(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练五十一10.5曲线与方程理(含解析)新人教A版.pdf

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1、核心素养提升练五十一 曲线与方程（30 分钟 60 分）一、选择题(每小题 5 分,共 25 分）1。如图，已知线段 AB 上有一动点 D(D 异于 A，B）,线段 CDAB,且满足|CD|2=AD|BD（是大于 0 且不等于 1 的常数），则点 C 的运动轨迹为（)A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C。双曲线的一部分 D。抛物线的一部分【解析】选 B.以线段 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系,设 C（x,y)是运动轨迹上任一点，设AB|=2a，则 A(-a,0),B(a，0)，所以CD|2=y2,AD|BD|=(x+a）(a-x)=x2+a2,所以

2、y2=-x2+a2,即 x2+y2=a2，即+=1,且 xa,所以点 C 的运动轨迹为椭圆的一部分.2。（2018张家口模拟）设线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且AB|=5，=+(O 为坐标原点),则点 M 的轨迹方程为（）A。+=1 B.+=1 C。+=1 D.+=1【解析】选 A。设 M（x,y)，A（x0,0)，B（0，y0)，由=+，得(x，y）=(x0,0)+（0,y0),则解得 由AB=5，得+=25,化简得+=1。【变式备选】(2018福州模拟）已知 F1，F2分别为椭圆 C：+=1 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点,则PF1F2的重心 G

3、 的轨迹方程为()A。+=1(y0)B.+y2=1（y0）C。+3y2=1(y0)D.x2+=1（y0）【解析】选 C.依题意知 F1(1,0），F2（1，0),设 P（x0,y0)，G(x,y)，由三角形重心坐标关系可得即代入+=1，得重心 G 的轨迹方程为+3y2=1（y0).3.设点 A 为圆（x-1）2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为()A.y2=2x B。(x-1)2+y2=4 C。y2=2x D.(x1）2+y2=2【解析】选 D。如图，设 P（x,y），圆心为 M(1,0）,连接 MA,则 MAPA，且MA=1。又因为PA=1,所以P

4、M|=，即|PM|2=2,所以 P 点的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.【变式备选】（2018梅州模拟）动圆 M 经过双曲线 x2-=1 的左焦点且与直线 x=2 相切,则圆心 M 的轨迹方程是（）A.y2=8x B.y2=8x C.y2=4x D.y2=-4x【解析】选 B.双曲线 x2=1 的左焦点 F（-2,0),动圆 M 经过点 F 且与直线 x=2 相切,则圆心 M 到点 F 的距离和到直线 x=2 的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2=8x。4.已知两定点 A（0,2），B(0,2），点 P 在椭圆+=1 上，且满足|=2，则=（)A。-12 B.12 C.9

5、D。9【解析】选 D。设 P(x，y）.由|=2 可得点 P 在以两定点 A,B 为焦点的双曲线的上支,其中 2a=2，c=2，所以 b=.所以点 P（x，y）满足方程 y2-=1(y1）.由解得 所以=（x，y+2)(x，y2)=x2+y24=9+4-4=9.5.在ABC 中,B（-，0），C(，0)，AB,AC 边上的中线长之和为 9.则ABC 重心 G 的轨迹方程是(）A.+=1（y0）B。+=1(y0）C.-y2=1(y0)D。x2-=1(y0）【解析】选 B。设 AB，AC 边上的中线分别为 CD，BE，因为 BG=BE，CG=CD，所以 BG+CG=（BE+CD)=6（定值）,所以

6、，G 的轨迹为以 B,C 为焦点的椭圆，2a=6，c=，所以 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1。因为当G 点在x 轴上时,A，B,C 三点共线,不能构成ABC,所以 G 的纵坐标不能是 0,可得ABC 的重心 G 的轨迹方程为+=1(y0).二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.ABC 的顶点 A（5，0），B(5，0）,ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是_.【解析】如图，AD|=AE|=8,BF|=|BE=2,|CD=CF,所以CA|-|CB|=82=6。根据双曲线定义,所求轨迹是以 A,B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支,所以方程为-=1(x3

7、).答案：=1(x3）7。已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A（-1，0)，B(1，0）且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_。【解析】设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1,OO1，则AA1+BB1 =2OO1=4,由抛物线定义得AA1|+|BB1=|FA+|FB|，所以FA+FB=4,故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点）。所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y0).答案:+=1(y0）8.已知点 P 是曲线 C：+y2=1 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q，点 M 满足=,则点 M 的轨迹方

8、程为_。【解析】设 P（m，n）,M(x，y)，则 Q(m，0）,=（0,n)，=（x-m,yn），因为=-,所以（0，n)=-（x-m，y-n）,即即 因为点 P 在曲线 C 上,所以+n2=1，将代入得,+=1，即点 M 的轨迹方程 x2+y2=4.答案：x2+y2=4 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分）9.(2018泉州模拟）ABC 中,O 是 BC 的中点，|BC=3，其周长为 6+3,若点 T 在线段 AO 上，且|AT=2|TO|.（1)建立合适的平面直角坐标系,求点 T 的轨迹 E 的方程.（2）若 M,N 是射线 OC 上不同的两点,OM|ON|=1，过点 M 的直线

9、与 E 交于 P，Q 两点，直线 QN 与 E 交于另一点 R,证明:MPR 是等腰三角形.【解析】(1)以 BC 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则AB+|AC=6BC,所以点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆，所以 2a=6，2c=3，所以 a=3，c=,所以 b2=a2c2=,所以点 A 的轨迹方程为+=1(y0）。设 T（x,y）,点 T 在线段 AO 上,且|AT|=2TO|，所以 A（3x,3y）,代入轨迹方程,整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x2+2y2=1（y0）。（2)设 Q(x1，y1)，P（x2,y2),R(x3,y3）,M（m，0)（m

10、0）,由|OM|ON|=1 得 N，由已知，直线 QM 不与坐标轴平行，kQM=，直线 QM 的方程为 y=（xm）,与椭圆方程联立,消去 y，得(m2+1-2mx1）x2-2m（1-)x+(2mx1-m2）=0,所以 x1x2=，同理 x1x3=x1x2,所以 x2=x3,或 x1=0.当 x2=x3时，PRx 轴;当 x1=0 时,x2=，x3=x2。所以 PRx 轴，所以MP|=MR|,所以MPR 是等腰三角形.10.(2018上海模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知三点 O(0，0)，A（-1,1)，B(1，1），曲线 C 上任意一点 M（x，y）满足：+=4-（+)。(1）求曲线

11、 C 的方程。(2）设点 P 是曲线 C 上的任意一点，过原点的直线l与曲线相交于 M，N 两点,若直线 PM，PN的斜率都存在，并记为 kPM，kPN,试探究 kPMkPN的值是否与点 P 及直线l有关,并证明你的结论.【解析】（1)由已知,A(1,1）,B(1,1），M(x，y),所以+=（1-x，1y)+（1-x,1-y)=（-2x，2-2y）,|+=,又因为|+=4-(+），4(+)=4(x,y）(0，2)=4y，所以=4y，化简整理得+=1，即为所求曲线 C 的方程。(2）因为过原点的直线l与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称,可设 P（x，y）,M（x0,y0）,N（-x0，

12、y0).因为 P，M，N 在椭圆上,所以+=1,+=1,，得=，又因为 kPM=，kPN=，所以 kPMkPN=-，所以,kPMkPN的值恒等于，与点 P 的位置和直线l的位置无关.(20 分钟 40 分）1.（5 分）已知两定点 F1（1,0),F2(1,0）,且F1F2|是PF1|与PF2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是(）A.+=1 B.+=1 C。+=1 D。+=1【解析】选 C。由|F1F2|是PF1与PF2|的等差中项知：PF1+PF2=4，故动点 P 的轨迹是以定点 F1（1,0),F2（1，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆,故其方程为+=1。【变式备选】设圆 C 与圆 x2+

13、（y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为 (）A。抛物线 B。双曲线 C。椭圆 D.圆【解析】选 A。由题意知动点 C 满足:到定点(0，3)的距离比到定直线 y=0 的距离多 1，故其到定点（0，3)与到定直线 y=1 的距离相等.所以点 C 的轨迹为抛物线。2。(5 分）设过点 P（x,y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点,点 Q与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点，若=2,且=1，则点 P 的轨迹方程是（)A.x2+3y2=1(x0，y0)B。x23y2=1（x0,y0)C。3x2-y2=1(x0,y0)D。3x2+y2=1

14、（x0，y0)【解析】选 A。设 A(a,0），B(0,b），a0,b0，由=2,得(x，y-b)=2（a-x，-y），即a=x0，b=3y0。点 Q(-x,y），故由=1,得（x，y）（a，b）=1,即ax+by=1，将 a,b 代入 ax+by=1得所求的轨迹方程为 x2+3y2=1(x0，y0）.3.(5 分)已知过点 A（2,0)的直线与 x=2 相交于点 C,过点 B（2,0)的直线与 x=-2 相交于点 D,若直线 CD 与圆 x2+y2=4 相切，则直线 AC 与 BD 的交点 M 的轨迹方程为_。【解析】设直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2,则直线 AC，BD 的方程分

15、别为：y=k1(x+2）,y=k2(x2),据此可得:C(2，4k1),D(2，4k2)，则:kCD=k1+k2,直线 CD 的方程为：y-4k1=（k1+k2)（x2)，整理可得：（k1+k2)xy+2（k1k2)=0，直线与圆相切,则:=2,据此可得：k1k2=-，由于:y=k1(x+2)，y=k2(x-2)，两式相乘可得:y2=k1k2(x2-4）=-x2+1，即直线 AC 与 BD 的交点 M 的轨迹方程为+y2=1(y0）.答案:+y2=1（y0）4。(12 分)(2018泰安模拟)如图所示,动圆 C1:x2+y2=t2，1t3,与椭圆 C2:+y2=1 相交于A,B,C，D 四点，

16、点 A1,A2分别为 C2的左，右顶点。（1）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积.(2）求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。【解析】(1）设 A(x0，y0），则矩形 ABCD 的面积 S=4x0y0，由+=1 得=1,所以=1-=2+,当=，=时，Smax=6，所以 t2=+=5，t=，所以当 t=时，矩形 ABCD 的面积取到最大值 6.(2）由椭圆 C2:+y2=1 知 A1（3，0),A2（3,0)，由曲线的对称性及 A(x0,y0)得 B(x0，-y0）,设点 M 的坐标为（x，y）,直线 AA1的方程为 y=(x+3),直线 A2B

17、 的方程为 y=（x3），由得 y2=(x29)。又点 A（x0,y0）在椭圆 C2上,所以=1。将代入得-y2=1（x-3,y0)。所以点 M 的轨迹方程为-y2=1(x3，y0)。5。（13 分)已知椭圆 C：+=1（ab0）的一个焦点为（,0），离心率为.(1）求椭圆 C 的标准方程.(2）若动点 P（x0,y0）为椭圆 C 外一点,且过点 P 的椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.【解析】（1)由已知 c=，=,所以 a=3,b2=a2c2=4,所以椭圆 C 的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x 轴或l1x 轴时，对应l2x 轴或l2x 轴,可知点

18、P（3,2）或 P（3,2)或 P(3，-2）或 P（-3，2)。当l1与 x 轴不垂直且不平行时,x03.设l1的斜率为 k,则 k0，l2的斜率为-，所以l1的方程为 yy0=k(x-x0）,联立+=1,得（9k2+4）x2+18(y0kx0）kx+9(y0kx0）236=0。因为直线l1与椭圆 C 相切，所以=0，9(y0-kx0）2k2-(9k2+4）（y0-kx0）2-4=0，-36k2+4(y0-kx0)2-4=0,（-9）k2-2x0y0k+4=0,所以 k 是方程（-9)x2-2x0y0 x+4=0（x03)的一个根，同理-是方程（9)x22x0y0 x+-4=0（x03)的另

19、一个根,所以 k-=,得+=13,其中 x03,所以此时点 P 的轨迹方程为+=13(x03)。因为中 P 的坐标满足+=13,综上,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.

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