(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理的逆定理(基础).pdf

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1、勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1.理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2.能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3.理解勾股数的含义；4.通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长abc，满足222abc，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2

2、2ab是否具有相等关系.若222cab，则ABC 是C90的直角三角形；若222cab，则ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222abc时，此三角形为钝角三角形；当222abc时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.要点三、勾股数 满足不定方程222xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以xyz、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41 如果abc、是勾股数，当t为正整数时，以atbtct、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）221

3、 21nnn，（1,nn是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221nnnnn（n1，n是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,2mnmnmn（,mn mn、是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理 1、判断由线段abc，组成的三角形是不是直角三角形（1）a7，b24，c25；（2）a43，b1，c34；（3）22amn，22bmn，2cmn(0mn)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形【答案与解析】解：（1）

4、2222724625ab，2225625c，222abc 由线段abc，组成的三角形是直角三角形 （2）abc，222239251141616bc，2241639a，222bca 由线段abc，组成的三角形不是直角三角形 （3）0mn，222mnmn，2222mnmn 2222224224224224()(2)242acmnmnmm nnm nmm nn，22224224()2bmnmm nn，222acb 由线段abc，组成的三角形是直角三角形【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c与22ab是否具有相等关系，再根

5、据结果判断是否为直角三角形 举一反三：【变式】（2015 春安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组【答案】C.解：82+152=172，能组成直角三角形；52+122=132，能组成直角三角形；122+152202，不能组成直角三角形；72+242=252，能组成直角三角形 故选 C 2、（2016 春丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形 ABCD 的面积 【

6、思路点拨】由 AB3，BC4，B90，应想到连接 AC，则在 RtABC 中即可求出ABC的面积，也可求出线段 AC 的长所以在ACD 中，已知 AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积【答案与解析】解：连接 AC，在ABC 中，因为B90，AB3，BC4，所以22222349 1625ACABBC，所以 AC5，在ACD 中，AD13，DC12，AC5，所以22222251225 14416913DCACAD，即222DCACAD 所以ACD 是直角三角形，且ACD90 所以1122ABCACDABCDSSSABBCACDC四边形 113 45 1222 63

7、036 【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察 类型二、勾股定理逆定理的应用 3、已知：,a b c为ABC的三边且满足222338102426abcabc，试判断ABC的形状.【答案与解析】解：222338102426abcabc 0338262410222ccbbaa 0)13()12()5(222cba 5,12,13abc，222cba ABC 是直角三角形.【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等.举一

8、反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状 解：a2c2b2c2=a4b4，第一步 c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2），第二步 c2=a2+b2，第三步 ABC 为直角三角形 第四步 问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_；（2）错误的原因是：_；（3）本题正确的结论是：_ 【答案】解：（1）第三步；（2）方程两边同时除以（a2b2）时，没有考虑（a2b2）的值有可能是 0；（3）c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2）c2=a2+b2或 a2b2=0 a2b2=0 a+b=0 或

9、ab=0 a+b0 c2=a2+b2或 ab=0 c2=a2+b2或 a=b 该三角形是直角三角形或等腰三角形 4、（2015秦皇岛校级模拟）如图，铁路 MN 和铁路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处是第九十四中学，AP=160 米，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，假使火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响（1）火车在铁路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由（2）如果受到影响，已知火车的速度是 180 千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【思路点拨】（1）过点 A 作 AEMN 于点 E，由点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米可知 AE=80

10、m，再由火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于 BC 两点，连接 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 RtABE 中利用勾股定理求出 BE 的长，进而可得出 BC 的长，根据火车的速度是 180 千米/时求出火车经过 BC 是所用的时间即可【答案与解析】解：（1）会受到影响 过点 A 作 AEMN 于点 E，点 A 到铁路 MN 的距离为 80 米，AE=80m，周围 100 米以内会受到噪音影响，80100，学校会受到影响；（2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，交直线 MN 于 BC 两点，

11、连接 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 RtABE 中，AB=100m，AE=80m，BE=60m，BC=2BE=120m，火车的速度是 180 千米/时=50m/s，t=2.4s 答：学校受到影响的时间是 2.4 秒 【总结升华】题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解【巩固练习】一.选择题 1.（2016 春庆云县期末）下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）Aa=1.5，b=2，c=3 Ba=7，b=24，c=25 Ca=6，b=8，c=10 Da=3，b=4，c=5 2.如图，在单位正方形组成的

12、网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD 3.下列说法：（1）在ABC 中，若a2+b2c2，则ABC 不是直角三角形；（2）若ABC 是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2；（3）在ABC 中，若a2+b2=c2，则C=90；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 12，则斜边上的高为 其中说法正确的有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 4.（2015 春临沂期末）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 的形状为（

13、）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 5已知三角形的三边长为1nnm、(其中221mn)，则此三角形()A.一定是等边三角形 B.一定是等腰三角形 C.一定是直角三角形 D.形状无法确定 6三角形的三边长分别为 22ab、2ab、22ab（ab、都是正整数），则这个三角形是（）A直角三角形 B 钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定 二.填空题 7（2016 春岳池县期末）若三角形的边长分别为 6、8、10，则它的最长边上的高为 8.（2015本溪模拟）如图，在 22 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个点中任取一点 C，使ABC

14、 为直角三角形的点 C 有 个 9.已知0435Zyx,则由此xyz，为边的三角形是 三角形.10在ABC 中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 11若一个三角形的三边之比为 5：12：13，且周长为 60cm，则它的面积为 12如图，AB5，AC3，BC 边上的中线 AD2，则ABC 的面积为_ 三.解答题 13已知：如图，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 CB 的四等分点且 CECB41，求证：AFFE 14观察下列各式：322345，2228610，22215817，222241026，你有没有发现其中的规律?请用含n

15、的代数式表示此规律，再根据规律写出接下来的式子 15.（2015 春石林县校级月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 AD=4米，CD=3 米，ADC=90，AB=13 米，BC=12 米，求这块空地的面积？【答案与解析】一.选择题 1.【答案】A【解析】1.52+2232，故构不成直角三角形.2.【答案】B【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以 AB2+EF2=GH2 3.【答案】B【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则ABC 也为直角三角形，故错误；（2）符合勾股定理，故正确；（3

16、）符合勾股定理的逆定理，故正确；（4）首先根据勾股定理计算其斜边是 13，再根据面积计算其斜边上的高，该高等于两条直角边的乘积除以斜边，故正确 4.【答案】A.【解析】解：正方形小方格边长为 1，BC=2，AC=，AB=，在ABC 中，BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，BC2+AC2=AB2，ABC 是直角三角形 故选：A 5.【答案】C【解析】222221,211nmnnnn，满足勾股定理的逆定理.6.【答案】A【解析】2222222()2()ababab，满足勾股定理的逆定理.二.填空题 7.【答案】4.8；【解析】三角形三边的长分别为 6、8 和 10，62+82=100=

17、102，此三角形是直角三角形，边长为 10 的边是最大边，设它的最大边上的高是 h，68=10h，解得，h=4.8 8.【答案】4；【解析】解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点 A 和 B 组成直角三角形 故答案为：4 9.【答案】直角；10【答案】108 【解析】ABC 是直角三角形.11.【答案】120【解析】这个三角形是直角三角形，设三边长为5;12;13xxx，则512133060 xxxx，解得2x，它的面积为 1151260 412022xx.12【答案】6【解析】延长 AD 到 E，使 DEAD，连结 BE，可得ABE 为 Rt 三.解答题 13【解析】解：连结 AE，设正方

18、形的边长为4a，则 DFCF2a，CEa，BE3a，在 RtADF 中，22222216420AFADDFaaa，在 RtCEF 中，22222245EFCECFaaa，在 RtABE 中，22222216925AEABBEaaa，因为222AEAFEF，所以三角形 AEF 为直角三角形，AFFE 14.【解析】解：222351237，22222112111nnn(n1 且n为整数)15【解析】解：如图，连接 AC 在ACD 中，AD=4 米，CD=3 米，ADC=90，AC=5 米，又AC2+BC2=52+122=132=AB2，ABC 是直角三角形，这块地的面积=ABC 的面积ACD 的面积=512 34=24（平方米）