平面向量与空间向量(精华)适合高三复习用可直接打印.pdf

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1、1/13 平面向量与空间向量 例 1 和a=(3,4)平行的单位向量是_；错解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是51a，即 (35，45)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是51a，即(35，45)或(35，45)例 2已知 A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若 A、B、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点 D 的坐标。文档收集自网络，错解：设 D 的坐标为（x，y），则有 x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。故所求 D 的坐标为（-2，3）。错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个

2、顶点是按照 ABCD 的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形 ABCD。因此，还需要分类讨论。2/13 正解：设 D 的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形 ABCD 时，有 x-2=-1-3，y-1=4-2，即 x=-2，y=3。解得 D 的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形 ADBC 时，有 x-2=3-（-1），y-1=2-4，即 x=6，y=-1。解得 D 的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形 ABDC 时，有 x-3=-1-2，y-2=4-1，即 x=0，y=5。解得 D 的坐标为（0，5）。故第四个顶点 D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。例

3、3已知 P1(3,2)，P2（8，3），若点 P 在直线 P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点 P 的坐标。错解：由|P1P|=2|PP2|得，点 P 分 P1P2所成的比为 2，代入定比分点坐标公式得 P（38,319）错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点 P 为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点 P 是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点 P 为 P1，P2 的内分点时，P 分 P1P2所成的比为 2，此时解得 P（38,319）；当点 P 为 P1，P2 的外分点时，P 分 P1P2所成的比为-2，3/13 此时解得 P（13，4）

4、。则所求点 P 的坐标为（38,319）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。例 4 设向量),(11yxa，),(22yxb，0b，则“ba/”是“1221yxyx”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可 解：若ba/，0b，则bra，代入坐标得：),(),(2211yxryx，即21rxx 且21ryy 消去r，得1221yxyx；反之，若1221yxyx，则21rxx 且21ryy，即),(),(2211yxryx 则bra

5、，ba/故“ba/”是“1221yxyx”的充要条件 答案：C 4/13 点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示 例 5已知a=（1，-1），b=（-1，3），c=（3，5），求实数 x、y，使c=xa+yb 分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可 解：由题意有 xa+yb=x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）又c=（3，5）x-y=3 且-x+3y=5 解之得 x=7 且 y=4 点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法 例 6已知 A（-1，2），B（2，8），AC=31AB，DA=-31BA，求点 C、D 和向量CD的坐标 分析：待定系数法设定点 C

6、、D 的坐标，再根据向量AC AB，DA 和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之 解：设 C、D 的坐标为),(11yx、),(22yx，由题意得 AC=（2,111yx），AB=（3，6），DA=（222,1yx），BA=（-3，-6）又AC=31AB，DA=-31BA 5/13 （2,111yx）=31（3，6），（222,1yx）=-31（-3，-6）即(2,111yx)=(1,2)，(222,1yx)=(1,2)111x且221y，112x且222 y 01x 且41y，且22x 02y 点 C、D 和向量CD 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程

7、思想，对学生运算能力要求较高 例 1在 ABC 中，已知 a2b2bcc2，则角 A 为()A3 B6 C32 D3或32 错解：选 A 错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。正解：a2b2bcc2b2c22bc(21)b2c22bccos32 A32 选 C.例 2在ABC 中，已知BbAacoscos，试判别其形状。错解：等腰三角形。6/13 错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由BbAacoscos得，BBAAcossincossin，即BA2sin2sin，则BA22。接着下结论，所求三角形为等腰三角形 正解：由BbAacoscos得，BBAAcossincos

8、sin，即BA2sin2sin 则BA22或018022 BA，故三角形为直角三角形或等腰三角形。例 3在ABC中26,30cC，试求ABC周长的最大值。并判断此时三角形的形状。错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值 错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正 解：由 正 弦 定 理,得a=2(26)sinA,b=2(26)sinB.a+b=2(26)(sinA+sinB)=4(26)sin2BAcos2BA sin2BA=sin75o=426 7/13 a+b=(26)2 cos2BA(26)2=8+43.当

9、a=b时,三角形周长最大,最大值为8+43+26.此时三角形为等腰三角形 例 4在ABC 中，5:8|:|,60ABACA，其内切圆面积为12，求ABC面积。分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。解：由已知,得内切圆半径为 23.由余弦定理,得三角形三边分别为 16,10,14.例 5已知定点 A(2,1)与定直线l:3x-y+5=0,点 B 在l上移动,点M 在线段 AB 上,且分 AB 的比为 2,求点 M 的轨迹方程.分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带.解:设 B(x0,y0

10、),M(x,y)AM=(x-2,y-1),MB=(x0-x,y0-y),由 题 知AM=2MB)(21)(2200yyyxxx 21322300yyxx 8/13 由于 3x0-y0+5=0,3223 x-213 y+5=0 化简得 M 的轨迹方程为 9x-3y+5=0 例 6过抛物线:y2=2px(p0)顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA、OB(如图),求证:直线 AB 过一定点,并求出这一定点.文档收集自网络，仅用于个人学习 分析:对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a/bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.文档收集自网络，仅用于个人学习

11、 证明:由题意知可设 A 点坐标为(pt221,t1),B点坐标为(pt222,t2)OA=(pt221,t1),OB=(pt222,t2),OAOB,OAOB=0pt221pt222+t1t2=0 t1t2=-4p2 设直线AB过点M(a,b),则BM=(a-pt222,b-t2),BA=(pt221-pt222,t1-t2),由于向量BM与BA是共线向量,（a-pt222）(t1-t2)=9/13(b-t2)(pt221-pt222)化简得 2p(a-2p)=b(t1+t2)显然当 a=2p,b=0 时等式对任意的成立 直线 AB 过定点,且定点坐标为 M(2p,0)三、经典例题 例 1下

12、列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（）A B C D 文档收集自网络，仅用于个人学习 错解：B、C、D 中任选一个 错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系文档收集自网络，仅用于个人学习 正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)10/13 例 2已知点 A(3，1，1)，点 B(2，2，3)，在 Ox、Oy、Oz 轴上分别取点 L、M、N，使它们与 A、B 两点等距离 错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。分析：设 Ox 轴上的点 L 的坐标为(x，0，0)，由题意可得关

13、于 x的一元方程，从而解得 x 的值类似可求得点 M、N 的坐标 解：设 L、M、N 的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)由题意，得 (x3)211(x2)249，9(y1)214(y2)29，91(z1)244(z3)2 分别解得23,1.3zyx，故)23,0,0(),0,1,0(),0,0,3(NML 评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点 P、Q 的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，则 P、Q 的距离为 212212212)()()(zzyyxxPQ 11/13 必须熟练掌握这个公式 例 3设231(,)aa a a，231

14、(,)bb b b，且ab，记|abm，求ab与x轴正方向的夹角的余弦值 错解：取x轴上的任一向量(,0,0)cx，设所求夹角为，22331111()(,)(,0,0)()ab cab ab abxab x 1111()()cos|abcab xabmxmabc，即余弦值为mba11 错因：审题不清。没有看清“x轴正方向”，并不是x轴 正解：取x轴正方向的任一向量(,0,0)cx，设所求夹角为，22331111()(,)(,0,0)()abcab ab abxab x 12/13 1111()()cos|abcab xabmxmabc，即为所求 例 5已知空间三点 A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)，求以向量ACAB,为一组邻边的平行四边形的面积 S；若向量a分别与向量ACAB,垂直，且|a|3，求向量a的坐标 分析：21|cos),2,3,1(),3,1,2(ACABACABBACACAB BAC60，3760sin|ACABS 设a(x,y,z)，则,032zyxABa 33|,023222zyxazyxACa 解得 xyz1 或 xyz1，a(1,1,1)或a(1，1，1).例 6已知正方体1AC的棱长为a，E是1CC的中点，O是对角线1BD的中点，13/13 求异面直线1CC和1BD的距离