中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析.pdf

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1、中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析 1.在 Rt ABC中，/ACB=90,AC=5,以斜边AB为底边向外作等腰三角形 PAB连接PC(1)如图 1,当/APB=90 时，求证：PC平分/ACB若PC=6 寸 2,求BC的长；(2)如图 2,当/APB=60,PC=込/2 时，求BC的长.(1)证明：过点P分别作AC BC的垂线，垂足为 E、F 则四边形ECFP是矩形，/EPF=90 /APB=90,A/EPA=Z FPB=90/APF 又 PA=PB/PEA=/PFB=90,APEAPFB PE=PF,矩形 ECFP是正方形 PC平分/ACB 解：延长CB至D,使BD

2、=AC=5,连接PD 在四边形 ACBF中,/ACB=/APB=90/PAG-/PBC=180 /PB-/PBC=180,/./PAC=/PBD 又 PA=PB AC=BD PACA PBD PC=PD/APC=/BPD/APG-/BPC=90,/./BPDHZ BPC=90 即/CPD=90,PCD是等腰直角三角形 CD=2PC=BC=CD-BD=12 5=7(2)以AC为边向外作等边三角形 ACD作DEL BC于E,连接DB 则 DE=2 AC=5,CE=23AC=5 3 PA=PB/APB=60,PAB是等边三角形 AB=AP/BAP=60=/DAC/DAB=/CAP 又 AD=AC A

3、D&A ACP BD=PC=5i”：2 在 Rt BDE中,由勾股定理得:(2)2+(2,3+BC)2=(5.2)2,解得 BC=|c,7 .3)图 1 12 D 图 1 A EA C B P 图 2 2.在平面直角坐标系中，已知点 A(5,0),点B在第一象限，且 AB与直线I:y=|x平 解：AB/直线I，点P在直线 PAB的面积 SPAB是定值 3 3,AM=OA=匸秸=3,BB=2AM=6 5 5 又 AB=8,AB=10 2S PAB ABAM 8 3 4.r AB AB AB AB 8+10 3 PAB的内切圆面积的最大值是：n 彳夕=n 3.已知 ABC中，/BAC=120,AB

4、=AC=4.过点 C作直线 E在直线I上.若/ADE=120,CE=1,求DC的长.解：当点E在点C上方时，如图 1 在AC上取点F,使DI DC连接DF 行，AB长为 8,若点P是直线I 设厶PAB的内切圆的半径为 r，则 1 S=PAr+PB-r+AB 丁 2S PAB r=PH P申AB AB长为8，是定值，.当丨 作点B关于直线I的对称点丨 此时P阳PB=P阳PB=AB 点B和点B关于直线I对称 直线I垂直平分线段BB/AB/直线 I,.ABL BB ABB 是直角三角形且/ABB=90 P阳PB最小时，r最大，从而内切圆面积最大 B，连接AB 交直线I于点P,连接PB则 P阳PB最小

5、 作AML直线I于M 3 作 MNLOA于 N,设 M(m-m 5 OM=丁 m 4 由厶OAMbA OMN得 AM MN OA=oMr 5 I/AB.点D在线段BC上，点 上的动/BAC=120,AB=AC/ACB=/B=30 o /DFC=/DC=30 /FDC=120,ZDFA=150 CE/AB/ACE=/BAC=120 /DC=150,/./DFA=Z DCE/ADE=/FDC=120 /ADF=/ED（=120 -/FDE 在厶 ADFP EDC中/ADF=/EDC DF=DC/DFA=/ADFA EDC AF=CE=1 FC=AC-AF=4 1=3 过 D 作 DGL AC于 G

6、 贝U GC=-2 FC=GC 厂-DC=cos=3 当点E在点C下方时 i）情形 1,如图 2 在CA延长线上取点F,使DF=DC连接DF 则/F=Z DCF=Z DCE=30,./FDC=120 又/ADE=120,AZ ADF=Z EDC=120/ADC ADFA EDC AF=CE=1-FC=AC AF=4+1=5,DC=3.3 4.如图 1 与C 重合），固定 ABC将厶C D E绕点C顺时针旋转 30得到 CDE连接AD BE CE的延长线交 AB于F（如图 2）.（1）探究线段BE与 AD之间的大小关系，并证明你的结论；ii）情形 2,如图 3 过 D 作 DFL AC于 F,过

7、 E 作 EGL BC于 G 则/BDF=90+30=120 又/AD=120,/ADF=/EDG=120/ADB AF EG ADFA EDG：DF=DG DG=#x 设DC=x，则 4-2x 1 ix 解得xi=1 2 矿 2 x 咅昌4.3（舍去）,X2=综上所述,l 5,3 39 3 DC的长为.3 或3 3 或5、3 39 DCE 是边长分别为 4,3 和 3 的两个等边三角形纸片 ABC和C D E叠放在一起（C l （2）将图 2 中的 CDE&射线CF方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的 CDE己 PQR（如图 3）,当点Q与点F重合时停止平移设 PQF移动的时间为t秒，

8、PQRAAFC 重叠部分的面积为 S,求S与t之间的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；值范围.（3）在（2）的条件下，如果对于同一个 S的值，对应的t值恰好有两个，直接写出 t的取 解：(1)BE=AD 证明：ABC CDE都是等边三角形 AC=BC DC=EC,/DCE=Z ACB=60/BCE=30,ACE=30/ACD=30,/ACD=/BCE ACDA BCE BE=AD(2)当点R恰好落在AC上时(如图 1)/ACF=30,/RPQ60,/PRC=90 所需时间 t2=（6-|）斗 1=号（秒）当点Q与点F重合时，所需时间t3=61=6(秒)此时点P与点F重合，所需时间为 3

9、秒 当 Ow t 2=1 CE=/2-乎 =即CE的最大值为2-分三种情形加以讨论：1)当 AE=DE时，则/DA=Z 1=45 CD；等 AC（备用C /BAC=90,.AD平分/BAC AB=AC D为 BC的中点 1-BD=2 BC=1 2)当 AD=DE时 解法一：T/1+上 EDC=Z B+Z DAB/EDC=/DAB 又/B=Z C,ABDA DCE AB=DC=2,BD=BC-DC=2-2 解法二：/1=Z C,Z DAE=Z CAD-A ADEA ACD 当 AD=DE时，DC=AC=2 BD=BC-DC=2-2 2)当 AD=AE时，则Z AE=Z 1=45,ZDA=90 此

10、时点D与B重合，与题意不符，应舍去 综上所述，若 ADE是等腰三角形，则 BD的长为 1 或 2-2 2 9.(1)如图，在 Rt ABC中,Z ABC=90,BDLAC于点 D.求证：AB=ADAC(2)如图，在 Rt ABC中,Z ABC=90，点D为BC边上的点，BE!AD于点E,延长BE 交AC于点F.若BC=BD=1，求AF的值;(3)在 Rt ABC中,Z ABC=90，点D为直线BC上的动点(点D不与B C重合)，直线(用含n的式子表示)，不必证明.BE!AD于点E,交直线AC于点F.AB BC BD=n,请探究并直接写出 AF FC 的所有可能的值(1)证明:如图 又；ZA=Z

11、 A,.A ABSDAC A(2)解：方法一：如图，过点C作cG图交AD的延长线于点G BE!AD Z CG=Z BED=90,；CG/BF AB BD 又 T 云=匚7=1,AB=BC=2BD=2DC BD=DC BC DC 又TZ BD=Z CDG：4 BDE CDG 1 ED=GD=2 EG 2 由(1)可知：AB=AEAD AE DE=2 BD=DEAD AE EG 2 2 AB(2BD)2=2=4,BD BD 4DE=2 AE=4DE B A.=AC=AB ADB=Z ABC F BD!AC DB AB ABC=90,E C 图 AF 2(3)当点D在BC边上时，巨的值为n+n AF

12、 2 当点D在BC延长线上时，匸乙的值为n-n AF 2 当点D在CB延长线上时，锭的值为n-n 10.(福建宁德)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下:如图 1,在等腰直角 ABC中，AB=AC/BA(=90,小敏将一块三角板中含 45。角的顶点 放在点A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角 a,其中三角板斜边所在的直线交直线 BC于点D,直角边所在的直线交直线 BC于点E.(1)小敏在线段 BC上取一点M连接AM旋转中发现：若 AD平分/BAM则AE也平分/MAC请你证明小敏发现的结论；2 2(2)当 0Va 45时，小敏在旋转中还发现线段 BD CE DE之间存在如下等量关系：BD+

13、CE=2 DE.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将厶 AB沿AD所在的直线对折得到 ADF连接EF(如图 2);小亮的方法：将厶 AB绕点A逆时针旋转 90得到ACG连接EG(如图 3).请你从中任选一种方法进行证明；2(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当 45Va V 135。且a90时，等量关系 BD 2 2 2+CE=DE仍然成立现请你继续探究：当 135Va V 180。时(如图 4),等量关系BD+CE 2 2=DE是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.B E D M A E B D A G E C B D 图 3 AF AE=2 F

14、C EG，过点D作DG/BF交AC于点G 1:BC=DC=1,AB=BC BD=DO-BC FC BC DG/BF，FG=BD=2，2 由（1）可知：AB=AEAD I 2 2 AE AB BC F=-2=2=4 ED BD BD AF AE 又 DG/BF FG=ED=4 AF AF 2 又 CGI BF,方法二：如图 AB BD FC=2FG 2 BD=DEAD C 证明：（1）vZ BAC=90,/DAE=45/BAD-Z EAC=90 45=45,/DAM/MA&45 AD平分Z BAM BAD=Z DAM Z MAE=Z EAC-AE平分Z MAC（2）（法一）小颖的方法：将厶 由对

15、折可得：Z BAD=Z FAD Z 由（1）的结论可得：Z FAE=Z AF=AB AB=AC AF=AC/AE=AE AEFA AEC Z AFE=Z C=45 Z DFE=45。+45=90 2 2 2 在 Rt DEF中，DF-EF=DE 2 2 2 即 BD+CE=DE（法二）小亮的方法：将厶 ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACG连接 由旋转可得：Z GA=Z DAB Z ACG=Z B=45,CG=BD AG=AD Z BAD-Z EAC=45,ZGA&Z EAC=45 Z GA=Z DAE=45 AE=AE AGEA ADE GE=DE Z ECG=45+45=90 2 2 2

16、在 Rt ECG,CG-CE=GE 2 2 2 即 BD+CE=DE 2 2 2（3）等量关系BD-CE=DE仍然成立 法一：将厶ABD沿 AD对折得到厶AFD连接EF（如图 4-1）则 BD=FD AF=AB=AC Z AFD=Z ABD=180。45 =135 Z FAD=Z BAD Z DA=45 Z EAF=Z FADH 45,ZEAC=90+Z BA&45=/BA&45 Z EAF=Z EAC AE=AE AFEA ACE EF=EC Z AFE=Z C=45 Z DFE=135。45=90 ABD沿AD对折得到厶AFD连接EF（如图 2）DFA=Z B=45,DF=DB CAE,E

17、F=EC A C D M 图 1 A B EG（图图3）E C A G C D 图 3 A 2 2 2 在 Rt DEF中，DF+EF=DE 即 BD-CE=DE 图 法二：将厶ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACG连接EG（如图 4-2）则 BD=CG AD=AG Z AC=Z ABD=180。45=135 Z DAG=90,ZDAE=45 Z DAE=45,ZGA=90。45 C E 4 1 A C B E /DAE=Z GAE/AE=AE ADEA AGE：GE=DE/ECG 135。45=90 2 2 2 在 Rt ECG中 CG+CE=GE 2 2 2 即 BD+CE=DE 11.(

18、福建模拟)如图，在 ABC中,A*AC=5,BCG 6，点D为AB边上的一动点(不与 A B重合)，过D作DE/BC交AC于点巳把厶ADE沿直线DE折叠，点 A落在点A 处，连接 BA.设AD=x,A ADE的边DE上的高为y.(1)求y与x的函数关系式；)当x取何值时，以点 A、B D为顶点的三角形与 ABC相似；(3)当x取何值时，A DB是直角三角形？(4)当x取何值时，A DB是等腰三角形？解：(1)过 A 作 AML BC于 BM 交 DE于 N,则 BM=1E!C=6 DE/BC AN!DE 即 y=AN 厂 2 2 在 Rt ABM中,AM=5 3=4 DE/BC AD0A AB

19、C AD AN x y AB=AM，5=4 4 备用图 y=5X(0v x 5)3 4 3 A。已由厶ADE折叠得到，A D=AD A E=AE 由(1)可得 ADE是等腰三角形，即 AD=AE AD=A D=AE=A E,.四边形 ADA E 是菱形 DA/AC/BDA=Z BAC/AB=AC=5,BC=6,./BAOZ ABC/BAOZ C /BDA 工/ABC/BDA 工/C 有且只有当 BD=A D时，DBA ABC 5 5 x x,x 2 4/BDA=Z A 90,：D不可能为直角顶点 若/BA D=90 四边形 ADA E 是菱形，.点 A N=AN=y=5x,AM=4,A必在DE

20、垂直平分线上，即直线,8 二 A M=|4-x|5 12.（福建模拟）如图，在 Rt ABC中，/ACB=90,AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一 个动点（不与 C A重合），DEL直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FGL直线AB 于G点，连接EF,设AD=x.（1）若点D在AC边上，求FG的长（用含x的式子表示）；若点D在射线CA上,BEF的面积为S,求S与x的函数关系式，并写出 x的取值 范围.（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于0点，当DR FP的值 最小时，猜想 DO与P0之间的数量关系，并加以证明.在 Rt A BM中,2 2 8 2 2

21、M+BM=(4 -x)+3 2 2 2 2 D+BD=x+(5 x)在 Rt A 8 一 一 一 一-(4-x)+3=x+(5-x)，解得 x=0(舍去)或 若/A BD=90 解法一：/AM=90,.ABA MkABM,15-BA=T 4 2 2 B+BD 125 x=莎 BD中,BA BM BA 3-AB=AM 5=4，在 Rt A BD中,A D2=A 2 15 2 x=(7)+(5-x)，解得 解法二：由 知，A M=|4 在 Rt A BM中,A B2=A 在 Rt A BD中,A B2=A 8 2 2 2 (4-7x)+3=x (5 x)35 125 综上，当x=32 或x=时 3

22、2 时（4）若 BD=A D,由（2）8?X|2 2 822 M+BM=(4 -x)+3 2 2 2 2 D BD=x (5 x)2，解得 知,2 2 若 BD=BA，贝 U BD=A B 2 8(5-x)=(4-x)+3，解得 若 A D=A B,则 A D2=A 822 x=5（舍去）或 DB是直角三角形 5 x=-C 125 x=3?70 x=0(舍去)或x=39 x二（4-x厂+3，解得x=5（舍去）或x=詈 C 备用图 AM上 解：(1)/ACB=90,AC=8,BC=6,AB=*AC+BC=8+6=10 BC 6 3 AC 8 4-SinA=AB=而=5，COSA=AB=忑=5 3

23、/AED=90,AD=x,.DE=ADsin A=5x DE!AB FGLAB,FG/DE 1 3 又 F是BD的中点，FG=DE=币x 亠 亠 3 4 在 Rt ADE中,DE=匸 x,AE=ADcosA=x 5 5 i)当点D在 AC边上时，如图 1 4 BE=AB-AE=10=x 5 1 1 4 3 3 2 3 S=2 BE-FG=2(10 5X)”。乂=25 x (0 x 0)(2)猜想：DO=3PO 证明：作点 D关于AB的对称点 D，连接D F交AB于点P,则DH FP的值最小 1 1 由(1)知 FG=2DE=-D E,即卩 D E=2FG,2 由厶 D P0A FPG 得 EP

24、=2PG=-EG 2 1 过 P作 PHLAB交 EF于 H,贝U PH=FG=3DE 由厶 DO0A POH 得 DO=3PO 13.(福建模拟)如图，在 Rt ABC中，/A=90,AB=6,AC=8,点D E分别是边 AB AC上的动点将 ABC沿DE折叠，使点 A落在BC边上的点F处.(1)当DE/BC时，判断以DE为直径的圆与 BC的位置关系，并说明理由；图 1 B (2)当厶DEF为等腰三角形时，求 AD的长；(3)若以D E、F为顶点的三角形与 ABC相似，求AD的长；(4)随着点D E的移动，点F位置也在不断变化，当点 D从点B开始移动，至点 E与点C 重合，直接写出这一过程中

25、点 F移动的路径的长.1 解：(1)连接 AF交 DE于 G 贝U AF丄 DE AG=FG=-AF 在 Rt ABC中，/A=90,AB=6,AC=8,.BC=10 DE/BC AF丄 BC ADEo ABC 1 5 得 DE=2BC=5,GF=-1 1 SA ABC=BCAF=AB-AC以DE为直径的圆与BC相交(2)/DFE=Z DAE=90,当厶DEF为等腰三角形时，只能 DF=EF 此时 DEF为等腰直角三角形，/1=45./2=7 1=45,./ADF=90 DF/AC BDFoA BAC|D=AC 设 AD=x，贝U DF=x,BD=6 x 6-x 6 24 丁=8，解得 x=2

26、4 24 即AD的长为(3)当/FDE=7 ABC时，FDEAABC 7 ADE=7 FDE ADE=Z ABC DE/BC 1 由(1)知，此时A*-AB=3 当7 FDE=7 ACB寸,FEMA ABC 连接AF交DE于 G 1 则 AF丄 DE AG=FG=AF 7 DAG 7 ADE=90 又7 ADE=7 FDE 7 B+7 ACB=90 7 DA(=7 B,AF=BF 1 A C A 备用图 AF=ABAC BC 628 24 1 12 5 5,GF=7AF=石 v-C C 同理 AF=CF,AF=BF=CF=-BC=5 AG=2AF=5 解：(1)ABC中,AB=AC=10,BC

27、=12 BH=HC=6,AH=AB2-BH=8 过A作AHL BC于H,则厶DBPA ABH BD PD BP”BD PD x=，即=AB AH BH 10 8 6 5 4 BD=x,PD=3X 由厶 FCEA ABH 得 EC=y 5 3 x+y+y=12 B D H E C 当点G落在边AB上，易知 AGRABC 乂 12，即 y=A H 由厶AD&BCA得 AD BC AG BA AD 5 10 6，25 AD=J(4)4 提示：当点 D与点B重合时，BF=BA=6 CF=10-6=4 当点E与点C重合时，CF=CA=8 点F移动的路径的长为 FIF2=CF-CF=8-4=4 14.(上

28、海模拟)如图，ABC中，AB=AC=10,BC=12,P是边AB上的一个动点，过点 P 作PDL AB交BC相于点D,以点D为正方形的一个顶点，在厶ABC内作正方形 DEFG其中D E在边BC上,F在边AC上.(1)设BP的长为x,正方形DEFG勺边长为y,求y关于x的函数关系式，并确定函数的定 义域;BP的长；若不能，请说明理由.又四边形 DEFG!正方形，EF丄BC EF=DE=y 20 48 C(2)当P G F三点共线时，求 BP的长；(3)P、D G三点能否构成等腰三角形？若能，求出 备用图 备用图 A B DH F C 20 48 24 21x+7 5，过C作CML AB于M 即B

29、P的长为 20 G F P B A 由厶APMA ABC得 F P 解得 C B D E A 解得 G F PGD P C B D E A G F P B D l E l B A O x=3(2)当 P 贝U PG/BD:丄 DPG=/(3)将厶CDB&直线I对折得到厶C。记厶C DE与四边形ADE連叠部分的面积为 S,求S关于m的函数关系式，并求当 S最大时四边形 DCEC的周长.y y轴分别相交于 A B两点，点C的 OV RK 10)得到直线I，直线I 与 H D E C PDGA ABC 得 PD=fy 6丿 4 PD&A ABH 得 PG=-y 3 4 3y+y 12 G F三点共线

30、时，连接PG/PGD=90=ZAHB BDP=90-Z BAH D C(3)若 PD=GD 4 20 48 则 x=-x+若 21八 7 PD=PG 则Z PDG=Z PDG Z PDB=90,ZB+Z PDB=90 PDG=Z PGD=Z B=Z C 同理可得厶 GPDAABC GD=PD=+X 6 9 72 y=23 4 3x 若PG=DG 20 48 72 x+=21 7 23 5 20 48 6(-Nx+36 5 54 30=务10-m)当 0 m10m-10(10-m)=6m-而m 综上可知，S关于m的函数关系式如下:9 2 6m-后 m(0 m 5)解：(1)-B(0,C(8,/y

31、=3x+6,当 x=0 时，y=6 6),OB=6 0),OC=8 2 2+8=10 OB 6 3 BC=i6 sin/AC=BC=而=石(2)y=3x+6，当 y=0 时，x=-2 A(-2,0),AC=BC=10 1 1 SAABC=-ACOB=2 肖0七=30 由题意知I /I,&CDE Sx ABC CDENN CAB 15 2 -CD=5,.D(3,设直线I 的解析式为 直线I 的解析式为(3)由(2)可知，当 当 5 nK 10 时，点 0)y=3x+b,把 D(3,0)代入，得 b=y=3x 9 m=5 时，点C正好落在AB上 C在厶ABC内 10 S=3 2(10 m)(5 m

32、 10)显然，在 5 m 10 范围内，当 m=5 时，S最大=弓一把三角尺的直角顶点放在坐标原点 O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射 9 2 9 10 在 0v m（10-m）=410-）=16.（江苏模拟）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路 的边界夹角是 45的位置（如图 1 中的位置）.例如，图 2 是某巷子的俯视图，巷子路面 宽 4m,转弯处为直角，车辆的车身为矩形 ABCD CD与 DE CE的夹角都是45 时，连接EF,交CD于点G若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过.（1）试说明长 8m,宽 3m 的消防车不能通过该直角转弯；

33、（2）为了能使长 8m,宽 3m 的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（MlM 和NN 分 别是以0为圆心，以0M和ON为半径的弧），具体方案如图 3,其中OML OM，请你求出ON 的最小值.解：(1)作 FH!EC于 H,贝U FH=EH=4 EF=4 2.且/GE=45 1 GC=yDC=4,.GE=GC=4 GF=4 2-4 3，即GF的长度未达到车身宽度 消防车不能通过该直角转弯(2)若C D分别与M、M重合，则 OGM为等腰直角三角形 OG=4,OM=4 2 OF=ON=OMk M=4 2-4 FG=8-4 2 0，X V-3 x=-1+7 不合题意，应舍去，二 x=-1-7

34、CP=2+7 综上所述，当 PQC勺面积为-2-时，CP的长为 1 或 3 或 2+7 解：(1)作 EHL AB于 H,FK!AB于 K,EL FK于 L/AP=x,.PB=12-x(2W x w 10)1111 1 EH=-AP=qx,FK=PB=-(12-x)=6-x 1 1 EL=HK=HR PK=QA円 iPB=6 1 1 FL=FK-LK=FK-EH=6-gx-x=6-x 2 2 2 2 2 EF=EL+FL=6+(6 x)2 当x=6 时，EF有最小值 36 线段EF长的最小值是 6 1(2)作 GML AB于 M,贝U Gh=-(EI+FK)=3 可见在点P由点C向点D移动过程

35、中，点 G到AB的距离始终为3,而由(1)知线段EF的 长随x的变化而变化，当x=6,即点P运动到AB中点时，EF=6=2GM而由题意可得/EPF=90 ,EPF是直角三角形，所以点 6是厶EPF外接圆的圆心，只有此时 EPF的外接圆才 与AB相切 当x=6 时，EPF的外接圆与 AB相切(3)延长AE BF交于点H 易知 ANB是等腰直角三角形，四边形 PENF是矩形 S 四边形 AEFB=SX ANB-SA ENF=&ANB-SEPF 1 1 2 2=X120-2-x-y(12-x)1 2=7x-3x+36 18.(江苏模拟)如图，已知线段 AB长为 12,点C D在线段AB上，且AC=D

36、B=2动点P 从点C出发沿线段CD向点D移动(移动到点 D停止)，分别以 侧作等腰 Rt AEP和等腰 Rt BFR连接EF,设AP=x.(1)(2)(3)(4)求线段EF长的最小值；当x为何值时，EPF的外接圆与 AB相切；求四边形 AEFB的面积y与x的函数关系式；设EF的中点为G直接写出整个运动过程中点 G移动的 AR BP为斜边在线段AB同 路径的长.F 1 2 即 y=x-3x+36(4)由(2)知点G到AB的距离始终为 3,所以随着点 P的移动，点 G的移动路径是一条 平行于AB的线段/AB=12,AC=DB=2,.AD=10 点 P在线段 CD上，2wxw 10 1 1 1 AM

37、=AHb HM=qAS HK=尹+3 当 x=2 时，AM=4;当 x=10 时，AM=8 点G移动的路径长为 8 4=4 解：(1)(2)解法一：如图 2，将AE平移到DF连接BF,EF 则四边形 AEFD是平行四边形，AD/EF,AD=EF AC=3BD CD=3AE AC _ CD CD _ AC CD BD=3，AE=DF=3，BD=DF/C=90,BDF=180 /0=90/C=/BDF ACD BDF AD AC EF AD 3,/1=/2,1=1=3 BF BD BF BF/1+/3=90,/2+/3=90 BF丄 AD-BF丄 EF 在 Rt BEF中,tan/BEF=|=彳

38、/APE=/BEF=30 解法二：如图 3,将CA平移到DF,连接AF,BF,EF 则四边形ACDF是平行四边形/C=90,四边形 ACDF!矩形 /AFD=/CAF=90,/1+/2=90 AE AE 也 在 Rt AEF中，tan/3=AF=CD=3 亠 一/BD BD 羽 在 Rt BDF中，tan/1=丽=屁=y (北京模拟)在 Rt ABC中，/C=90,D E分别为CB CA延长线上的点，BE与AD 19.的交点为 P.(1)若(2)若 BD=AC AE=CD在图 1 中画出符合题意的图形，直接写出/AC=3BD CD 3AE,求/APE的度数(利用图 APE的度数;2 作答).如

39、图 1,/APE=45 图 1 图 2 D D ./3=Z 1=30/3+/2=Z 1+/2=90,即ZEFB=90/AFD=/EFB DF AF J3 又 T BF=_EF=cos30 =2，:.ADF EBF /4=/5/AP+/4=/3+/5，/APE=/3=30 20.（上海模拟）如图 1,ABCA DEF是两张全等的三角形纸片，/A=/D=90,/B=/E=30,BC=EF,点F与BC边的中点O重合，且点E、B F、C在同一条直线上如图 2,将厶DEF绕点O顺时针旋转，旋转过程中边 DF EF分别交边AB于点G H设旋转角/BOH 解：(1)30(2)作点A关于OD的对称点K,连接K

40、G KH KO AO 则 KO=AO KG=AG/KO=/AOG O是 Rt ABC斜边 BC的中点，BO=AO=KO /BAO=/B=30,./AO=120 /EO=60,./KO=60-/KOH/AO(=120 (/BOH-60 )=60 /BOH /KOH=/BOH 又 KO=BO OH=OH KOHOA BOH KH=BH 2 2 2 2 2 2/AG+GH=BH,KG+GH=KH/KG=90,./AG=90,./KG=/AG=45 /BG=45，/BO(=105 /BOH=45。，即 a=45(3)过 O作 OML AB于 M,过 H作 HNL OD于 N,交 OM于 P 则 OM

41、AC 1 1/O是 BC的中点，AM=BM=-AB OMk AC 在 Rt ABC中,/B=30,BC=4,AB=2 3,AC=2 BM=3,OM=1/BH=x,.HM=3 x(1)(2)(3)当 a=_。时，AG=BH 2 2 2 当线段 AG GH BH之间满足 AG+GH=BH关系时，求 a的大小;图 1 图 2 B(F)O 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。EO=60,.HN=3ON HN=/ON=90,ZGHN=Z PO=90-Z HGN HG HN 厂 HNGA ONP：OP=页=羽 HG=J30P 即（3-x+MG=p30P OP=/HMRZ OMG90,ZMHP=Z MOG90-/HGN HM MP HMF OMG =,i OM MG 3 x MP 即一=MG-MP=（申-x）MG T MP OP=OM （J3-x）MG 3（材 3 x+MG=1 MG=-4-停 1 x 厂 T AM=AG MG=AB-y-:=3 2 4-p3x 3 4x y=4.3x（0仝 x 三 3）单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善-x+MG