微积分初步形成性考核册答案.pdf

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1、 微积分初步形成性考核作业（一）函数，极限和连续 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1函数)2ln(1)(xxf的定义域是 解：020)2ln(xx，23xx 所以函数)2ln(1)(xxf的定义域是),3()3,2(2函数xxf51)(的定义域是 解：05 x，5x 所以函数xxf51)(的定义域是)5,(3函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是 解：04020)2ln(2xxx，2221xxx 所以函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是2,1()1,2(4函数72)1(2xxxf，则)(xf 解：72)1(2xxxf6)1(61222xxx 所以)(xf62x 5函数0e0

2、2)(2xxxxfx，则)0(f 解：)0(f2202 6函数xxxf2)1(2，则)(xf 解：xxxf2)1(21)1(11222xxx，)(xf12x 7函数1322xxxy的间断点是 解：因为当01x，即1x时函数无意义 所以函数1322xxxy的间断点是1x 8xxx1sinlim 解：xxx1sinlim111sinlimxxx 9若2sin4sinlim0kxxx，则k 解：因为24sin44sinlim4sin4sinlim00kkxkxxxkkxxxx 所以2k 10若23sinlim0kxxx，则k 解：因为2333lim33lim00kxxsimkkxxsimxx 所以2

3、3k 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1设函数2eexxy，则该函数是（）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 解：因为yeeeexyxxxx22)()(所以函数2eexxy是偶函数。故应选 B 2设函数xxysin2，则该函数是（）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 解：因为yxxxxxysin)sin()()(22 所以函数xxysin2是奇函数。故应选 A 3函数222)(xxxxf的图形是关于（）对称 Axy Bx轴 Cy轴 D坐标原点 解：因为)(222222)()()(xfxxxfxxxx 所以函数222)(xxxxf是奇函数 从而函数2

4、22)(xxxxf的图形是关于坐标原点对称的 因此应选 D 4下列函数中为奇函数是（）Axxsin Bxln C)1ln(2xx D2xx 解：应选 C 5函数)5ln(41xxy的定义域为（）A5x B4x C5x且0 x D5x且4x 解：0504xx，54xx，所以应选 D 6函数)1ln(1)(xxf的定义域是（）A),1(B),1()1,0(C),2()2,0(D),2()2,1(解：010)1ln(xx，12xx，函数)1ln(1)(xxf的定义域是),2()2,1(，故应选 D 7设1)1(2xxf，则)(xf（）A)1(xx B2x C)2(xx D)1)(2(xx 解：1)1

5、(2xxf2)1)(1()1)(1(xxxx )2()(xxxf，故应选 C 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等 A2)()(xxf，xxg)(B2)(xxf，xxg)(C2ln)(xxf，xxgln2)(D3ln)(xxf，xxgln3)(解：两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同，所以应选 D 9当0 x时，下列变量中为无穷小量的是（）.Ax1 Bxxsin C)1ln(x D2xx 解：因为0)1ln(lim0 xx，所以当0 x时，)1ln(x为无穷小量，所以应选 C 10当k（）时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0 x处连续.A0 B1 C2 D1 解：因为1)1(l

6、im)(lim200 xxfxx，kf)0(若函数0,0,1)(2xkxxxf，在0 x处连续，则)(lim)0(0 xffx，因此1k。故应选 B 11当k（）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0 x处连续.A0 B1 C2 D3 解：3)2(lim)(lim)0(00 xxxexffk，所以应选 D 12函数233)(2xxxxf的间断点是（）A2,1xx B3x C3,2,1xxx D无间断点 解：当2,1xx时分母为零，因此2,1xx是间断点，故应选 A 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）计算极限423lim222xxxx 解：423lim222xxxx4121lim)2)

7、(2()2)(1(lim22xxxxxxxx 2计算极限165lim221xxxx 解：165lim221xxxx2716lim)1)(1()6)(1(lim11xxxxxxxx 3329lim223xxxx 解：329lim223xxxx234613lim)3)(1()3)(3(lim33xxxxxxxx 4计算极限4586lim224xxxxx 解：4586lim224xxxxx3212lim)4)(1()4)(2(lim44xxxxxxxx 5计算极限6586lim222xxxxx 解：6586lim222xxxxx234lim)3)(2()4)(2(lim22xxxxxxxx 6计算极

8、限xxx11lim0 解：xxx11lim0)11(lim)11()11)(11(lim00 xxxxxxxxx 21111lim0 xx 7计算极限xxx4sin11lim0 解：xxx4sin11lim0)11(4sin)11)(11(lim0 xxxxx 81)11(44sin1lim41)11(4sinlim00 xxxxxxxx 8计算极限244sinlim0 xxx 解：244sinlim0 xxx)24)(24()24(4sinlim0 xxxxx 16)24(44lim4)24(4sinlim00 xxxsimxxxxx 微积分初步形成性考核作业（二）导数、微分及应用 一、填空

9、题（每小题 2 分，共 20 分）1曲线1)(xxf在)2,1(点的斜率是 解：xxf21)(，斜率21)1(fk 2曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是 解：xexf)(，斜率1)0(0efk 所以曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是：1 xy 3曲线21 xy在点)1,1(处的切线方程是 解：2321xy，斜率21211231xxxyk 所以曲线21 xy在点)1,1(处的切线方程是：)1(211xy，即：032yx 4)2(x 解：)2(xxxxx22ln22ln212 5若 y=x(x 1)(x 2)(x 3)，则y(0)=解：6)3)(2)(1()0(y 6已知xxxf3

10、)(3，则)3(f=解：3ln33)(2xxxf，)3(f 3ln2727 7已知xxfln)(，则)(xf =解：xxf1)(，21)(xxf 8若xxxf e)(，则)0(f 解：xxxeexf)(，xxxxxxeexeeexf 2)()(，)0(f2 9函数yx312()的单调增加区间是 解：0)1(6xy，1x，所以函数yx312()的单调增加区间是),1 10函数1)(2 axxf在区间),0(内单调增加，则 a 应满足 解：02)(axxf，而0 x，所以0a 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1函数2)1(xy在区间)2,2(是（D ）A单调增加 B单调减少 C先增后

11、减 D先减后增 2满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy 的（C ）.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点 3若xxfxcose)(，则)0(f=（C ）A.2 B.1 C.-1 D.-2 4设yx lg2，则dy（B ）A12dxx B1dxxln10 Cln10 xxd D1dxx 5 设)(xfy 是可微函数，则)2(cosdxf（D ）Axxfd)2(cos2 Bxxxfd22sin)2(cos Cxxxfd2sin)2(cos2 Dxxxfd22sin)2(cos 6曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（C）A4e B2e C42e D2 7若xxxfcos)(，则)(xf（C

12、）Axxxsincos Bxxxsincos Cxxxcossin2 Dxxxcossin2 8若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（C ）A23cosax Bax6sin Cxsin Dxcos 9下列结论中（B ）不正确 A)(xf在0 xx 处连续，则一定在0 x处可微.B)(xf在0 xx 处不连续，则一定在0 x处不可导.C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D若)(xf在a，b内恒有0)(xf，则在a，b内函数是单调下降的.10若函数 f(x)在点 x0处可导，则(B )是错误的 A函数 f(x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0 xfA C函数 f

13、(x)在点 x0处连续 D函数 f(x)在点 x0处可微 11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B）Asinx Be x Cx 2 D3-x 12.下列结论正确的有（A ）Ax0是 f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0 Bx0是 f(x)的极值点，则 x0必是 f(x)的驻点 C若f(x0)=0，则 x0必是 f(x)的极值点 D使)(xf 不存在的点 x0，一定是 f(x)的极值点 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）设xxy12e，求y 解：xxxxexexexxey1121212)1(2xex1)12(2设xxy3cos4sin，求y.解：xxxysinc

14、os34cos42 3设xyx1e1，求y.解：211121xexyx 4设xxxycosln，求y.解：xxxxxytan23cossin23 5设)(xyy 是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd.解：两边微分：0)(22xdyydxydyxdx xdxydxxdyydy22 dxxyxydy22 6设)(xyy 是由方程1222xyyx确定的隐函数，求yd.解：两边对1222xyyx求导，得：0)(222yxyyyx 0yxyyyx，)()(yxyyx，1 y dxdxydy 7设)(xyy 是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd.解：两边微分，得：02xdxdyxedxedx

15、eyyx dxxeedyxeyxy)2(，dxxexeedyyyx2 8设1e)cos(yyx，求yd 解：两边对1e)cos(yyx求导，得：0)sin()1(yeyyxy 0)sin()sin(yeyyxyyx )sin()sin(yxyyxey )sin()sin(yxeyxyy dxyxeyxdxydyy)sin()sin(微积分初步形成性考核作业（三）不定积分，极值应用问题 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1若)(xf的一个原函数为2ln x，则)(xf 2ln2xxxc 。2若)(xf的一个原函数为xx2e，则)(xf 24xe 。3若cxxxfxed)(，则)(xf 1

16、xx e 4若cxxxf2sind)(，则)(xf 2cos2x 5若cxxxxflnd)(，则)(xf 1x 6若cxxxf2cosd)(，则)(xf 4cos2x 7xxded2 2xedx 8xx d)(sin sin xc 9若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(1232Fxc 10若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2 2112Fxc 二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（）A)(d)(ddxfxxfx B)(d)(xfxxf C)(d)(dxfxxf D)()(dxfxf 解：应选 A 2若cxxxfx22ed)(，则)(xf（）.A.)1

17、(e22xxx B.xx22e2 C.xx2e2 D.xx2e 解：两边同时求导，得：xxexxexf22222)()1(e22xxx，所以应选 A 3若)0()(xxxxf，则xxfd)(（）.A.cxx B.cxx2 C.cxx23223 D.cxx2323221 解：应选 A 4以下计算正确的是（）A3ln3dd3xxx B)1(d1d22xxx Cxxxdd D)1d(dlnxxx 解：应选 A 5 xxf xd)(（）A.cxfxf x)()(B.cxf x)(C.cxfx)(212 D.cxfx)()1(解：xxf xd)(cxfxf xdxxfxf xxfxd)()()()()(

18、，所以应选 A 6xaxdd2=（）Axa2 Bxaaxdln22 Cxaxd2 Dcxaxd2 解：应选 C 7如果等式Cxxfxx11ede)(，则)(xf（）A.x1 B.21x C.x1 D.21x 解：两边求导，得：2111)(xeexfxx，所以21)(xxf，故应选 B 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1xxxxxdsin33 解：xxxxxdsin33xdxdxxdxxsin13 cxxxcos32ln323 2xxd)12(10 解：xxd)12(10cxxdx11010)12(110121)12()12(21 cx11)12(221 3xxxd1sin2 解：xx

19、xd1sin2cxxdx1cos)1(1sin 4xxxd2sin 解：xxxd2sin)2cos2cos(212cos21xdxxxxxd cxxx2sin412cos21 5xxexd 解：xxexdcexedxexexdexxxxx)(四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1 设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为x60厘米，以x60厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：)60(2xxV，即：3260 xxV 23120 xxdxdV，令0dxdV，得：0

20、x（不合题意，舍去），40 x，这时2060 x 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体 的体积最大。2 欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为x216米，从而所用建筑材料为：xxL21632，即：xxL6482 26482xdxdL，令0dxdL得：18x（取正值），这时12216x 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省 五、证明题（本题 5 分）函数x

21、exxf)(在（)0,是单调增加的 证明：因为xexf1)(，当x（)0,时，xexf1)(0 所以函数xexxf)(在（)0,是单调增加的 微积分初步形成性考核作业（四）定积分及应用、微分方程 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1._d)2cos(sin112xxxx 解：3222cossind)2cos(sin10211211112dxxdxxxdxxxxxx 2._d)cos4(225xxxx 解：22225225cos)4(d)cos4(xdxdxxxxxxx2sin2cos22020 xxdx 3已知曲线)(xfy 在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过)5,4(，则该曲线的方

22、程是 。解：由cxdxx2332得所求的曲线方程由cxy2332确定 因为曲线过)5,4(，所以c234325，解得：31c 因此所求的曲线方程为313223xy 4若dxxx)235(113 解：dxxx)235(113442)35(1011113dxdxdxxx 5由定积分的几何意义知，xxaad022=。解：由定积分的几何意义知，xxaad022就等于圆222ayx在第象限的面积，即 圆222ayx面积的41，因此xxaad022241a 6e12d)1ln(ddxxx .解：e12d)1ln(ddxxx0 7xxde02=解：xxde0202020221lim)2(lim21limbx

23、bbxbbxbexdedxe 21)1(lim212bbe 8微分方程1)0(,yyy的特解为 .解：由yy 得ydxdy，dxydy，两边同时积分，得cxyln 因为1)0(y，所以c 01ln，所以0c 从而xy ln，因此微分方程1)0(,yyy的特解为xey 9微分方程03yy的通解为 .解：03yy，03 ydxdy，03 dxydy，13lncxy xcy3ln1，xcey31，即xceey31 所以微分方程03yy的通解为xcey3 10微分方程xyxyysin4)(7)4(3 的阶数为 解：微分方程xyxyysin4)(7)4(3 的阶数为4阶 二、单项选择题（每小题 2 分，

24、共 20 分）1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A ）Ay=x2+3 By=x2+4 C22 xy D12 xy 2若10d)2(xkx=2，则 k=（A ）A1 B-1 C0 D21 3下列定积分中积分值为 0 的是（A ）Axxxd2ee11 Bxxxd2ee11 Cxxxd)cos(3 Dxxxd)sin(2 4设)(xf是连续的奇函数，则定积分aaxxf-d)(（D ）A0-d)(2axxf B0-d)(axxf Caxxf0d)(D 0 5xxdsin22-（D ）A0 B C2 D2 6下列无穷积分收敛的是（B ）A0dexx B0dexx C1d1x

25、x D1d1xx 7下列无穷积分收敛的是（B ）A0dinxxs B02dexx C1d1xx D1d1xx 8下列微分方程中，（D ）是线性微分方程 Ayyyx ln2 Bxxyyye2 Cyyxye Dxyyxyxlnesin 9微分方程0 y的通解为（C ）ACxy BCxy CCy D0y 10下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.yxxydd；B.yxyxydd；C.xxyxysindd；D.)(ddxyxxy 三、计算题（每小题 7 分，共 56 分）1xxxd)e1(e22ln0 解：xxxd)e1(e22ln0319389)1(31)1()1(2ln0322ln0 xx

26、xeede 2xxxdln51e1 解：xxxdln51e1eexdxxdx11)ln51()ln51(51ln)ln51(21)16(101)ln51(215112ex 3xxexd10 解：xxexd101)1(10101010eeeedxexexdexxxx 40d2sinxxx 解：0d2sinxxx002cos2)2(2sin2xxdxdxx dxxdxxxx0002cos2)2cos2cos(2 42sin4)2(2cos400 xxdx 520dsinxxx 解：20dsinxxx)coscos(cos202020 xdxxxxxd 1sin20 x 6求微分方程12xxyy满足

27、初始条件47)1(y的特解 解：微分方程的通解为)()()(cdxexqeydxxpdxxp 这里 xxp1)(，1)(2 xxq 代入得微分方程的通解为)2141(124cxxxy 将初始条件47)1(y代入上式，解得1c 所以微分方程的特解为)12141(124xxxy 7求微分方程xxxyy2sin2的通解。解：微分方程的通解为)()()(cdxexqeydxxpdxxp 这里xxp1)(，xxxq2sin2)(代入得微分方程的通解为)2cos(cxxy 四、证明题（本题 4 分）证明等式aaaxxfxfxxf0)()()(dd。证明：aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(考虑积分0)(adxxf，令tx，则dtdx，从而 aaaaadxxfdttfdttfdttfdxxf00000)()()()()(所以aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaadxxfxfdxxfdxxf000)()()()(Love is not a maybe thing.You know when you love someone.