最新2018届初中数学中考复习专题【二次函数压轴题】.pdf

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1、.1/6 2018 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 例 1如图 1,已知抛物线经过点 A、B、C三点 1求抛物线的解析式 2点 M 是线段 BC 上的点不与 B,C 重合,过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N,若点 M 的横坐标为 m,请用 m 的代数式表示 MN 的长 3在2的条件下,连接 NB、NC,是否存在 m,使BNC 的面积最大？若存在,求 m 的值；若不存在,说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合 巩固 1如图 2,抛物线02232axaxy的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐标为4,0 1求抛物线的解析式；2试探究

2、ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标；3若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标 考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想 平行四边形类 例 2如图 3,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A3,0、B0,3,点 P 是直线 AB 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,设点 P的横坐标为 t 1分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 2若点 P 在第四象限,连接 AM、BM,当线段 PM 最长时,求ABM 的面积 3是否存在这样的点 P,使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存

3、在,请直接写出点 P 的横坐标；若不存在,请说明理由 等腰三角形类 例 3如图,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 1求点 B 的坐标；2求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；3在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点 P 的坐标；若不存在,说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论 巩固3 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A 0,2,点 C1,0,如图所示：抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B 1求点 B 的坐标；

4、2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否还存在点 P点 B 除外,使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在,求所有点 P 的坐标；若不存在,请说明理由 规律探索类 例 4如图,已知点 A1、A2、A3、A4、An在 x 轴的正半轴上,且横坐标依次为连续的正整数,过点 A1、A2、A3、A4、An分别作 x 轴的垂线,交抛物线 y=x2+x于点 B1、B2、B3、B4、Bn,交过点 B1的直线 y=2x 于点 C2、C3、C4、Cn.若B1C2B2、B2C3B3、B3C4B4、BnC1nB1n的面积分别为 S1、S2、S3、Sn.求 S2S1与 S3S2的值；猜想 SnS1n与 n

5、 的数量关系,并说明理由；若将抛物线y=x2+x改为y=x2+bx+c,直线y=2x改为 y=x+c,其它条件不变,请猜想 SnSn-1与 n 的数量关系直接写出答案.图 1 图 2 图 3 B4 y.2/6 综合类 例 5如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B5,0,另一个交点为 A,且与 y 轴交于点C0,5 1求直线 BC 与抛物线的解析式；2 若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；3在2的条件下,MN 取得最大值时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边

6、作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1,ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2,求点 P 的坐标 考点：二次函数综合题专题：压轴题 巩固 6 如图,抛物线 y=ax2+bx+c a0 的图象过点 C 0,1,顶点为 Q 2,3,点 D 在 x 轴正半轴上,且 OD=OC 1求直线 CD 的解析式；2求抛物线的解析式；3将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证：CEQCDO；4在3的条件下,若点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问：在 P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长是否存在最小值？若存在,

7、求出这个最小值；若不存在,请说明理由 20#中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题参考答案 例题 1考点：二次函数综合题专题：压轴题；数形结合 分析：1已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 2先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式,已知点 M 的横坐标,代入直线 BC、抛物线的解析式中,可得到 M、N 点的坐标,N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长 3 设 MN 交 x 轴于 D,那么BNC 的面积可表示为：SBNC=SMNC+SMNB=MN OD+DB=MNOB,MN的表达式在2中已求得,OB 的长易知,由此列出关于 SBNC、m 的函数关系式,根据函

8、数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值 解答：1设抛物线的解析式为：y=ax+1 x3,则：a0+1 03=3,a=1；抛物线的解析式：y=x+1 x3=x2+2x+3 2设直线 BC 的解析式为：y=kx+b,则有：,解得；故直线 BC 的解析式：y=x+3 已知点 M 的横坐标为 m,MNy,则 Mm,m+3、Nm,m2+2m+3；故 MN=m2+2m+3m+3=m2+3m0m3 3如图 2；SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MNOB,SBNC=m2+3m3=m2+0m3；当 m=时,BNC 的面积最大,最大值为 巩固 1考点：二次函数综合题专题：压轴题；转化思想 分析：1该

9、函数解析式只有一个待定系数,只需将 B 点坐标代入解析式中即可 首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标,然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置,由此确定圆心坐标 MBC 的面积可由 SMBC=BCh 表示,若要它的面积最大,需要使 h 取最大值,即点 M 到直线 BC 的距离最大,若设一条平行于 BC 的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点 M 解答：1将 B4,0代入抛物线的解析式中,得：抛物线的解析式为：y=x2x2 2由1的函数解析式可求得：A1,0、C0,2；OA=1,OC=2,OB=4,图 2.3/6 图 7 即：OC2=OAOB,又：

10、OCAB,OACOCB,得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90,ABC 为直角三角形,AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点,且坐标为：,0 3已求得：B4,0、C0,2,可得直线 BC 的解析式为：y=x2；设直线 lBC,则该直线的解析式可表示为：y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时,可列方程：x+b=x2x2,即：x22x2b=0,且=0；442b=0,即 b=4；直线 l：y=x4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有：,解得：即 M2,3 过 M 点作 MNx 轴于 N,SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB

11、=22+3+2324=4 例 2考点：二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定.专题：压轴题；存在型 分析：1分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A3,0B0,3分别代入 y=x2+mx+n 与 y=kx+b,得到关于 m、n 的两个方程组,解方程组即可；2设点 P 的坐标是t,t3,则 Mt,t22t3,用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长,即 PM=t3t22t3=t2+3t,然后根据二次函数的最值得到;当 t=时,PM 最长为=,再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM+SA

12、PM计算即可；3由 PMOB,根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时,点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3,PM 最长时只有,所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3,t22t3t3=3；当 P 在第三象限：PM=OB=3,t23t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t的值 解答：解：1把 A3,0B0,3代入 y=x2+mx+n,得 解得,所以抛物线的解析式是 y=x22x3设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A3,0B0,3代入 y=kx+b,得,解得,所以直线 AB 的解析式是 y=x3；2设点 P 的坐标

13、是t,t3,则 Mt,t22t3,因为 p 在第四象限,所以 PM=t3t22t3=t2+3t,当 t=时,二次函数的最大值,即 PM 最长值为=,则 SABM=SBPM+SAPM=3存在,理由如下：PMOB,当 PM=OB 时,点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,当 P 在第四象限：PM=OB=3,PM 最长时只有,所以不可能有 PM=3 图 5 图 4.4/6 当 P 在第一象限：PM=OB=3,t22t3t3=3,解得 t1=,t2=舍去,所以 P 点的横坐标是；当 P 在第三象限：PM=OB=3,t23t=3,解得 t1=舍去,t2=,所以 P 点的横坐标是所以 P 点的横

14、坐标是或 例题 3分析：1首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置,然后过 B 做 x 轴的垂线,通过构建直角三角形和OB 的长即 OA 长确定 B 点的坐标 2已知 O、A、B 三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式 3根据2的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出 P 点的坐标,而 O、B 坐标已知,可先表示出OPB 三边的边长表达式,然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP 三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的 P 点 解答：解：1如图,过 B 点作 BCx 轴,垂足为 C,则BCO=90,AOB=120,BOC=60,又OA=OB=4,OC=OB=4=2,BC=O

15、Bsin60=4=2,点 B 的坐标为2,2；2抛物线过原点 O 和点 A、B,可设抛物线解析式为 y=ax2+bx,将 A4,0,B22代入,得,解得,此抛物线的解析式为 y=x2+x 3存在,如图,抛物线的对称轴是直线 x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐标为2,y,若 OB=OP,则 22+|y|2=42,解得 y=2,当 y=2时,在 RtPOD中,PDO=90,sinPOD=,POD=60,POB=POD+AOB=60+120=180,即 P、O、B 三点在同一直线上,y=2不符合题意,舍去,点 P 的坐标为2,2 若 OB=PB,则 42+|y+2|2=42

16、,解得 y=2,故点 P 的坐标为2,2,若 OP=BP,则 22+|y|2=42+|y+2|2,解得 y=2,故点 P 的坐标为2,2,综上所述,符合条件的点 P 只有一个,其坐标为2,2,例题 5考点：二次函数综合题专题：压轴题 分析：1设直线 BC 的解析式为 y=mx+n,将 B5,0,C0,5两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式；同理,将 B5,0,C0,5两点的坐标代入 y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；2MN 的长是直线 BC 的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求

17、出 MN 的最大值；3先求出ABN 的面积 S2=5,则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出 BD=3,过点D 作直线BC的平行线,交抛物线与点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,则四边形 CBPQ 为平行.5/6 四边形证明EBD 为等腰直角三角形,则 BE=BD=6,求出 E 的坐标为1,0,运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y=x1,然后解方程组,即可求出点 P 的坐标 解答：1设直线 BC 的解析式为 y=mx+n,将 B5,0,C0,5两点的坐标代入,得,解得,所以直线 BC 的解析式为

18、y=x+5；将 B5,0,C0,5两点的坐标代入 y=x2+bx+c,得,解得,所以抛物线的解析式为 y=x26x+5；2设 Mx,x26x+5 1x5,则 Nx,x+5,MN=x+5x26x+5=x2+5x=x2+,当 x=时,MN 有最大值；3MN 取得最大值时,x=2.5,x+5=2.5+5=2.5,即 N2.5,2.5 解方程 x26x+5=0,得 x=1 或 5A1,0,B5,0,AB=51=4,ABN 的面积 S2=42.5=5,平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,则 BCBD BC=5,BCBD=30,BD=3 过点

19、 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取PQ=BC,则四边形 CBPQ 为平行四边形BCBD,OBC=45,EBD=45,EBD 为等腰直角三角形,BE=BD=6,B5,0,E1,0,设直线 PQ 的解析式为 y=x+t,将 E1,0代入,得 1+t=0,解得 t=1 直线 PQ 的解析式为 y=x1解方程组,得,点 P 的坐标为 P12,3 与点 D 重合或 P23,4 巩固 6如图,抛物线 y=ax2+bx+ca0的图象过点 C0,1,顶点为 Q2,3,点 D 在 x 轴正半轴上,且OD=OC 1求直线 CD 的解析式；2求抛物线的解析式；3

20、将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证：CEQCDO；4在3的条件下,若点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问：在 P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在,请说明理由 分析：1利用待定系数法求出直线解析式；2利用待定系数法求出抛物线的解析式；3关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形；4 如答图所示,作点C关于直线QE的对称点C,作点C关于x轴的对称点C,连接CC,交 OD 于点 F,交 QE 于点 P,则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,

21、PCF 的周长等于线段 CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小 如答图所示,利用勾股定理求出线段 CC的长度,即PCF 周长的最小值 解答：解：1C0,1,OD=OC,D 点坐标为1,0 设直线 CD 的解析式为 y=kx+bk0,.6/6 将 C0,1,D1,0代入得：,解得：b=1,k=1,直线 CD 的解析式为：y=x+1 2设抛物线的解析式为 y=ax22+3,将 C0,1代入得：1=a22+3,解得 a=y=x22+3=x2+2x+1 3证明：由题意可知,ECD=45,OC=OD,且 OCOD,OCD 为等腰直角三角形,ODC=45,ECD=OD

22、C,CEx 轴,则点 C、E 关于对称轴直线 x=2对称,点 E 的坐标为4,1 如答图所示,设对称轴直线 x=2与 CE 交于点 M,则 M2,1,ME=CM=QM=2,QME 与QMC均为等腰直角三角形,QEC=QCE=45又OCD 为等腰直角三角形,ODC=OCD=45,QEC=QCE=ODC=OCD=45,CEQCDO 4存在如答图所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD于点 F,交 QE 于点 P,则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,PCF 的周长等于线段 CC的长度 证明如下：不妨在线段 OD

23、上取异于点 F 的任一点 F,在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P,连接FC,FP,PC由轴对称的性质可知,PCF的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C,C之间的折线段,由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC,即PCF的周长大于PCE 的周长 如答图所示,连接 CE,C,C关于直线 QE 对称,QCE 为等腰直角三角形,QCE 为等腰直角三角形,CEC为等腰直角三角形,点 C的坐标为4,5；C,C关于 x 轴对称,点 C的坐标为0,1 过点 C作 CNy 轴于点 N,则 NC=4,NC=4+1+1=6,在RtCNC中,由勾股定理得：CC=综上所述,在 P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长存在最小值,最小值为