(完整版)北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定一(基础).pdf

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1、全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（基础）【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法 1“边边边”，判定方法 2“角边角”，判定方法3“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等 2能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等【要点梳理】要点一、全等三角形判定 1“边边边”全等三角形判定 1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果A BAB，A CAC，B CBC，则ABCA B C.要点二、全等三角形判定 2“角边角”全等三角形判定 2“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或

2、“ASA”）.要点诠释：如图，如果AA，ABA B，BB，则ABCA B C.要点三、全等三角形判定 3“角角边”1.全等三角形判定 3“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于 180可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC 和ADE 中，如果 DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC 和ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点

3、四、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1“边边边”1、已知：如图，RPQ 中，RPRQ，M 为 PQ 的中点 求证：RM 平分PRQ 【思路点拨】由中点的定义得 PMQM，RM 为公共边，则可由 SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：M 为 PQ 的中点（已知），PMQM

4、 在RPM 和RQM 中，(),RPRQPMQMRMRM已知公共边 RPMRQM（SSS）PRMQRM（全等三角形对应角相等）即 RM 平分PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中.把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】（2015武汉模拟）如图，在ABC 和DCB 中，AB=DC，AC=DB，求证：ABCDCB 【答案】证明：在ABC 和DCB 中，ABCDCB（SSS）类型二、全等三角形的判定 2“角边角”2、（2016安徽模拟）如图，

5、点 P 在AOB 的平分线上，若使AOPBOP，则需添加的一个条件是（1）小明添加的条件是：AP=BP你认同吗？（2）你添加的条件是 ，请用你添加的条件完成证明 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定进行解答即可；（2）添加APO=BPO，利用 ASA判断得出AOPBOP【答案】（1）不认同；（2）APO=BPO【解析】解：（1）不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等，而“边边角”是不能说明三角形全等的；（2）APO=BPO 理由：点 P 在AOB 的平分线上，AOP=BOP，在AOP 和BOP 中，AOPBOP（ASA）.故答案为：APO=BPO【总结升华】此题主要考查了全等三角

6、形的判定，全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.举一反三：【变式】如图，ABCD，AFDE，BECF.求证：ABCD.【答案】证明：ABCD，BC.AFDE，AFBDEC.又BECF，BEEFCFEF，即 BFCE.在ABF 和DCE 中，BCBFCEAFBDEC ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定 3“角角边”3、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB 求证：ADAC 【思路点拨】要证 ACAD，就是证含有这两个线段的三角形BACEAD.【答案与解析】证明：ABAE，ADAC，CADBAE90 CADDABBAE

7、DAB，即BACEAD 在BAC 和EAD 中 BACEADBECB=DE BACEAD（AAS）AC AD 【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 举一反三：【变式】如图，AD 是ABC 的中线，过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线 CF、BE.求证：BECF.【答案】证明：AD 为ABC 的中线 BDCD BEAD，CFAD，BEDCFD90，在BED 和CFD 中 BEDCFDBDECDFBDCD （对顶角相等）BEDCFD（AAS）BECF 4、已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC（1）求证：AC 与

8、 BD 互相平分；（2）若过 O 点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点，求证：OEOF.【思路点拨】（1）证ABOCDO，得 AOOC，BODO（2）证AEOCFO 或BEODFO【答案与解析】证明：ABDC 在ABO 与CDO 中 AC(AOBCOD对顶角相等）AB=CD ABOCDO（AAS）AOCO，BO=DO 在AEO 和CFO 中 AC(AOECOFAO=CO对顶角相等）AEOCFO（ASA）OEOF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用 5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为

9、了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为 AB，点 C 是碉堡的底部，点 D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知BADBAC，ABDABC90.在ABD 和ABC 中，ABDABCABABBADBAC AB

10、DABC（ASA）BDBC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决【巩固练习】一、选择题 1.能确定ABCDEF 的条件是（）AABDE，BCEF，AE BABDE，BCEF，CE CAE，ABEF，BD DAD，ABDE，BE 2（2015杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明CAD=DAB 的依据是（）A SSS B SAS C ASA D AAS 3AD 是ABC 的角平分线，作 DE

11、AB 于 E，DFAC 于 F，下列结论错误的是（）ADEDF BAEAF CBDCD DADEADF 4（2016黔西南州）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF 的是（）AAB=DE BAC=DF CA=D DBF=EC 5.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了 3 块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()A.带去 B.带去 C.带去 D.都带去 6如图，12，34，下面结论中错误的是（）AADCBCD BABDBAC CABOCDO DAODBOC 二、填空题 7.（2014 秋石林县校级月考）如图，

12、AC=AD，BC=BD，则ABC ；应用的判定方法是（简写）8.在ABC 和A B C中，A44，B67，C69，B44，且 AC B C，则这两个三角形_全等.（填“一定”或“不一定”）9.已知，如图，ABCD，AFDE，AFDE，且 BE2，BC10，则 EF_.10.如图，ABCD，ADBC，OEOF，图中全等三角形共有_对.11.（2016通州区一模）在学习“用直尺和圆规作射线 OC，使它平分AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E；（2）分别以 D，E 为圆心，以大于DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 C；（3）

13、作射线 OC 则 OC 就是所求作的射线 小明同学想知道为什么这样做，所得到射线 OC 就是AOB 的平分线 小华的思路是连接 DC、EC，可证ODCOEC，就能得到AOC=BOC其中证明ODCOEC 的理由是 12.已知:如图，BDEF，ABDE，要说明ABCDEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 三、解答题 13 阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和 CD 相交于点 O，且 OAOB，AC那么AOD 与COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由 答：AODCOB 证明：在AOD 和COB 中，),(),(),(对顶角相等

14、已知已知COBAODOBOACA AODCOB（ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14.已知如图，E、F 在 BD 上，且 ABCD，BFDE，AECF，求证：AC 与 BD 互相平分.15.（2014 秋越秀区校级期中）已知：如图,ABCD,OA OD,BC 过 O 点,点 E、F 在直线 AOD 上,且EF.求证：EB=CF.【答案与解析】一.选择题 1.【答案】D；【解析】A、B 选项是 SSA，没有这种判定，C 选项字母不对应.2.【答案】A；【解析】从角平分线的作法得出，AFD 与AED 的三边全部相等，则AFDAED 3.【答案】C；【解析】可由 AAS 证全等，

15、得到 A、B、D 三个选项是正确的.4.【答案】C；【解析】解：解：选项 A、添加 AB=DE 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；选项 B、添加 AC=DF 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；选项 C、添加A=D 不能判定ABCDEF，故本选项正确；选项 D、添加 BF=EC 可得出 BC=EF，然后可用 ASA 进行判定，故本选项错误 故选 C 5.【答案】C；【解析】由 ASA 定理，可以确定ABC.6.【答案】C；【解析】ABO 与CDO 中，只能找出三对角相等，不能判定全等.二、填空题 7.【答案】ABD；SSS.8.【答案】一定；【解析】由题意，ABCB A C，注意对应角和

16、对应边.9.【答案】6；【解析】ABFCDE，BECF2，EF10226.10.【答案】5；【解析】ABOCDO，AFOCEO，DFOBEO，AODCOB，ABDCDB.11.【答案】SSS；【解析】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，又OC=OC，根据 SSS 可推出OCD 和OCE 全等，故答案为：SSS.12.【答案】（1）AD；（2）ACBF；三、解答题 13.【解析】解：这位同学的回答及证明过程不正确.因为D 所对的是 AO，C 所对的是 OB，证明中用到了 OAOB，这不是一组对应边，所以不能由 ASA 去证明全等.14.【解析】证明：BFDE，BFEFDEEF，即 BEDF 在ABE 和CDF 中，ABCDBEDF,AECF ABECDF（SSS）BD，在ABO 和CDO 中 BDAOBCODABCD ABOCDO（AAS）AOOC，BODO，AC 与 BD 互相平分.15.【解析】证明：ABCD,CDOBAO 在OAB 和ODC 中，CDOBAOODOADOCAOB OABODC（ASA）OCOB 在OCF 和OBE 中 FOCEOBFEOCOB OCFOBE（AAS）EB=CF .