2)若点M为直线y=mx上一点,且ABM是以AB为底的等腰直角三角形,求m值;(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P,N点的横坐标为-1,过N点的直线交AP于点M,试证明的值为定值考点:一次函数综合题;二次根式的性质与化简;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求正比例函数解析式;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形专题:计算题分析:(1)求出a、b 的值得到 A、B 的坐标,设直线AB 的解析式是y=kx+b,代
11、入得到方程组,求出即可;(2)当 BMBA,且 BM=BA 时,过 M 作 MNY 轴于 N,证BMNABO(AAS),求出M 的坐标即可;当AMBA,且AM=BA 时,过M 作 MNX 轴于 N,同法求出 M 的坐标;当 AMBM,且 AM=BM 时,过 M 作MNX 轴于 N,MHY 轴于 H,证BHMAMN,求出 M 的坐标即可(3)设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点,求出 H、G 的坐标,证AMGADH,AMGADHDPCNPC,推出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案解答:解:(1)要使 b=有意义,必须(a
12、-2)2=0,b-4=0,a=2,b=4,A(2,0),B(0,4),设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,代入得:0=2k+b,4=b,解得:k=-2,b=4,函数解析式为:y=-2x+4,答:直线 AB 的解析式是 y=-2x+4(2)如图 2,分三种情况:如图(1)当 BMBA,且 BM=BA 时,过 M 作 MNY 轴于 N,BMNABO(AAS),MN=OB=4,BN=OA=2,ON=2+4=6,M 的坐标为(4,6),代入 y=mx 得:m=,如图(2)当 AMBA,且 AM=BA 时,过 M 作 MNX 轴于 N,BOAANM(AAS),同理求出 M 的坐标为(6,2),m=,
13、当 AMBM,且 AM=BM 时,过 M 作 MNX 轴于 N,MHY 轴于 H,则BHMAMN,MN=MH,设 M(x,x)代入 y=mx 得:x=mx,(2)m=1,答:m 的值是或 或 1(3)解:如图 3,结论 2 是正确的且定值为 2,设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交MP 于 D 点,由 y=x-与 x 轴交于 H 点,H(1,0),由 y=x-与 y=kx-2k 交于 M 点,M(3,K),而 A(2,0),A 为 HG 的中点,k2k2k2k232133213AMGADH(ASA),又因为 N 点的横坐标为-1,且在 y=x-
14、上,可得 N的纵坐标为-K,同理 P 的纵坐标为-2K,ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1N 与 D 关于 y 轴对称,AMGADHDPCNPC,PN=PD=AD=AM,PM-PN=2AMk2k2点评:本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形性质,用待定系数法求正比例函数的解析式,全等三角形的性质和判定,二次根式的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键5.如图,直线AB:y=-x-b分别与x、y轴交于A(6,0)、B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:OC=3:1。(1)求直线 BC 的解析式:(2)直线EF:y=kx
15、-k(k0)交AB于E,交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样的直线EF,使得SEBD=SFBD?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由?(3)如图,P为A点右侧x轴上的一动点,以P为直角顶点,BP为腰在第一象限作等腰直角BPQ,连接QA并延长交轴于点K,当P点运动时,K点的位置是否发现变化?若不变,请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。考点:一次函数综合题;一次函数的定义;正比例函数的图象;待定系数法求一次函数解析式专题:计算题分析:代入点的坐标求出解析式 y=3x+6,利用坐标相等求出k 的值,用三角形全等的相等关系求出点的坐标解答:解:(1)由已知:0=-6-b,b=-6,AB:y=-x
16、+6B(0,6)OB=6OB:OC=3:1,OC=OB=2,3C(-2,0)设 BC 的解析式是 Y=ax+c,代入得;6=0a+c,0=-2a+c,解得:a=3,c=6,BC:y=3x+6直线 BC 的解析式是:y=3x+6;(2)过 E、F 分别作 EMx 轴,FNx 轴,则EMD=FND=90SEBD=SFBD,DE=DF又NDF=EDM,NFDEDM,FN=ME联立 y=kx-k,y=-x+6得 yE=5k,k 1联立 y=kx-k,y=3x+6得 yF=9kk-3FN=-yF,ME=yE,5k-9k=k 1k-3k0,5(k-3)=-9(k+1),k=;(3)不变化 K(0,-6)过
17、 Q 作 QHx 轴于 H,BPQ 是等腰直角三角形,BPQ=90,PB=PQ,37BOA=QHA=90,BPO=PQH,BOPHPQ,PH=BO,OP=QH,PH+PO=BO+QH,即 OA+AH=BO+QH,又 OA=OB,AH=QH,AHQ 是等腰直角三角形,QAH=45,OAK=45,AOK 为等腰直角三角形,OK=OA=6,K(0,-6)点评:此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解6.如图,直线AB 交 X 轴负半轴于 B(m,0),交Y 轴负半轴于 A(0,m),OCAB 于 C(-2,-2)。(1)求 m 的值;过G作OB的垂线,垂足为GOBOAAOB为等
18、腰直角三角形CBO 45CGB,CGO,OCB都是等腰直角三角形GBOG CG 2m-4(2)直线 AD 交 OC 于 D,交 X 轴于 E,过 B 作 BFAD 于 F,若 OD=OE,求值;HBO FAH(同角的余角相等)OE ODOED ODE FEB OED,ADC ODE(对顶角相等)ADC FEBHBO CADCAD FAH在AFB和AFH中AFB AFH 90AF AF(公共边)BAF FAH(已证)AFB AFH(ASA)BF HF(全等三角形对应边相等)在BOH和AOE中,HBO EAO(已证)BO AO(已知)BOH AOE 90BOH AOE(ASA)BH AE(全等三角
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