高考数学必胜秘诀在哪――概念-方法-题型-易误点及应试技巧总结五-平面向量.pdf

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1、高考数学必胜秘诀在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面向量1、向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？向量可以平移。如 A 1,2，B4,2，那么把向量AB按向量a=一 1,3平移后得到的向量是 _答：3,02零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量竺)；|AB|4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量也叫共线向量：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记 作：a

2、/b,规定零向量和任何向量平行(与AB共线的单位向量是。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量两个向量平行包含两个平行向量无传递性！因为有0)；三不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；点A B、C共线AB、AC共线；a的相反向量是一a。6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。如以下命题：1假设a山，那么a b。2两个向量相等的充要条件是它们的起点 相同，终点相同。3假设AB DC，那么ABCD是平行四边形。4假设ABCD是平行四 边形，那么AB DC。5假设a b,b c,那么a c。6假设ab,b/c，贝U a/c。其

3、中 正确的选项是_ 答：4 52、向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，AB，注意起点a,b,c等；3i,j为以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量基底，那么平面内的任一向量a可表示为a xi y j x,y，称x,y为向量a的坐标，a=x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。:如果e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量只有一对实数1、a,有且2，使 a=1 e1+2e2。如1假设a(1,1)b13(1,1),

4、c(1,2)，那么c _答：一a-b；2以下向量组中，能作为平面内所有22向量基底的是A.e(0,0)6(1,2)B.e(1,2),e2(5,7)C.e(3,5),(6,10)-13-D.e1(2,3),62(一，-)答：B；3AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中244 线，且AD a,BE b,那么BC可用向量a,b表示为_答：一a-b；4ABC中,233点D在BC边上，且CD 2 DB,CD r AB sAC，那么r s的值是答：04、实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1 a|lia,2当 0 时，a的方向与a的方向相同，当 0,且a、b不

5、同向，a b 0是 为锐角 的必要非充分条件；当 为钝角时，a?bv0，且a、b不反向，a b 0是 为钝角的必 要非充分条件；非零向量a,b夹角 的计算公式：cosw:|a?b|a|b|。如1a ba?ba(,2),b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是 _ 答：4313或0且；2 丨OFQ的面积为S，且OF FQ 1，假设1.3-S，那么OF,FQ夹角22的取值范围是答：(一,一)；34 3a(cosx,si nx),b(cosy,si ny),a与b之间有关系式ka b J3|a kb,其中k 0，用k表示a b；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小答：-k2

6、11a b(k 0)；最小值为一，604k26、向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法那么进行，但“平行四边形法那么只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法那么:设AB a,BC b，那么向量AC叫做a与b的和，即a b AB BC AC；向量的减法：用“三角形法那么：设AB a,AC b,那么 a b AB AC CA由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。化简：AB BC CD:AB AD DC:(AB CD)(AC答：AD:CB:0；2假设正方形ABCD的边长为 1,AB a,BC答OB OC i6B OC 2OA，那么厶A

7、BC的形状为_为ABC的边BC的中点，如1BD)_b,AC c，那么|a b c|=2y/2丨；3假设 0 是AABC所在平面内一点，且满足答：直角三角形；4假设DABC所在平面内有一点P，满足PABP CP0，设，那么 的值为 _答：2；5假设点O是厶ABC的外心，且 OA OB CO 0，|PD|那么厶ABC的内角C为 _ 答：120丨；2坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，那么：向量的加减法运算：a b a x2，y1y2)。如1点A(2,3),B(5,4),c(7,10)，假设APABAC(R)，那么当=_ 时，点 P 在第一、三象限的角平分线：1上答：一；2A(2,3),

8、B(1,4),且一AB(si n x,cos y),x,y(一,一)，贝U x y _22 2 2答：或；3作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，那么162合力FF2F3的终点坐标是_答：9,1实数与向量的积：ax-i,y1x1,y-i。1-3AB，假设AXyJ,B(X2,y2)，那么ABx2x1,y2 y1,即一个向量的坐标等于表示这如设A(2,3),B(1,5)，且AC个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。AD 3AB，贝 U C、D 的坐标分别是平面向量数量积：a?b11答：(1,),(7,9)；-3x1x2 y1y2。如向量a=si nx,cos

9、x，b=sinx,：,sinx，c=一 1,0。1假设 x=3，求向量a、c的夹角；2假设 x(1)150;(2)-或2 1；函数f(x)a b的最大值为一，求的值 答:向量的模：|a|夹角为60，那么|a 2 2 2-122.x y,a|a|213；2 ry。如a,b均为单位向量，它们的2 23b|=_ 答:两点间的距离：假设A,y1,B如图，在平面斜坐标系xOy中,X2,y2，贝U|AB|X2OP xq ye2，其中%y2y1。如xOy 60，平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：假设q,q分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量，那么 P 点斜坐标为(x,y)。1假设点 P

10、 的斜坐标为2,-2，求 P 到 O 的距离丨 PO 丨；2求以 O 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。答：12 22；2x y xy 107、向量的运算律：1 交换律：ab1a,a?b b?a；(2)ab1-a,-1-1-1-1-1-_结合:a b c abc,a bcabca?ba?b a?b；3律:-1-T1-分配aaa,abab,ab?ca?c b?c。女口以下命律:题中：2 2a(b c)a ba c:a(b c)(a b)c:(a b)|a|(.-2|a|b|b|:假设a b 0，那么a 0或b 0；假设a b c b,那么a c；abba a:p，(a b)a b:

11、(a b)a 2a b b。其中正确的选项a a是 _ 答：提醒：1向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，结合律，即a(b?c)(a?b)c，为什么?切记两向量不能相除(相约)；2向量的乘法 不满足8、向量平行(共线)的充要条件：a/b a b(a b)2(|a|b|)2xy yix2=0。如假设向量a(x,1),b(4,x)，当x=_时a与b共线且方向相同答：2；2a(1,1)b(4,x),u a 2b,v 2a b，且u/v，那么 x=_ 答：4；

12、3设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，那么 k=_ 时，A,B,C 共线答：2 或 119、向量垂直的充要条件：a b a b 0|a b|a b|x y20.特别AB AC AB AC地()(I AB-AC I AB IAC3-.r)。如(1)OA(1,2),OB(3,m)，假设OA OB,那么 m _答：一；2以原点 0 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,2 _B 90，那么点 B 的坐标是 _ 答:(1,3)或3,1；3n(a,b),向量n m,且n，贝U m的坐标是 _答：(b,a)或(b,a)1定比分点的概念：设点 P 是直线P1P2上异于 P1、P

13、2的任意一点，假设存在一个 实数，使PPPP2，那么 叫做点 P 分有向线段RP2所成的比，P 点叫做有向线段RP20;当 P的以定比为 的定比分点；2 的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P 点在线段 P1 P2上时点在线段 P1 P2的延长线上时1；当 P 点在线段 P2P1的延长线上时0；11假设点 P 分有向线段PP2所成的比为，那么点 P 分有向线段P所成的比为一。如假设点37P分AB所成的比为，那么A分BP所成的比为_ 答：-43_3线段的定比分点公式：设只(治，)、F2(X2,y2),P(x,y)分有向线段RP?所成x的比为，贝y力1，特别地，当=1 时，就得到线段 P1 P

14、2的中点公式y2XiX22yiy2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确2(x,y)，(知力)、化必)的意义,即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点1和终点，并根据这些点确定对应的定比一。如1假设 M-3,-2N6,-1且MP MN,37那么点 P 的坐标为 _ 答：(6,-)2A(a,O),B(3,2 a)，直线y ax与3线段AB交于M，且AM2MB，那么a等于_ 答：2或411.平移公式：如果点P(x,y)按向量a h,k平移至P(x,y)，贝Ux x h；曲线y y k12f(x,y)0按向量a h,k平移得曲线f(x h,y k)0注意：1函数

15、按向量平移与平常“左加右减有何联系？2向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如1按向量a把(2,3)平移到(1,2)，那么按向量a把点(7,2)平移到点 _ 答：一8,3 2函数y sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是_ 答：(-,1)y cos2x 1，贝Ua=412、向量中一些常用的结论：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2|a|b|a b|a|b|，特别地，当b同向或有0|2 b|a|b|a|b|a b|；当a、b反向或有0|a b|a|b|a|b|a b|；当a、b不 共线|a|b|a b|a|b|(这些和实数比拟类似).3在ABC中，假设A为，如,B

16、 X2,y2,C x3,y3,那么其重心的坐标为G*x2,一y2y3。如假设ABC 的三边的中点分别为 2,1-3,4332 4-1,-1，那么ABC 的重心的坐标为 _ 答：(，)3 3一PG 1(PA PB PC)G为ABC的重心，特别地PA PB PC 0 P3为ABC的重心；PA PB PB PC PC PA P为ABC的垂心；向量(辭直线)；d)(|AB|AC|0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0 PABC的内心；3假设 P 分有向线段RP2所成的比为，点M为平面内的任一点，那么MPMP1L，特别地P为RP2的中点MP_MPz；1 _24 丨向量PAPBPC中三终点A B C共线 存在实数、使得MPPA PB PC且么1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点1,那A(3,1),B(1,3),假设点C满足OCiOA2OB,其中1,2R且i 2点C的轨迹是 _ 答：直线 AB