2022年湖北省孝感市八校数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析.pdf

《2022年湖北省孝感市八校数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年湖北省孝感市八校数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析.pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1如图，小明夜

2、晚从路灯下 A处走到 B处这一过程中，他在路上的影子（）A逐渐变长 B逐渐变短 C长度不变 D先变短后变长 2如图，Rt AOB中，90AOB，顶点A，B分别在反比例函数2yx（0 x）与8yx（0 x）的图象上.则下列等式成立的是（）A5sin5BAO B5cos2BAO Ctan2BAO D1sin4ABO 3用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），此方程可变形为（）A2224()24bbacxaa B2224()24bacbxaa C2224()24bbacxaa D2224()24bacbxaa 4如图，已知等边ABC 的边长为 4，以 AB 为直径的圆交 BC 于点 F

3、，CF 为半径作圆，D 是C上一动点，E 是BD 的中点，当 AE 最大时，BD 的长为（）A2 3 B2 5 C4 D6 5近视镜镜片的焦距 y（单位：米）是镜片的度数 x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据，在下列函数中，符合表格中所给数据的是：（）x（单位：度）100 250 400 500 y（单位：米）1.00 0.40 0.25 0.20 Ay=1100 x By=100 x Cy=1200 x+32 Dy=21131940008008xx 6一元二次方程 x2+x1=0 的两根分别为 x1，x2，则1211xx=（）A12 B1 C52 D5 7函数1kyx和2ykxk在同一坐

4、标系中的图象大致是（）A B C D 82的相反数是（）A2 B2 C12 D12 9如图所示，已知圆心角100BOC，则圆周角BAC的度数是（）A50 B100 C130 D200 10如图，将ABC放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C均在格点上，则 t anC的值是（）A2 B43 C1 D34 11如图，在菱形ABCD中，2AB，120ABC，则对角线BD等于（）A2 B4 C6 D8 12下列成语中描述的事件必然发生的是（）A水中捞月 B日出东方 C守株待兔 D拔苗助长 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13已知 A（-4，2），B（2，-4）是一次函数ykxb

5、的图像和反比例函数myx图像的两个交点则关于x的方程mkxbx的解是_ 14两个相似多边形的一组对应边分别为 2cm和 3cm，那么对应的这两个多边形的面积比是_ 15如图，如果将半径为10cm的圆形纸片剪去一个圆心角为120的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为_ 16已知扇形的面积为 4，半径为 6，则此扇形的圆心角为_度 17一个圆锥的底面圆的半径为 2，母线长为 4，则它的侧面积为_ 18某校九年级学生参加体育测试，其中 10 人的引体向上成绩如下表：完成引体向上的个数 7 8 9 10 人数 1 2 3 4 这 10 人完成引体向上个数的中位数是

6、_ 三、解答题（共 78 分）19（8 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，AED=B （1）求证：ABEDEA；（2）若 AB=4，求 AEDE 的值 20（8 分）如图，在四边形ABCD中，/ADBC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DFCD，连接AF，（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若2AB，4AF，30F，求四边形ABCF的面积 21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，点 C 坐标为（1，0），点 A坐标为（0，2）一次函数 ykx+b 的图象经过点 B、C，反比例函数 ymx的

7、图象经过点 B（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当 x0 时，kx+bmx0 的解集；（3）在 x 轴上找一点 M，使得 AM+BM 的值最小，直接写出点 M 的坐标和 AM+BM 的最小值 22（10 分）对于平面直角坐标系中的两个图形 K1和 K2，给出如下定义：点 G 为图形 K1上任意一点，点 H为 K2图形上任意一点，如果 G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形 K1和 K2的“近距离”。如图 1，已知ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为2的正方形 PQMN，对角线 NQ平行于 x 轴或落在 x 轴上 （1）填空：原点 O 与线段

8、 BC 的“近距离”为 ；如图 1，正方形 PQMN 在ABC 内，中心 O坐标为（m，0），若正方形 PQMN 与ABC 的边界的“近距离”为 1，则 m的取值范围为 ；（2）已知抛物线 C：2134yxxa，且-1x9，若抛物线 C 与ABC 的“近距离”为 1，求 a 的值；（3）如图 2，已知点 D 为线段 AB 上一点，且 D（5，-2），将ABC 绕点 A 顺时针旋转（0180），将旋转中的ABC 记为ABC，连接 DB，点 E 为 DB的中点，当正方形 PQMN 中心 O坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点 E 运动形成的图形与正方形 PQMN 的“近距离”23（10

9、分）小淇准备利用 38m 长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园围成的花园的形状是如图所示的矩形 CDEF，矩形 AEHG 和矩形 BFHG若整个花园 ABCD(ABBC)的面积是 30m2，求 HG的长 24（10 分）如图，半圆 O 的直径 AB10，将半圆 O绕点 B 顺时针旋转 45得到半圆 O，与 AB 交于点 P，求 AP 的长 25（12 分）在ABC中，AD、CE分别是ABC的两条高，且 AD、CE相交于点 O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程 26小明和小亮用三枚质地均匀的硬币做游戏，游戏规则是：同时抛掷这三枚硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向

10、下，则小明赢；出现两枚正面向下，一枚正面向上，则小亮赢这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由 参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1、A【分析】因为人和路灯间的位置发生了变化，光线与地面的夹角发生变化，所以影子的长度也会发生变化，进而得出答案【详解】当他远离路灯走向 B 处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长，所以他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度逐渐变长，故选：A【点睛】此题考查了中心投影的性质，解题关键是了解人从路灯下走过的过程中，人与灯之间位置变化，光线与地面的夹角发生变化，从而导致影子的长度发生变化 2、C【解析】【分析】过 A

11、作 AF 垂直 x 轴，过 B 点作 BE 垂直与 x 轴，垂足分别为 F，E，得出90AOBBEOAFO，可得出BEOOFA，再根据反比例函数的性质得出两个三角形的面积，继而得出两个三角形的相似比，再逐项判断即可 【详解】解：过 A 作 AF垂直 x 轴，过 B 点作 BE 垂直与 x 轴，垂足分别为 F，E，由题意可得出90AOBBEOAFO，继而可得出BEOOFA 顶点A，B分别在反比例函数2yx（0 x）与8yx （0 x）的图象上 4,1BEOAFOSS 21()4AFOBEOSAOSOB 12AOBO 5AB A.22 5sin55BOBAOAB，此选项错误，B.15cos55AO

12、BAOAB，此选项错误；C.tan2BOBAOAO，此选项正确；D.5sin5AOABOAB，此选项错误；故选：C 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质以及解直角三角形，解此题的关键是利用反比例函数的性质求出两个三角形的相似比 3、A【解析】首先进行移项，然后把二次项系数化为 1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式【详解】ax2+bx+c=0，ax2+bx=c，x2+bax=ca，x2+bax+224ba=ca+224ba，(x+2ba)2=2244baca.故选 A.4、B【分析】点 E 在以 F 为圆心的圆上运到，要使 A

13、E最大，则 AE 过 F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得 F 是BC 的中点，从而得到 EF为BCD 的中位线，根据平行线的性质证得 CDBC，根据勾股定理即可求得结论【详解】解：点 D 在C上运动时，点 E 在以 F 为圆心的圆上运到，要使 AE 最大，则 AE 过 F，连接 CD，ABC 是等边三角形，AB 是直径，EFBC，F 是 BC 的中点，E 为 BD 的中点，EF 为BCD 的中位线，CDEF，CDBC，BC=4，CD=2，故 BD=221642 5BCCD，故选：B【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解

14、题的关键 5、B【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距 y（单位：米）与度数 x（单位：度）成反比例，依此即可求解；【详解】根据表格数据可得，1001=2500.4=4000.25=5000.2=100，所以近视镜镜片的焦距 y（单位：米）与度数 x（单位：度）成反比例，所以 y 关于 x 的函数关系式是 y=100 x 故选：B【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如kyx（k0）6、B【解析】根据根与系数的关系得到 x1+x2=-1，x1x2=-1，然后把1211xx进行通分，再利用整体代入的方法进行计算 【详解】根据题意得 x1+x2=-1，x1x

15、2=-1，所以1211xx=121211xxx x=1，故选 B【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x2，则 x1+x2=-ba，x1x2=ca.7、D【解析】试题分析：当 k0 时，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限；当 k0 时，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限故选 D 考点：1反比例函数的图象；2一次函数的图象 8、B【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以2 的相反数是 2，故选 B【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.9、A【详解】,BOCBAC是同弧

16、所对的圆周角和圆心角，2BOCBAC，因为圆心角BOC=100，所以圆周角BAC=50【点睛】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答 10、B【分析】在直角三角形 ACD中，根据正切的意义可求解【详解】如图：在 RtACD 中，tanC43ADCD 故选 B【点睛】本题考查了锐角三角比的意义将角转化到直角三角形中是解答的关键 11、A【分析】由菱形的性质可证得ABD为等边三角形，则可求得答案【详解】四边形ABCD为菱形，/ADBC，ADAB，180AABC，18012060A，ABD为等边三角形，2BDAB，故选：A【点睛】主要考查菱形的性质

17、，利用菱形的性质证得ABD为等边三角形是解题的关键 12、B【分析】根据事件发生的可能性大小判断【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件；B、日出东方，是必然事件；C、守株待兔，是随机事件；D、拔苗助长，是不可能事件；故选 B【点睛】本题主要考查随机事件和必然事件的概念,解决本题的关键是要熟练掌握随机事件和必然事件的概念.二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13、x1=-4，x1=1【分析】利用数形结合的思想解决问题即可【详解】A(4，1)，B(1，4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 ymx图象的两个交点，关于 x的方程 kx+bmx的解是 x1=4，x1=1 故答案为：x1=

18、4，x1=1【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 14、4：9【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可【详解】解：因为两个三角形相似，较小三角形与较大三角形的面积比为（23）2=49，故答案为：49.【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键 15、203cm【分析】设这个圆锥的底面圆半径为 rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到240102180r，然后解方程即可【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为 rcm，根据题意得240

19、102180r 解得：203r,即这个圆锥的底面圆半径为203cm 故答案为：203cm【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 16、1【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是 n，圆的半径为 R 的扇形面积为 S，则2360n RS扇由此构建方程即可得出答案【详解】解：设该扇形的圆心角度数为 n，扇形的面积为 4，半径为 6，426360n，解得：n1 该扇形的圆心角度数为：1 故答案为：1【点睛】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握公式是解此题的关键 17、8【解析】圆锥的侧面积=底面周长母线长1【详解】解：底面半

20、径为 1，则底面周长=4，圆锥的侧面积=1244=8，故答案为：8【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是了解圆锥的侧面积的计算方法，难度不大 18、1【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。【详解】解：将 10 个数据由小到大排序：7、8、8、1、1、1、10、10、10、10，处于这组数据中间位置的数是 1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（1+1）2=1 所以这组同学引体向上个数的中位数是 1 故答案为：1【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义，解题的关键是准确认识表格

21、 三、解答题（共 78 分）19、（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行，可得出1=2，结合AED=B 即可证明两三角形都得相似（2）根据（1）的结论可得出AEABDADE，进而代入可得出 AEDE 的值 试题解析：（1）如图，四边形 ABCD 是菱形，ADBC1=2.又B=AED，ABEDEA （2）ABEDEA，AEABDADE.AEDE=ABDA 四边形 ABCD 是菱形，AB=1，AB=DA=1 AEDE=AB2=2 考点：1.菱形的性质；2.相似三角形的判定和性质 20、(1)见详解；（2）四边形 ABCF 的面积 S=6.【分析】（1）根据平行四边形的判定

22、推出即可（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案【详解】证明：（1）点 E 是 BD 的中点，BEDE/AD BC ADECBE 在ADECBE和中，ADECBEDEBEAEDCEB ()ADECBE ASA AECE 四边形 ABCD 是平行四边形/,AB CD ABCD DFCD DFAB,/DFAB DF AB 四边形 ABDF 是平行四边形；（2）过 C 作CHBD于 H，过 D 作DQAF于 Q，四边形 ABCD 和四边形 ABDF 都是平行四边形，2,4,30ABAFF，2,2,4,/DFABCDABBDAFBD AF 30BDCF 111121,212222DQDFC

23、HDC 四边形 ABCF 的面积 S=114 14 1622BDFABDCSSAFDQBDCH 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.21、（1）y12x12，y3x；（2）3x0；（3）点 M 的坐标为（2，0），AM+BM 的最小值为 32【分析】（1）过点 B 作 BFx 轴于点 F，由AOCCFB 求得点 B 的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；（2）当 x0 时，求出一次函数值 ykx+b 小于反比例函数 ymx的 x 的取值范围，结合图形即可直接写出答案（3）根据轴对称的性质，找到点 A 关于 x

24、的对称点 A，连接 BA，则 BA与 x 轴的交点即为点 M 的位置，求出直线BA的解析式，可得出点 M 的坐标，根据 B、A的坐标可求出 AM+BM 的最小值【详解】解：（1）过点 B作 BFx 轴于点 F，点 C 坐标为(1,0)，点 A 坐标为（0,2）OA2，OC1，BCA90，BCF+ACO90，又CAO+ACO90，BCFCAO，在AOC 和CFB 中 90CAOBCFAOCCFBACBC AOCCFB（AAS），FCOA2，BFOC1，点 B 的坐标为（3，1），将点 B 的坐标代入反比例函数解析式可得：13k，解得：k3，故可得反比例函数解析式为 y3x；将点 B、C 的坐标代

25、入一次函数解析式可得：310kbkb，解得：1212kb 故可得一次函数解析式为1122yx （2）结合点 B 的坐标及图象，可得当 x0 时，mkxbx0 的解集为：3x0；（3）作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 B A与 x 轴 的交点即为点 M，A（0，2），作点 A 关于 x 轴的对称点 A，A（0，2），设直线 BA的解析式为 yax+b，将点 A及点 B 的坐标代入可得：312abb 解得：12ab ，故直线 BA的解析式为 yx2，令 y0，可得x20，解得：x2，故点 M 的坐标为（2，0），AM+BMBM+MABA2230123 2 综上可得：点 M 的坐标为（2，0

26、），AM+BM 的最小值为3 2【点睛】本题考查的是全等三角形判断和性质、待定系数法求一次函数和反比例函数及其性质、根据对称性求最短路线问题 确定一次函数和反比例函数式是解决问题的关键 22、（1）2；162m；（2）254a 或112a；（3）点 E 运动形成的图形与正方形 PQMN 的“近距离”为5 217【分析】（1）由垂线段最短，即可得到答案；根据题意，找出正方形 PQMN 与 ABC 的边界的“近距离”为 1，的临界点，然后分别求出 m的最小值和最大值，即可得到 m的取值范围；（2）根据题意，抛物线与ABC 的“近距离”为 1 时，可分为两种情况：当点 C 到抛物线的距离为 1，即

27、CD=1；当抛物线与线段 AB 的距离为 1 时，即 GH=1；分别求出 a 的值，即可得到答案；（3）根据题意，取 AB 的中点 F，连接 EF，求出 EF 的长度，然后根据题意，求出点 F，点 Q的坐标，求出 FQ的长度，即可得到 EQ的长度，即可得到答案【详解】解：（1）B（9，2），C（1，2），点 B、C 的纵坐标相同，线段 BCx 轴，原点 O 到线段 BC 的最短距离为 2；即原点 O 与线段 BC 的“近距离”为 2；故答案为：2；A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），线段 BCx 轴，线段 ACy 轴，AC=BC=10，ABC 是等腰直角三角形，当点 N 与点 O重

28、合时，点 N 与线段 AC 的最短距离为 1，则正方形 PQMN 与 ABC 的边界的“近距离”为 1，此时 m为最小值，正方形的边长为2，由勾股定理，得：222(2)mm，1m，1m （舍去）；当点Q到线段AB 的距离为 1 时，此时 m为最大值，如图：QN=1，QMN 是等腰直角三角形，QM=2，BD=9，BDE 是等腰直角三角形，DE=9，OEM 是等腰直角三角形，OE=OM=7，m的最大值为：72162m ，m的取值范围为：162m；故答案为：162m；（2）抛物线 C：2134yxxa，且19x，若抛物线 C 与ABC 的“近距离”为 1，由题可知，点 C 与抛物线的距离为 1 时，

29、如图：点 C 的坐标为（1，2），但 D 的坐标为（1，3），把点 D 代入2134yxxa 中，有 21(1)3(1)34a ，解得：254a ；当线段 AB 与抛物线的距离为 1 时，近距离为 1，如图：即 GH=1，点 H在抛物线上，过点 H作 AB 的平行线，线段 AB 与 y 轴相交于点 F，作 FEEH，垂足为 E，EF=GH=1，FDE=A=45，2FD，点 A（-1，-8），B（9，2），设直线 AB 为ykxb，892kbkb ，解得：17kb，直线 AB 的解析式为：7yx，直线 EH 的解析式为：72yx；联合72yx与2134yxxa，得 217234xxxa，整理得：

30、21272=04xxa，直线 EH 与抛物线有一个交点，2124()(72)04a ，解得：112a；综合上述，a 的值为：254a 或112a；（3）由题意，取 AB 的中点 F，连接 EF，如图：点 A（-1，-8），B（9，2），22(1 9)(82)10 2ABAB ，在ADB中，F 是 AD 的中点，点 E 是DB的中点，15 22EFAB，点 D 的坐标为（5，-2），A（-1，-8），点 F 的坐标为（2，5），在正方形 PNMQ中，中心点O的坐标为（5，6），点 Q的坐标为（6，6），22(62)(65)17FQ ，5 217EQEFFQ；点 E 运动形成的图形与正方形 PQM

31、N 的“近距离”为5 217【点睛】本题考查了图形的运动问题和最短路径问题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的平移，勾股定理，旋转的性质，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，作出临界点的图形，从而进行分析注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题难度很大，是中考压轴题 23、HG的长是2m【分析】设HG的长为xm，将 BC，AB 表示出来，再利用整个花园面积为 30 m2列出方程，解之即可.【详解】解：设HG的长为xm，则3384,23xBCxm ABm，由题意得，33843023xx 解得，12152,2xx ABBC，21

32、52x 不合题意，舍去 答：HG的长是2m.【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键 24、AP1052【分析】先根据题意判断出OPB 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 PB的长，进而可得出 AP 的长【详解】解：连接 PO OBA45，OPOB，OPB=OBP=45,POB=90 OPB 是等腰直角三角形，AB=10,OPOB=5，PB22OPOBBO=2BO52，APABBP1052【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定，根据旋转性质判定出OPB 是等腰直角三角形解题的关键 25、ABDCBE，ODCBEC，OEABDA，ODC

33、OEA，证明见解析【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析即可得出答案【详解】解：图中相似的三角形有：ABDCBE，ODCBEC，OEABDA，ODCOEA AD、CE 分别是 ABC 的两条高，ADBCDACEBAEC90，B+BCE90，B+BAD90，BADBCE，EBCABD，ABDCBE【点睛】本题考查相似三角形的判定注意掌握相似三角形的判定以及数形结合思想的应用 26、此游戏对双方公平，理由见详解【分析】用列表法或树状图将所有可能出现的情况表示出来，然后计算“两枚正面向上，一枚正面向下”和“出现两枚正面向下，一枚正面向上”的概率是否相等，如果相等，则说明游戏公平，反之则不公平【详解】答：此游戏对双方公平 根据树状图或列表分析抛掷三枚硬币可出现 8 种情况，其中“两正一反”和“两反一正”的情况各有 3 种，所以“出现两枚正面向上，一枚正面向下”的概率和“出现两枚正面向下，一枚正面向上”的概率都是38【点睛】本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，能够用树状图或列表法将所有可能出现的情况表示出来是解题的关键