三角函数恒等变换知识点总结.pdf

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1、.-三角函数三角函数 三角恒等变换知识点总结三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）与角终边相同的角的集合：|360k,k Z或|2k,k Z0与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于x轴对称的角的集合：；与角终边关于y轴对称的角的集合：；与角终边关于y x轴对称的角的集合：；一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上

2、角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；写出图中所表示的区间角：yyxOO（4 4）正确理解角：）正确理解角：要正确理解“0 90间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于90的角”=；（5）由的终边所在的象限，通过 来判断来判断ooox所在的象限。2所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一.可修编.-已知角的弧度数的绝对值|l，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，rr为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。（7 7）弧长公式：）弧长公式：；半径公式：；

3、半径公式：；扇形面积公式：扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个cos；异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin；tan；cot；sec；csc；如：角的终边上一点(a,3a)，则cos 2sin。注意注意 r0r0（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；yyaOyaOyxO比较比较x(0,Oaxxa2)，sinx，tanx，x的大小关系：的大小关系：。（3）特殊角的三角函数值：sincos0643232tancot 三、同角三角函数的关系与诱导公式

4、：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系平方关系sin2+cos2=1，1+tan2=112=，1+cot22sincos.可修编倒数关系tancot=1商数关系=tansin.-cos-作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2）诱导公式：，；2k：，；：，；：，；：，；2：2，；：，；：23，；：23，；：2诱导公式可用概括为：2K,-,3,的三角函数奇变偶不变，符号看象限的三角函数22作用：“去负脱周化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路即作用：“去负脱周化锐”，是对三角函数式进行角变换的基

5、本思路即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负；利用三角利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间00o o,360,360o o)或或00o o,180,180o o)的三角函数的三角函数脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以

6、讨论。求任意角的三角函数值。步骤：.可修编.-任意负角的三角函数公式三、一任意正角的公式一三角函数0o360o角的三角函数求值0o90o角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个步骤：确定角所在的象限；如函数值为正，先求出对应的锐角1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1；根据角所在的象限，得出0 2间的角如果适合已知条件的角在第二限；则它是1；如果在第三或第四象限，则它是1或21；如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。如tan m，则sin，cos；sin(315)；cot()_。22

7、注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3 3，4 4，5 5）；（6 6，8 8，1010）；（5 5，1212，1313）；（8 8，1515，1717）；四、三角函数图像和性质四、三角函数图像和性质1 1周期函数定义周期函数定义定义定义 对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期周期请你判断下列函数的周期请你判断下列函数的周期y sin xy cosxy|cosx|y cos|x|y|sin x|y=tan

8、 xy=tan|x|y=|tan x|y sin|x|例例 求函数 f(x)=3sin(1.可修编kx)(k 0)的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于53.-注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期结论：如函数结论：如函数f(x k)f(x k)对于对于任意的xR，那么函数，那么函数 f(x)f(x)的周期的周期 T=2k;T=2k;如函如函数数f(x k)f(k x)对对 于于任意的xR，那那 么么 函函数数 f(x)f(x)的的 对对 称称 轴轴是是x 2 2图像图像(x k)

9、(k x)k2.可修编.-3 3、图像的平移、图像的平移对函数yAsin(x)k(A0,0,0,k0),其图象的基本变换有：(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1,伸长；A1,缩短(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由的变化引起的1，缩短；1,伸长(3)相位变换(横向平移变换)：是由的变化引起的 0,左移；0，右移(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的k0,上移；k0,下移四、三角函数公式：四、三角函数公式：两角和与差的三角函数关系coscos sinsin()=sin cossin sincos()=cos积化和差公式sin cos=倍角公式sin2=2sin co

10、scos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan2半角公式2tan1tan2tan()tantan1tantan11cos1cossin(+)+sin(-)sin，cos222221cos sin=sin(+)-sin(-)21cos1cossintan=121cossin1coscos cos=cos(+)+cos(-)21.可修编sin sin=-cos(+)-cos(-)2.-和差化积公式升幂公式1+cos=2cos221cos221 cos2cos221+cos=2cos2sin2+cos2=1212331-cos=sincos=2sinsin2三倍角公式：三倍角公

11、式：sin3 3sin 4sin；cos3 4cos3cos；22sin222sin-sin=2cossin22cos+cos=2coscos22cos-cos=-2sinsin2212tan+cot=sincossin2tan-cot=-2cot2sin+sin=2sincos1-cos=2sin1sin=(sin2221=sin2+cos2sin=2sin降幂公式 cos2)22cos2)cos五、三角恒等变换：五、三角恒等变换：2221sin=(sin三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法

12、技巧如下：（1 1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：问题获解，对角的变形如：2是是的二倍；的二倍；4是是2的二倍；的二倍；是是倍；倍；3的二倍；的二倍；是是的二倍；的二倍；3是是的二的二2224是是的二倍；的二倍；2是是的二倍。的二倍。3624oooo30o；cos；15 45 30 60 4

13、5；问：；问：sin21212o()；42(4)；2()()(4)(4)；等等；等等（2 2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3 3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常.可修编.-数“数“1 1”的代换变形有：”的代换变形有：1 sin2 cos2 sec2 tan2 t

14、ancot sin90o tan45o（4 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1 cos常用升常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：幂化为有理式，常用升幂公式有：；（5 5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：如：1 tan1 t

15、an_；_；1 tan1 tantan tan _；1 tantan _；tan tan _；1 tantan _；2tan；1 tan2；tan20o tan40o3 tan20otan40o；sincos=；asinbcos=；（其中（其中tan；）1cos；1cos；（6 6）三角函数式的化简运算通常从：）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。oo如：sin50(13 tan10)；tancot；24coscoscos；99935cos cos cos；推广：777246cos cos cos；推广：777.可修编.-卓越教育：卓越教育个性化辅导中心，华南地区领先的教育品牌，教师一对一课外辅导全城之最！提供各年级文化课、奥数、奥英等课外辅导。在这里，孩子将得到前所未有的辅导与关爱！.可修编