小学尖子生训练-较复杂的乘法原理模块练习(含答案).pdf

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1、7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 1 of 8 目tM怔 教学目标 1使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系.3培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯.知识要点 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上 8点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1点半的课.如 果说申老师的家到长宁有 5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到 黄埔有2种可选择的交通工具（公交

2、、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔 这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的 在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显 而易见一共是10条路线.但是要是老师从家到长宁有 25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30种 可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了 这个时候我们的乘法原 理就派上上用场了.二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成 n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么 一共可以分成两个必不可少

3、的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1步有A种不同的方法，第 二步有B种不同的方法，第n步有N种不同的方法.那么完成这件事情一共有 AB XN种不同的 方法.结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2个步骤，第1步是从家到长宁，一共 5种 选择；第2步从长宁到黄埔，一共 2种选择；那么老师从家到黄埔一共有 5疋个可选择的路线了，即 10条.三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘 四、乘法原理的考题类型 1、路线种类问题一一比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；7-2-2.较复杂的乘法原理

4、.题库 教师版 page 2 of 8 2、字的染色问题一一比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法;3、地图的染色问题 一一同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张 包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题一一比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题一一就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法.例题精讲 模块一、乘法原理之组数问题【例 1】由数字1、2可以组成多少个两位数？由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？【考点】复杂乘法原理【难度】1星【题型】解答【解析】

5、组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 2种方法；第二步确定个位上的数字，有2种方法.根据乘法原理，由数字 1、2可以组成2X2=4个两位数，即11,12,21,22.组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 2种方法；第二步 确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因 此第二步只有1种方法，由乘法原理，能组成 2X1=2个两位数，即12,21.【答案】4 2【巩固】由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？【考点】复杂乘法原理【难度】2星【题型】

6、解答【解析】分三步完成：第一步排百位上的数，有 3种方法；第二步排十位上的数，有 2种方法；第三步，排个位上的数，有1种方法，由乘法原理，3、6、9这3个数字可以组成3 2 1=6个没有重复数字 的三位数.分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有 3种方法，由乘法原理，由 3、6、9 这3个数字一共可以组成 33X3=27个三位数.【答案】6 27【例 2】用数字0,1,2,3,4可以组成多少个：三位数？没有重复数字的三位数？【考点】复杂乘法原理【难度】2星【题型】解答【解析】组成三位数可分三步完成.第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为 0,所以只有4种选择.第二步确定十位，所

7、有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。共有4域5汉5=100 种选择。也分三步完成.第一步，百位上有4种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他四个数字都可以，所以有 4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还 有3种选择 根据乘法原理，可以组成 4X4X3=48个没有重复数字的三位数.【答案】100 48【巩固】由四张数字卡片：0,2,4,6 可以组成 _ 个不同的三位数。【考点】复杂乘法原理【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】千位选法有3种，百位3种，十位2种，个位1种，乘法原理3X3X2X1=18个【答案】18

8、个【巩固】用五张数字卡片：0,2,4,6,8 能组成 _ 个不同的三位数。【考点】复杂乘法原理【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第 8题【解析】4 X4 X3=48个 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 3 of 8 【答案】48个【例 3】有五张卡，分别写有数字 1、2、4、5、8 现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】分三步取出卡片 首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就 是个位数位置上的卡片，有 2、4、8三种不同的选择；第

9、二步在其余的 4张卡片中任取一张，放在 最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有 4种不同的选法；最后从剩下的 3张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有 3种不同的选择 根据乘法原理，可以组成 34X3=36个不同的三位 偶数.【答案】36【例 4】有5张卡，分别写有数字 2,3,4,5,6 如果允许6可以作9用，那么从中任意取出 3张卡片，并排放在一起 问：可以组成多少个不同的三位数？可以组成多少个不同的三位偶数？【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】先考虑6只能当6的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以 2就可以了，分三步取出卡片：第 一步确定百位，有 5种选择；第二步

10、确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他 4个数字都 可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3种选择 根 据乘法原理，考虑 6可以当作9，可以组成5 4 3 2=120（个）不同的三位数.先考虑6只能当6的情况，分三步取出卡片 首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶 数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有 2、4、6三种不同的选择；第二步在其余 的4张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有 4种不同的选法；最后从剩下的 3张卡片中选取 一张，放在百位数的位置上，有3种不同的选择.根据乘法原理，6只是6时，可以组成3 4 3=36（个）

11、不同的三位偶数 这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以 2就可以的，因为如果个位是 6 的话变成9就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是 6 一共有4 3=12（个）不同的三位偶数，所以，可以组成36汇212=60（个）不同的三位偶数.【答案】120 60【例 5】用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213是第几个 数？【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】排百位、十位、个位依次有 3种、2种、1种方法，故一共有3X2X1=6（种）方法，即可以组成6个不同三 位数它们依次为123,132,213,231,312,321.故213是第3个数.【

12、答案】6个；第3个【巩固】有一些四位数，它们由 4个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4个数字和等于12.将所有这样 的四位数从小到大依次排列，第 35个为 _.【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】4个互不相同且不为 0的数字之和等于12,只有两种可能：1+2+3+6或者1+2+4+5 根据乘法原理，每种情况可组成 4X3X2X1=24个不同的四位数，一共可组成 48个不同的四位数.要求从小到大排列 的第35个数，即求从大到小排列的第 14个数 我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取 6，而千位是6的数共有3X2=6个；接下来是5,千位为5的数也有6个.所以第13个数应

13、为4521,第14个是4512，答案为4512.【答案】4512【例 6】对于由 15 组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是 1，那么可以进行如下的一次置换 操作：记首位数字为 k,则将数字 k 与第 k 位上的数字对换.例如，24513 可以进行两次置换：24513 T 42513 宀 12543 可以进行 4 次置换的五位数有 _ 个.【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，12题【解析】要进行4次置换，设首位为a（a不为1,有4种选择）,那么第1次与a置换的第a位上的数可能为1和 a,有3种选择；设与a置换的为b，现在b在首位，此时要与 b置换的第6位上的

14、数可能为1,a,b，有2种选择；设与b置换的为c，则此时c在首位，那么此时与 c置换的数组成为1,a,b,c,只有1种选择；设为d，那么最后只能是d与1置换所以要进行4次置换共有4 3 2 1=24种方法，那么共有24个数可以7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 4 of 8 进行四次置换 另解：也可以反过来考虑，进行 4次置换后，2,3,4,5四个数分别在第2,3,4,5位上，那 么1只能在首位上，故经过 4次置换后得到的数必定是 12345.1与2，3，4，5中的某个数置换一次 有4种选择，这个数与其它的 3个数置换有3种选择也可以得到符合条件的数有 4 3 2 1=24

15、个 【答案】24个【例 7】将1332,332,32,2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？【考点】复杂乘法原理【难度】4星【题型】解答【解析】从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑 从位数最多的 1332开始：划掉1332中的1,剩下332,332,32,2四个数；划掉位数最多的332中的2，有2种不同的顺序，划掉后剩下 33,33,32,2四个数；划掉32中的2，剩下33,33,3,2;两个33中，各划掉一个 3,有4X2=8种划掉的顺序，之后剩下 3,3,3,2四个数；划掉2后，剩下3,3,3,有3X2=6种划掉的顺序.

16、根据乘法原理，共有不同的划法：2X8X5=96种.【答案】96种【巩固】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它吃掉”另一个 三位数，例如：532吃掉311,123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉.问：能吃掉 678的三 位数共有多少个？【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】即求百位数不小于6,十位数不小于7,个位不小于8的自然数.百位数不小于 6，有4种；十位数不 小于7,有3种；个位不小于8,有2种.由乘法原理，能吃掉678的三位数共有42 X1=24（种），总的排法5 X4 X3 X2 X=120（种）。所以贝贝和妮妮不相邻的排法

17、是 120-2 X4=72（种）。【答案】72种【例 15】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.问：如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不 同的安排顺序？如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安 排顺序?【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【关键词】仁华学校【解析】将4个舞蹈节目视为1个节目，七个节目一起排列一共有 7 6 5 4 3 2 1=5040个，但舞蹈节 目还有4 3 2 1=24种排列 所以一共有 5040 24=120960种.优先安排将6个演唱节目顺序，一共有6 5 4 3 2 1=720种方法，然后将4个舞蹈节目按顺序安 插到6个演唱节

18、目前后不同位置，包括首尾一共有 6*1=7个位置可供 4个舞蹈节目安插，共有 7汉6汇5汉4=840个安插方式，所以一共有 720汉840=604800种排列方式.【答案】604800【例 16】新年联欢会共有 8 个节目，其中有 3 个非歌唱类节目。排列节目单时规定，非歌唱类节目不相邻，而且第 一个和最后一个节目都是歌唱类节目。则节目单可有 _ 种不同的排法。【考点】复杂乘法原理【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 10题【解析】方法一：乘法原理：第一步：先从5个歌唱节目里选出 2个排在最左面和最右面，共有 氏=20（种）；第二步：将非歌唱类打包当成一个节目，此时中间共

19、需排列 3+1，对他们进行排列有：F4=24（种）；第三步：对打包后的非歌唱类节目进行全排列，有 F33=6（种）分步，共有：P52P4P3=2880（种）。方法二：第一步：将5个歌唱类节目进行全排列，有 P55=120（种）；第二步：使用插板法，中间有 4个空格，将相邻的 3个非歌唱类节目插入，这 3个非歌唱类节目也 要进行全排列，则有：则有=24（种）。所以共有：P5C3P?=2880（种）【答案】2880种 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 7 of 8 【例 17】爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座 方法？【考点】复

20、杂乘法原理【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 4题【解析】方法一：第一人落座后，考察左邻的人，有 3种选择，第二人落座后，考察左邻的人有 3种选择,所以共有3X2=6种选择。方法二：第一人落座有 4个位置可选，第一人落座后，坐在他的左面的有三种情况，而每种情况另 一人的左邻又有两种，所以共有 4X3&=24种方法，但由于是圆桌，只考虑相邻情况，不考虑具体 坐在哪一面，所以只有 24詔=6种入座方法。【答案】6种【例 18】四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？（如果某 种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种.）【考点】

21、复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：事实上如果没有括号中的条件，那么所得的答案是原题答案的八分之一，因为符合原题的 所有不同排法都通过旋转可以得到 8种各不相同的安排方法 所以可以先求出改掉括号中条件的题 目答案 对于改编后的题，显然所有的安排方法分为两大类，如右图所示，每个椭圆中是一对，对 于其中的一类，例如右图，第一步，确定 1号位的人选：8种，那么2号位只能是他（她）的妻子（丈 夫）;第二步确定3号位的人选：6种，那么4号位只能是坐3号位的妻子或丈夫，如此，对于 右图可以有8 6 4 2=384种排法，同理左图也有 384种排法，一共是768种排法.那么对于有括 号中条件

22、的题目一共有 768-8=96种排法.所以用1 3的小长方形形覆盖 3 8的方格网，共有13种不同的盖法.方法二：由于括号中的条件让人很为难，对于一种新的排法，还要将它旋转，看它是否和之前的排 法是否相同，当然也可以将所有排法都转到一个特殊的角度，以判断这些排法是否有相同的，所以 可以定义一个特殊角度：先将四对夫妇编号，然后规定对于每一种排法 1号夫妇面南坐是它的特殊 角度，那么如果两种排法都转到特殊角度后，还不完全一样，那么这两种排法就无论如何也不能通 过旋转得到相冋的排法，所以只要求出特殊角度下的不冋排法数，第一步先将 4对夫妻的整体位置 安排好，当然1号夫妻已经排好了，安排另 3对夫妻一

23、共有3X20=6种排法，如图所示：1 1 1 1 1 1 /2 3 2 4 3 2 3 3 4 2 4 3 4 2 4 2 3 对于以上每-种排法，夫妻之间都可以交换位置，所以一共有 6X2X22X2=96 种排法.【答案】96【巩固】3个3 口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排 法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种.）【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【解析】使用原题的方法二会更方便：共（2 1）（3 2 1）（3 2 1）（3 2 1）=432种.【答案】432【例 19】编号为1到10的十张椅子顺时针

24、均匀地绕圆桌一圈摆放.5对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每 对夫妇不能相邻或对面而坐，有 _ 种入座的分配方式.7-2-2.较复杂的乘法原理.题库 教师版 page 8 of 8 10 1 9 23 8 4 7=5【考点】复杂乘法原理【难度】3星【题型】解答【关键词】日本小学算术奥林匹克，初赛【解析】假设有位丈夫坐在 1号位，那么所有的丈夫都坐在奇数号位，妻子则坐在偶数号位 由于妻子不能 与丈夫相邻和相对，所以她不能坐在 2,6,10号位上，只能坐在 4号位或8号位上 也就是说妻子 只能坐在丈夫的顺时针或者逆时针方向数第 3个位子上.可以发现，丈夫和妻子的位子的这一关系对每一对夫妇和每一个座位都

25、适用.对于其中的某一个丈夫，他可以坐在 1到10号的任意一个位子上，有 10种选择.不妨设他坐在1号位上，那么他的妻子只能坐在 4号位或8号位上.假如坐在 4号位上，那么对于 坐在7号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 10号位上；而对于坐在 3号位上的丈夫，他的妻子只能坐 在6号位上；那么对于坐在 9号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 2号位；对于坐在 5号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 8号位.可见，只要一对夫妇的位置确定，那么其他 4对夫妇的位置关系也就确定了，也就是说，只要确定 了其他4位丈夫的座位，那么整个座位分配就确定了.由于 4位丈夫之间的位置关系是不确定的，所以有4!=24种.同样地，如果坐 1号位的丈夫的妻子坐在 8号位上，也有 24种.所以这名丈夫坐在 1号位上共有 24 2=48 种.那么这名丈夫坐在其它位置上也各有 48种.由于每个座位都是编过号的，各个座位互不相同，每一 名丈夫和妻子也都不相同，所以不会出现重复的情况，所以满足题意的分配方式有 48X10=480种.【答案】480