23考研数四真题及解析.pdf

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1、2 20 00 03 3 年年全全国国 硕硕士士研研究究生生 入入 学学统统一一考考试试 数数 学学四四 试试题题一、填空题：本题共一、填空题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在答题纸指定分，请将答案写在答题纸指定位置上位置上.(1)极限lim1 ln(1 x)=x02x.(2)11(x x)e xdx=a,若0 x 1,(3)设a 0，f(x)g(x)而D表示全平面，则0,其他，I f(x)g(y x)dxdy=D.202,040(4)设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知AB 2AB,B 202则(A E)1=.(5)设n维向量

2、(a,0,0,a)T,a 0；E为n阶单位矩阵，矩阵1A E T，B E T，a其中A的逆矩阵为B，则a.(6)设随机变量X和Y的相关系数为 0.5,EX EY 0,EX2 EY2 2,则E(X Y)2=.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，下列每小题给出的四个选分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.1(1)曲线y xex()(A)仅有水平渐近线.(B)仅有铅直渐近线.(C)既有铅直又有水平渐近线.(D)既有铅直又

3、有斜渐近线.(2)设函数f(x)x31(x)，其中(x)在x 1处连续，则(1)0是f(x)在x 1处可导的()(A)充分必要条件.(B)必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.(3)设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是()2(A)f(x0,y)在y y0处的导数等于零.(B)f(x0,y)在y y0处的导数大于零.(C)f(x0,y)在y y0处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y y0处的导数不存在.001.已知矩阵相似于，则秩(A2E)与秩(A E)之和010(4)设矩阵B AB100等于()(A)2.(B)3.(C)4.

4、(D)5.(5)对于任意二事件A和B()(A)若AB，则A,B一定独立.(B)若AB，则A,B有可能独立.(C)若AB，则A,B一定独立.(D)若AB，则A,B一定不独立.(6)设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则()(A)X与Y一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X与Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布.三三、(本题满分本题满分 8 8 分分)设f(x)11111,x,1).试补充定义f(1)使得f(x)在,1xsinx(1 x)22上连续.四四、(本题满分本题满分 8 8 分分)2f2f设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足221，又uv1g(x,y)fxy

5、,(x2 y2),22g2g求22.xy五五、(本题满分本题满分 8 8 分分)计算二重积分其中积分区域D(x,y)x2 y2.六、六、(本题满分本题满分 9 9 分分)设a 1，f(t)at at在(,)内的驻点为t(a).问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值.七、七、(本题满分本题满分 9 9 分分)设y f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形OCMA的面x31，求f(x)的表达式.积与曲边三角形CBM的面积之和为63八、八、(本题满分本题满分 8 8 分分)设某商品从时刻0到时刻

6、t的销售量为x(t)kt，t 0,T,(k 0).欲在T时将数量为A的该商品销售完，试求(1)t时的商品剩余量，并确定k的值；(2)在时间段0,T上的平均剩余量.九、九、(本题满分本题满分 1313 分分)设有向量组(I)：1(1,0,2)T，2(1,1,3)T，3(1,1,a 2)T和向量组(II)：1(1,2,a 3)T，2(2,1,a 6)T，3(2,1,a 4)T.试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与(II)不等价？十、十、(本题满分本题满分 1313 分分)2111可逆，向量b是矩阵A*的一个特征向量，是121设矩阵A 11a1对应的特征值，其

7、中A*是矩阵A的伴随矩阵.试求a,b和的值.十一、十一、(本题满分本题满分 1313 分分)设随机变量X的概率密度为F(X)是X的分布函数.求随机变量Y F(X)的分布函数.十二、十二、(本题满分本题满分 1313 分分)对于任意二事件A和B，0 P(A)1,0 P(B)1，称作事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明1.20032003 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】e2【详解】方法方法 1 1：lim 1ln(1x)，属于

8、1型未定式极限，可以考虑利用重要极x02x限求解首先凑成重要极限形式：方法方法 2 2：lim 1ln(1x)=limex02xx02ln1ln(1x)x=2ln1ln(1x)xex0lim2ln(1x)ex0 xlime2(注意：ln1 ln(1 x):ln(1 x)(2)【答案】2(12e1)【分析】对称区间上的定积分，有【详解】(xx)e1101xdx=xe11xdxxe1101xdx=xe11xdx+0+02xexdx012xdex2xex1x1e dx 2(12e)=0(3)【答案】a2【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0 x1,0yx1时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分

9、区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可If(x)g(yx)dxdy=D0 x 10 y x 1a2dxdy=a20dxxdy1x 1a2(x 1)xdxa201001010(4)【答案】100【详解】应先化简，从AB2AB中确定(AE)11(AE)(B2E)2E(AE)(B2E)E，20011010所以(AE)1=(B2E)=2100(5)【答案】-1【详解】这里T为n阶矩阵，而T2a2为数，直接通过ABE进行计算并注意利用乘法的结合律即可由题设，有111AB (E T)(E T)=E TTTTaaa111 E TT(T)T=E TT2aT

10、aaa1 E(12a)T E，a11于是有1 2a 0，即2a2 a 1 0，解得a,a 1.已知a 0，故a2a 1(6)【答案】6【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式E(XY)cov(X,Y)E(X)E(Y)涉及公式：(1)D(X)E(X2)E(X)2，(2)D(X Y)D(X)D(Y)2cov(X,Y)(3)XYcov(X,Y)D(X)D(Y)【详解】方法方法 1 1：由方差定义的公式和相关系数的定义D(X)E(X2)E(X)2 20 2,同理D(Y)2，1cov(X,Y)XYD(X)D(Y)2 12所以E(X Y)2 D(X Y)E(X Y)2 D(X Y)(EX EY)2方法

11、方法 2 2：由数学期望的线性可加性E(aX bY)aE(X)bE(Y)得：再利用E(XY)Cov(X,Y)EXEY，得由方差定义的公式，有D(X)E(X2)E(X)2 20 2,同理D(Y)2，再由相关系数的定义XY二、选择题二、选择题(1)【答案】(D)cov(X,Y)得，cov(X,Y)XYDX DYD(X)D(Y)【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：xlim f(x)c,(c为常数)，y c为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：k limxx0 xxxy,b lim f(x)kx，y kxb为曲线的一条斜渐近线；xxx

12、x而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且lim y ,limy ，则x x0为曲线的一条垂直渐近线xx0【详解】1lim y极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；xu22ye1u221u2e1:u lim 0，2lim limex1，lim(xex x)u xlimxxxxu0u0uu112所以曲线有斜渐近线y x1x21212xlnex3在x 0处y xe无定义，且lim xex lim ex0 x0 lim ex0 x1x2 lim e ，x01x1故x 0为铅直渐近线故曲线y xex既有铅直又有斜渐近线，应选(D)(2)【答案】(A)【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函

13、数看待，利用f(x)在x 1处左右导数定义讨论即可f(x)f(1)x31lim lim(x)lim(x2 x1)(x)3(1)，x1x1x1x1x1f(x)f(1)x312lim lim(x)lim(x x1)(x)3(1)，x1x1x1x1x12由于f(x)在x 1处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以故应选(A)(3)【答案】(A)【详解】由函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微，知函数f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数都等于零 从而有选项(A)正确(4)【答案】(C)【分析】利用相似矩阵有相

14、同的秩计算，秩(A2E)与秩(A E)之和等于秩(B2E)与秩(B E)之和【详解】因为矩阵A相似于B，又B P1AP，所以P1A2EP P1APP12EP B2E，于是，矩阵(A2E)与矩阵(B2E)相似.同理有所以，矩阵AE与矩阵BE相似.又因为相似矩阵有相同的秩，而1 20101 3，秩(B E)=秩0001，010秩(B2E)=秩0 21101所以有秩(A2E)+秩(A E)=秩(B2E)+秩(B E)=4，故应选(C)(5)【答案】B【详解】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系当PA 0,PB 0时，若A,B相互独立，则一定有PAB PAPB

15、 0，从而有AB 可见，当A,B相互独立时，往往A,B并不是互斥的AB 推不出PAB PAPB，因此推不出A,B一定独立，排除(A);若AB，则PAB0，但PAPB是否为零不确定，PAB PAPB.因此(C)，(D)也不成立，故正确选项为(B)(6)【答案】C【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系只有(X,Y)服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的有结论如下：若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布如果X与Y都服从正态分布，甚至X与Y是不相关，也并不能推出(X,Y)服从二维正态分布 若X与Y均服从正态分布且相互独立，则aX bY服从一维

16、正态分布 若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立X与Y不相关【详解】只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X与Y不相关X与Y独立，本题仅仅已知X与Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除(A);若X与Y都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y是否独立，可排除(B);同样要求X与Y相互独立时，才能推出X Y服从一维正态分布，可排除(D)故正确选项为(C)三三【详解】为使函数f(x)在,1上连续，只需求出函数f(x)在x 1的左极限x112lim f(x)，然后定义f(1)为此极限值即可令u 1 x，则当x 1时，u 0，所以定义f(1

17、)1，从而有lim f(x)x11 f(1)，f(x)在x 1处连续 又f(x)在11,1)上连续，所以f(x)在,1上连续22四四【详解】由复合函数z f(x,y),(x,y)的求导法则，得从而222g2g2f2f22 f22 f22所以22(x y)2(x y)2(x y)(22)=x2 y2.xyuvuv五五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算作极坐标变换：设x rcos,y rsin，有记A etsintdt，则0tt e1e d sint e1e sintetsintdt=000e1 A.e1(1 e)(1 e).因此A(1 e)，I 222六六【详解】f(t)

18、的驻点即满足f(t)的一阶导数为零的点，它是关于a的函数由f(t)atlna a 0，得唯一驻点求t(a)的最小值，即求函数t(a)1得唯一驻点a ee.lnlna在a 1时的最小值，lna当a ee时，从而t(a)0，这时t(a)单调递增；当a eelnln a 0,1lnln a 0，时，lnln a 0,1lnln a 0，从而t(a)0，这时t(a)单调递减.因此当a ee时t(a)1为最小值，此时t(ee)1为极小值，也是最小值e七【分析】梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM的面积可用定积分计算，再由题设，梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面x31，可

19、得一含有变限积分的等式，两边求导数，可转化为一阶线性积之和为63微分方程，然后用通解公式计算即可【详解】由题意得11SOCMAx1 f(x)，SCBMxf(t)dt21xx31所以1 f(x)f(t)dt x263两边关于x求导1111 f(x)xf(x)f(x)x2，即1 f(x)xf(x)2f(x)x2.222化简，当x 0时，得1x21dy1x21f(x)f(x).，即 y xxdxxx利用一阶线性非齐次微分方程dy P(x)y Q(x)的通解公式dx所以此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为yf(x)e1 dxxx21xdxedx CAx1=eln xx21ln xedx CM

20、xx21=x(2dx C)OCBxx=x21Cx.曲线过点B(1,0)，故（f 1）0，代入，故有2C 0，从而C 2 所以八八【详解】(1)在时刻t的剩余量y(t)可用总量A减去销量x(t)得到，即y(t)A x(t)=Akt，t 0,T.再T时刻将数量为A的该商品销售完，得AkT 0，即k A因此，T(2)由于y(t)随时间连续变化，因此在时间段0,T上的平均剩余量，即函数平均值可用积分1Ty(t)dt表示(函数f(x)在a,b上的平均值记为0T1bf(x)dx.)b aa所以，y(t)在0,T上的平均值为牛-莱公式11TA1TAA2AT2(At t)(T)=.y y(t)dt=0(At)

21、dtTTT2TT2TT020TA.2九九【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示；而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形因此在时间段0,T上的平均剩余量为来判断一个向量1是否可由1,2,3线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵(1,2,31)为阶梯形讨论，而一组向量1,2,3是否可由1,2,3线性表示，则可结合起来对矩阵(1,2,31,2,3)同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可【详解】矩阵(1,2,31,2,3)作初等行变换，有1122 11(1,2,31,

22、2,3)=01121123a 2 a 3a 6a 4(第一行乘以-1 加到第三行，第二行乘以-1 加到第三行)2 111 1001121100a 1 a 1a 1a 1(1)当a 1时，有行列式123 a1 0，秩(1,2,3)3，故线性方程组x11 x22 x33i(i 1,2,3)均有唯一解 所以1,2,3可由向量组(I)线性表示同样，行列式123 6 0，秩(1,2,3)3，故1,2,3可由向量组(II)线性表示因此向量组(I)与(II)等价(2)当a 1时，有102 111(1,2,31,2,3)011 211000 20 2由于秩(1,2,3)秩(1,2,31)，线性方程组x11 x

23、22 x331无解，故向量1不能由1,2,3线性表示 因此，向量组(I)与(II)不等价【评注 1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：因为行列式1,2,3 a 1，1,2,3 6 0，可见(1)当a 1时，秩r(1,2,3)r(1,2,3)3，因此三维列向量组1,2,3与1,2,3等价，即向量组(I)与(II)等价(2)当a 1时，秩r(1,2,3)2，而行列式2,3,1 4 0，可见r(1,2,3)2r(1,2,3,1)=3，因此线性方程组x11 x22 x331无解，故向量1不能由1,2,3线性表示 即向量组(I)与(II)不等价【评注 2】向量组(I)与

24、(II)等价，相当于1,2,3与1,2,3均为整个向量组1,2,3,1,2,3的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组1,2,3,1,2,3的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论十十【分析】题设已知特征向量，应想到利用定义：A*.又与伴随矩阵A*相关的问题，应利用AA*AE进行化简【详解】矩阵A*属于特征值的特征向量为，由于矩阵A可逆，故A*可逆 于是 0，A 0，且A*两边同时左乘矩阵A，得AA*AAA，即21111A121bb，11a11由此，得方程组由式(1)，(2)解得b 1或b 2；由式(1)，(3)解得a 2.因此211A 121 3a 2 4，11a根据(1)式知，

25、特征向量所对应的特征值所以，当b 1时，1；当b 2时，4.【评注】本题若先求出A*，再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂一般来说，见到A*，首先应想到利用公式AA*AE进行化简十一十一【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y F(X)，然后按定义求Y的分布函数即可 注意应先确定Y F(x)的值域范围(0 F(X)1)，再对y分段讨论【详解】易见，当x 1时，F(x)0;当x 8时，F(x)1对于x1,8，有设G(y)是随机变量Y F(x)的分布函数 显然，当y 0时，G(y)=0；当y 1时，G(y)=1 对于y0,1)，有于是，Y F(x)的分布函数为十二

26、十二【分析】A和B独立的充要条件是PAB PAPB，由此可以直接证明问题(1)；对于问题(2)，应先构造随机变量，不难看出与事件A和A联系的应是随机变量随机变量X和Y的相关系数为XYcov(X,Y)DXDYEXY EXEYDXDY，需将PAB PAPBPAPBPAPB转化为用随机变量表示.显然，若有EXY PAB，EX PA,EY PB以及DX PAPA，DYPBPB即可，这只需定义【详解】(1)由题给的定义，可见 0当且仅当PAB PAPB 0，而这恰好是二事件A和B独立的定义，即 0是A和B独立的充分必要条件(2)考虑随机变量X和Y:由条件知，X和Y都服从01分布：1010X ，Y.PAPAP BP B 由离散型随机变量的数字特征，EXxiPXi xi，DX E X2EXi1n 2易见EX PA，EY PB；DX PAPA，DY PBPB;由协方差的定义因此，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数 于是由二随机变量相关系数的基本性质1，所以题目中定义的1.