(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理(含解.pdf

《(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理(含解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理(含解.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、核心素养提升练二十七 平面向量的数量积及应用举例(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.已知|a|=6，|b=3，向量 a 在 b 方向上的投影是 4，则 ab 为(）A。12 B.8 C.-8 D。2【解析】选 A.因为|acos=4，b=3,所以 ab=a|b|cos=34=12。2.如图，在圆 C 中,点 A,B 在圆上,则的值()A。只与圆 C 的半径有关 B.既与圆 C 的半径有关，又与弦 AB 的长度有关 C。只与弦 AB 的长度有关 D。是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值【解析】选 C.如图，过圆心 C 作 CDAB，垂足为 D，则=|

2、cosCAB=|2.所以的值只与弦 AB 的长度有关。3.在ABC 中，若|2=+，则ABC 是(）A.等边三角形 B。锐角三角形 C。钝角三角形 D。直角三角形【解析】选 D.依题意得|2=（+)+=|2+,所以=0，ABC 是直角三角形。【变式备选】已知向量 a=(,1)，b=(0,1),c=（k，),若 a+2b 与 c 垂直,则 k=（)A.3 B.2 C。1 D.-1【解析】选 A。因为 a+2b 与 c 垂直，所以（a+2b)c=0,即 ac+2bc=0，所以k+2=0，解得 k=-3。4.已知ABC 为等边三角形，AB=2,设点 P,Q 满足=，=（1-),R,若=，则=（）A.

3、B。C.D.【解析】选 A。因为=，所以=-2-|2+=-4-4+2=-22+2-2，解得=.【一题多解】选 A。如图，建立平面直角坐标系，设 A（1,0),B(1，0)，C(0,)，另设 P（x1,0)，Q(x2,y2),由=,得 x1=2-1，由=（1）,得 x2=；y2=（1-)，于是=（-1,（1-)，=(2-1,），由=-得：(1)（21)-3(1）=-，解得=.【变式备选】已知非零向量 a,b 的夹角为，且b=1,|b2a=1，则a=(）A.B.1 C.D。2【解析】选 A。依题意得（b2a）2=1,即 b2+4a2-4ab=1，1+4|a22|a|=1，4a|2-2a|=0（a0

4、)，因此a=.5。(2017全国卷）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点，则(+)的最小值是 （）A。-2 B。-C.D.1【解析】选 B。取 BC 的中点 D,以 BC 为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立坐标系,则 A（0,），B(1,0)，C（1，0）,设 P(x,y),所以=（x,y）,=(-1x，-y），=(1-x,-y）,所以+=(-2x,2y)，(+)=2x2-2y（y)=2x2+2-,当 P时,（+)取得最小值，最小值为-。【变式备选】已知平面向量 a,b 的夹角为 120,且 ab=-1，则ab|的最小值为（)A.

5、B.C.D.1【解 析】选 A.由 题 意 可 知 1=a b=a b|cos 120,所 以 2=|a|b|，即|a2+b|24，当且仅当|a=b|时等号成立，ab|2=a2-2ab+b2=a2+b2+24+2=6，所以a-b|，所以ab的最小值为。二、填空题(每小题 5 分，共 15 分）6.已知向量 m=（+1，1),n=（+2，2）,若(m+n）（mn）,则向量 m,n 的夹角的余弦值为_。【解析】因为 m+n=(2+3,3），mn=(-1，1），所以由(m+n)（m-n）得（m+n)(mn)=0,即(2+3)(-1)+3（1)=0，解得=3,则 m=（-2,1）,n=（-1，2),所

6、以 cosm，n=.答案:7.(2019济南模拟)已知 A（-1,cos)，B（sin，1)，若+=|（O 为坐标原点)，则锐角=_。【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以 OA,OB 为邻边所作平行四边形 OADB 的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形。知 OA OB.因此=0，所以锐角=.答案:【一题多解】坐标法:+=（sin 1,cos+1），-=（sin 1,cos 1）,由|+=|可得(sin 1）2+(cos+1）2=(sin 1）2+(cos 1)2,整理得 sin=cos，于是锐角=。答案：8.如图，菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=60,M

7、 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为_。【解析】由平面向量的数量积的几何意义知，等于与在方向上的投影之积,所以(）max=(+)=|2+2+=9.答案：9 三、解答题（每小题 10 分,共 20 分）9.已知向量 a=,b=(cos x,-1)。（1)当 ab 时,求 2cos2x-sin 2x 的值。（2)求 f(x）=（a+b）b 在上的值域.【解析】(1）因为 ab,所以 cos x+sin x=0，所以 tan x=-,2cos2x-sin 2x=.（2)因为 a+b=。f（x)=(a+b）b=sin.因为 x0，所以-2x+,所以1sin,所以f（x）

8、，所以函数 f（x）的值域为.10.已知向量 a1=（1，7），d=(1，1），对任意 nN都有 an+1=an+d。（1）求|an|的最小值。(2)求正整数 m，n，使 aman.【解析】(1)设 an=（xn,yn)，由 an+1=an+d 得所以xn,yn都是公差为 1的等差数列.因为 a1=(1,7),所以 xn=n，yn=n-8，an=（n，n8），|an=4，|an|的最小值为 4。(2）由(1）可知 an=（n,n8),am=(m,m-8),由已知 aman得：aman=0,mn+(m-8)（n8)=0,（m-4)(n-4）=-16 因为 m，nN+，所以或或 或【变式备选】一条

9、河的两岸平行，河的宽度 d=500 m,一艘船从 A 处出发到河对岸。已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度v2=2 km/h。要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小。此时我们分三种情况讨论：当船逆流行驶，与水流成钝角时；当船顺流行驶，与水流成锐角时；当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时。请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时,所用时间最短【解析】设 v1与 v2的夹角为,合速度为 v，v2与 v 的夹角为,行驶距离为 d,则 sin=所以当=90，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短。（20 分钟 40 分)1.（5 分）已知菱形 A

10、BCD 的边长为 6，ABD=30,点 E,F 分别在边 BC，DC 上，BC=2BE，CD=CF.若=9，则 的值为（）A。2 B。3 C.4 D.5【解析】选 B.依题意得=+=-,=+,因此=-+，于是有62+62cos 60=-9,由此解得=3.2。(5 分)(2018宜春模拟）已知向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1t），|在 t0时取最小值，当 0t0 时，cos 的取值范围为()A.B。C.D。【解析】选 D。建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:A（2,0）,B（cos，sin)，由向量关系可得:=t=（2t,0),=（1-t）=（1t)cos，（1t）sin）,则

11、:|=,整理可得:|=，满足题意时：t0=-=-,据此可得三角不等式:0 ，解得:-cos ，即 cos 的取值范围是。3.（5 分)如图，已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3，AC 与 BD 交于点 O。记I1=,I2=，I3=,则(）A。I1I2I3 B。I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3【解析】选 C。根据题意,I1I2=-=（-)=|cosAOB0,所以 I1I2，同理得,I2I3,作 AGBD 于 G，又因为 AB=AD,所以 OBBG=GDOD,同理作 BFAC 于 F，而 OAAF=FCOC，所以|，而 cosAOB=cosCOD，即

12、I1I3,所以 I3I1I2.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法 选 C.如图，建立平面直角坐标系,则 B(0,0）,A（0，2），C(2,0).设 D(m,n)，由 AD=2 和 CD=3，得从而有 nm=0，所以 nm.从而DBC45，又因为BCO=45，所以BOC 为锐角.从而AOB 为钝角.故 I10,I30，I20。又因为 OAOC,OB1),=-2（21）,从而 I3=12=12I1,又因为 121,I10，I30，所以 I3I1，所以 I3I1I2.【变式备选】已知圆 O 的半径为 1，A,B 是圆上的两点，且AOB=，MN 是圆 O 的任意一条直径,若点 C 满足=+（1)

13、(R)，则的最小值为_。【解析】由题意可得=(+）（+)=+(+）+,因为 MN 是圆 O 的任意一条直径,所以+=0，=-1，所以=+0-1=1。要求的最小值问题就是求的最小值,因为=+(1-)（R)，所以点 C 在直线 AB 上，则当 C 在 AB 中点时,OCAB,OC 最小为等边三角形 AOB 的高线为,此时=，故的最小值为1=-。答案:-4.(12 分)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A（1，0)和点 B(-1,0),|=1，且AOC=x,其中 O 为坐标原点。(1)若 x=,设点 D 为线段 OA 上的动点,求+|的最小值。(2)若 x,向量 m=,n=(1-cos x，si

14、n x2cos x)，求 mn 的最小值及对应的 x 值.【解析】（1）设 D（t,0）(0t1）,当 x=时，可得 C，所以+=,所以+|2=+（0t1)，所以当 t=时，+2取得最小值为,故|+的最小值为.（2）由题意得 C（cos x,sin x），m=（cos x+1，sin x）,则 mn=1-cos2x+sin2x2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1sin.因为 x，所以 2x+。所以当 2x+=,即 x=时,mn=1-sin取得最小值 1-，所以 mn 的最小值为 1，此时 x=.5.（13 分）已知向量 a=(cos,sin）,b=（cos，sin），c=

15、（-1，0）.（1）求向量 b+c 的模的最大值。（2)设=,且 a（b+c）,求 cos 的值。【解析】(1）b+c=(cos-1,sin）,则b+c2=(cos-1）2+sin2=2（1-cos）.因为1cos 1,所以 0b+c|24,即 0b+c|2.当 cos=-1 时,有|b+c=2，所以向量 b+c 的模的最大值为 2.（2)若=，则 a=。又由 b=(cos，sin),c=（1,0）得 a(b+c)=（cos 1，sin）=cos+sin-.因为 a(b+c),所以 a（b+c）=0，即 cos+sin=1,所以 sin=1cos，平方后化简得 cos(cos 1）=0，解得

16、cos=0 或 cos=1。经检验 cos=0 或 cos=1 即为所求。【方法技巧】涉及三角问题求解方法：去除向量的包装外衣，转化为形如：y=Asin（x+）+k，但一定要关注自变量 x 的取值范围。另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式,处理的结果之一就是转化为形如:y=Asin（x+)，这一点很重要。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。Th

17、is article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.