高考数学难点突破_难点9指数对数函数.pdf

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1、-.-难点难点 9 9指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.难点磁场11 x,F(x)=+f(x).2 x1 x(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；()设f(x)=log2(2)若f(x)的反函数为f(x),证明：对任意的自然数n(n3),都有f(n)1111n;n1(3)若F(x)的反函数F(x),证明：方程F(x)=0 有惟一解.案例探究例 1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行

2、线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x11,x21,则A、B纵坐标分

3、别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以log8x1log8x2,点C、D坐标分别为x1x2(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1=log8x1log8x2=3log8x1,log2x23log8x2,所以OC的斜率：log82log82k1=log2x13log8x1,x2x1log2x23log8x2，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.x2x2OD的斜率：k2=(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=1log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：3x13log8x1=3x1lo

4、g8x1,由于x11 知 log8x10,x13=3x1.又x11,x1=3,则点A的坐标为(3，log83).例 2 在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数n点Pn位于-.考试资料-.-函数y=2000(ax)(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰10三角形.(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值 X 围；*(3)设=lg(bn)(nN),若a取(2)中确定的 X 围内的最小整数，问数列前多少项的和最大？试

5、说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.1an解：(1)由题意知：an=n+,bn=2000()2.210ax)(0abn+1bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为10a2a边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即()+()10,解得a5(

6、51).5(51)a10.(3)5(51)a10,a=77n2bn=2000().数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,Bn=bnBn1.于是10当bn1 时，BnBn1,当bn1 时，BnBn1,因此数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn117n2且bn+11 时，函数y=logax和y=(1a)x的图象只可能是()B.g(x)=二、填空题3.()已知函数2x(x 0)-1f(x)=.则f(x1)=_.log2(x)(2 x 0)4.()如图，开始时，桶 1 中有aL 水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=aent,那么桶 2 中水就是y2=aaent,假设过 5 分钟时，桶 1

7、和桶 2 的水相等，则再过_分钟桶 1 中的水只有a.8三、解答题5.()设函数f(x)=loga(x3a)(a0 且a1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x2a,y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定a的取值 X 围.6.()已知函数f(x)=logax(a0 且a1),(x(0,+),若x1,x2(0,+),判断f(x1)+f(x2)与f(12x1 x2)的大小，并加以证明.222227.()已知函数x,y满足x1,y1.logax+logay=loga(ax)+loga

8、(ay)(a0 且a1),求 loga(xy)的取值 X 围.8.()设不等式 2(log1x)+9(log1x)+90 的解集为M，求当xM时函数222f(x)=(log2xx)(log2)的最大、最小值.28参考答案难点磁场解：(1)由1 x0,且 2x0 得F(x)的定义域为(1，1)，设1x1x21,则1 x-.考试资料-.-F(x2)F(x1)=(1 x21 x111)+(log2)log22 x22 x11 x21 x1x2 x1(1 x1)(1 x2),log2(2 x1)(2 x2)(1 x1)(1 x2)x2x10,2x10,2x20,上式第 2 项中对数的真数大于 1.因此

9、F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1),F(x)在(1，1）上是增函数.2y11 xy1 x(2)证明：由y=f(x)=log2得：2=,x y1 x1 x2 12x1-1f(x)=x,f(x)的值域为 R R，f(x)的定义域为 R R.2 11n2n1n21n1n12n2n 1.当n3 时，f(n)n 1n 12 1n 12 1-1用数学归纳法易证 2 2n+1(n3),证略.n111111,F()=0,x=是F(x)=0的一个根.假设F(x)=0还有一个解x0(x022211-1-1),则F(x0)=0,于是F(0)=x0(x0).这是不可能的，故F(x)=0 有惟一解.22歼灭难

10、点训练x一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10+1)xx又g(x)+h(x)=lg(10+1).即g(x)+h(x)=lg(10+1)xxx由得：g(x)=,h(x)=lg(10+1).22答案：C2.解析：当a1 时，函数y=logax的图象只能在 A 和 C 中选，又a1 时，y=(1a)x为减函数.答案：B(3)证明：F(0)=二、3.解析：容易求得f-1log2x(x 1)(x)=x,从而：2(x 1)log2(x 1),(x 2)f1(x1)=x1 2,(x 2).log2(x 1),(x 2)答案：x1 2,(x 2)4.解析：由题意，5 分钟后，y1=ae,y2=a

11、ae,y1=y2.n=只有ntnt1ln2.设再过t分钟桶 1 中的水5an(5+t)a,则y1=ae=,解得t=10.88-.考试资料-.-答案：10三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x,y),则x=x2a,y=y.即x=x+2a,y=y.1点P(x,y)在函数y=loga(x3a)的图象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga2,x ag(x)=loga1.x a11=0,又a0 且a1,0a1,x a(a 3)a(2)由题意得x3a=(a+2)3a=2a+20;|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga1222|=|loga(x4ax+3a)|f(x)g(x)|1,1lo

12、ga(xx a22224ax+3a)1,0a1,a+22a.f(x)=x4ax+3a在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=0 a 1(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组loga(9 6a)1的解.log(4 4a)1a9 574,由 loga(44a)1 解得 0a,1259 57所求a的取值 X 围是 0a.126.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x x22x1,x2(0,+),x1x2(1)(当且仅当x1=x

13、2时取“=”号)，2x x22当a1 时，有 logax1x2loga(1),2x x2x x211logax1x2loga(1)，(logax1+logax2)loga1,2222x x21即f(x1)+f(x2)f(1)(当且仅当x1=x2时取“=”号)22x x22当 0a1 时，有 logax1x2loga(1),2x x2x x211(logax1+logax2)loga1,即f(x1)+f(x2)f(1)(当且仅当x1=x2时取“=”2222号）.22227.解：由已知等式得：logax+logay=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)+(logay1)=

14、4,令2u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u1)+(v21)=4(uv0)与平行直线系v=u+k有公共点，分两类讨论.由 loga(96a)1 解得 0a(1)当u0,v0 时，即a1 时，结合判别式法与代点法得1+3k2(1+2);(2)当u0,v0,即 0a1 时，同理得到 2(12)k13.x综上，当a1 时，logaxy的最大值为 2+22，最小值为 1+3；当 0a1 时，logaxy的最大值为 13，最小值为 222.-.考试资料-.-8.解：2(log)21x+9(log1x)+9022(2log1x+3)(log1x+3)0.223log1x32.2即log(13)3log111xlog1()2222223(12)2x(12)3,22x8即M=x|x22,8又f(x)=(log22x1)(log2x3)=log2x4log2x+3=(log2x2)21.22x8,32log2x3当 log2x=2,即x=4 时ymin=1;当 log2x=3,即x=8 时，ymax=0.-.考试资料