《经济数学的基础》教案设计.pdf

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1、.教学目标 理解常量、变量以与函数概念,了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法,掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.了解幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的根本特征和简单性质.了解极限、无穷小大量的有关概念,掌握求极限的常用方法.了解函数连续性概念,会求函数的连续点.理解导数概念,会求曲线的切线方程,熟练掌握导数根本公式和求导数的常用方法,会求简单的隐函数的导数.知道微分概念,会求微分.会求二阶导数.重难点函数概念、导数概念和导数的计算 教学内容 第一编 微分学 第 1 章 函数 一、试着回答如下问题：问题 1：在某过程中由两个变量,其中一个量 x 变,另一个量

2、 y 也变,那么变量 y 是变量 x 的函数,此话对吗？问题 2：一个函数可以由哪些要素唯一确定？问题 3：函数的定义域、对应关系和值域中的任意两个因素,是否可将函数唯一确定呢？问题 4：如果 y 是 x 的函数 y=f,是否 y 与 x 之间的关系只能用一个解析式子表示？答：问题 1：不对.根据函数定义,变量 x 变,变量 y 也变,并没有说明 y 是如何随 x 的变化而变化,也没有说明每给 x 一个值,就有唯一的 y 值与之对应,因此还不能说 y 是 x 的函数.问题 2：任一函数,都可由其定义域 D 和对应关系 f 这两个要素确定.有的教材讲,确定函数有三个要素：定义域、对应关系和值域,

3、实际上,只要定义域和对应关系确定了,值域也就随之确定了.问题 3：不一定.例如 y=sinx 与 y=cosx,它们的定义域一样,值域也一样,但对应关系不同,它们不是同一个函数.问题 4：不一定.表示函数的方法有：公式法、图示法和列表法.即使对于公式法,也不一定必须用一个解析式表示,如分段函数：包含了两个式子,但分段函数仍是一个函数.二、主要内容归纳：一、函数概念 1、常量与变量在所研究的问题中,保持同一确定数值的量,称为常量.而能取不同数值的量,称为变量.注意：常量与变量是相对的,条件改变时,可以相互转化.2、函数定义：y=f 其中 x 叫做自变量,y 叫做因变量,x 的变域 D 称为函数的

4、定义域.用图示说明如下：Y D y 的变化 X 围 x 的变化 X 围 函数的实质是两个变量x 与 y与其对应规如此 f 二、初等函数 微积分研究的对象主要是初等函数,但初等函数是由根本初等函数构成的.4x2 ,921 ,1222xxxy x)f(法则一一对应.1、根本初等函数 常数函数 y=C 幂函数 y=xaa 为实数 指数函数 y=ax 0,a1 对数函数 y=log ax 0,a1 三角函数 y=sinx,y=cosx y=tanx,y=ctgx 2、复合函数 y=f,u=且 u=的值域是 y=f的定义域的子集,如此 y 是 x 的复合函数：y=f.其各量的关系图示如下：3、初等函数

5、初等函数是由根本初等函数经过有限次的四如此运算与有限次的复合所构成的函数.注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数,其步骤是自外层向内层逐层分解,切忌漏层.4、常见函数的定义域的根本求法 求一元函数 y=f的定义域 D,即是求使函数有意义的自变量 x 的变化 X 围.常见解析式的定义域求法有：1、分母不能为零；2、偶次根号下非负；3、对数式中的真数恒为正；4、分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集.5、对应规如此 f 从以上分析,对应规如此 f往往表现为各种运算,f 求 f,只须用 a 取代 x,代入对应规如此运算即成.但应注意分段函数不同区间有不同的对应规如此.三、函数的奇、偶性 判

6、断函数 y=f的奇、偶性常见有以下方法：1、定义法：即在对称区间上假如满足 f=f,如此 y=f为偶函数,假如满足 f=-f,如此 y=f为奇函数,否如此 y=f为非奇非偶函数.2、符合法：记偶为,记奇为,如此有：,(x)u y u)f(u y (x)fyuxux则：yy.,即同号相乘除为,异号 相乘除为.记住这些常见函数的奇、偶性,用符合法可以判断很多函数的奇、偶性.3、图象法：奇函数关于原点对称 偶函数关于 y 轴对称 图象法即利用奇函数关于原点对称、偶函数关于 y 轴对称来判断函数的奇、偶性.四、经济中常用的函数 1、需求函数：qd=q,qd需求量,p价格 2、供应函数：qs=q,qs需

7、求量,p价格 3、总本钱函数：C=C1+C2,q产量 C1为固定本钱,C2为变动本钱 4、收入函数：R=q.p,q销售量,p价格 6、利润函数：Lq=R C 三、重点、难点：重点：1、函数 y=f的两要素；2、函数的奇偶性；3、根本初等函数；4、经济中常用的函数.难点：经济中常用的函数.四、实例分析：例1、求如下函数定义域 1、分析：应同时要求分母0,偶次根号下非负,于是 解：要使函数有意义,必须使：为奇函数。为偶函数；注意：如 tan,sin,1,cos,332xyxyxyxyxyxyxyxyaxyyxoyxoqqCqC)(）（平均成本函数：qqRqR)(）（平均收入函数：qqLqL)(）（

8、平均利润函数：)2lg(1)()2(141)()1(2xxxfxxxf、,22,1 1214010422Dxxxxxx定义域.2、分析：要求分母0 且对数真数0、偶次根号下非负,于是 解：要使函数有意义,必须使：对照练习 1、求如下函数定义域：例 2、求分段函数的定义域：分析：分段函数的定义域应是各段定义域的并集 对照练习 2、求分段函数的定义域：例3、函数 f的定义域是1,2,求函数 f的定义域.分析：f的定义域为1,2,有 f的定义域要求 1x+12,即 0 x1,即 f的定义域为 D=0,1 对照练习 3、函数 f的定义域是2,3,求函数 f的定义域.例4、设 gt=t36,求 gt2,

9、gt2 分析：函数关系为 g=36,1用 t2代 t,即求出 gt2；2求gt2即是求该函数的平方.解：gt236t66 gt2=t362 对照练习 4、设 f=x2+5,求 f,ff 求 f,f,f 分析：求分段函数的函数值应将自白变量的取值代入所在区间对应的表达式中.解：f=02+1=1 f 无意义 2 不在 f的定义域内 f=942=7 对照练习 5、在上例中,求 f,f 例 6、如下函数对中,表示一样函数 分析：两个函数一样是当且仅当其定义域和对应规如此分别一样.解：选择 A,因为 f与 g的定义域均为-,+,对应规如此也一样 sin2x+cos2x=1 ,1 12112211lg)2

10、lg(210)2lg(0201Dxxxxxxxxxxxx定义域53 ,)1ln(3 ,9)(2xxxxxf42 ,9 21-,1 )(522xxxxxf、设例111ln2ln)()()sin(cos)(22222xyxxuDxyxyCttxxBxxgxxxxfA，、，、，（、，、.对照练习 6、如下函数对中,表示一样函数 例 7、找出如下函数的奇函数 对照练习 7、找出如下函数的偶函数 例 8、某厂生产一种元器件,设计能力为日产 100 件,每日的固定本钱为 150 元,每件的平均可变本钱为 10 元.1、试求该厂此元器件的日总本钱函数与平均本钱函数；2、假如每件售价 14 元,试写出总收入函

11、数；3、试写出利润函数.解：设总本钱函数为 Cq,平均本钱函数为 A,总收入函数为 R,利润函数为 Lq 其中：q 为生产量销售量,如此有：1、Cq=固定本钱+变动本钱 =150+10q,0q100 A=Cqq=150q 10 2、R=14q 3、Lq=RCq =14q =4q150 对照练习 8、某产品固定本钱为 2000 元,每生产一件产品,本钱增加 50 元,如此生产 q 件产品的平均本钱为何函数？五、问题解答：对照练习答案 第2章 一元函数微分学 第一局部 极限与连续 一、试着回答如下问题：问题 1：什么是函数的极限过程？函数的极限过程是用什么指标来衡量的？为什么说函数极限存在与否取决

12、于函数极限过程？问题 2：设有函数 yf3x2,当 x2 时,f3x24,而 f4,即 f在 x2的函数值 f4,这两件事有什么不同？问题 3：怎样直观描述函数的极限？1)a0(a sin)1010(21 cos22且、xxxxayDxxyCyBxxyA xCBABAffxxxffxxf200050 876)5(,2)1(53010 ,51)/1(42 1 30 232 33 211242、均为偶函数、是相同函数、无意义、，、，、，）、（，）、（.极限过程：即 x 无限接近 极限值：即在所给极限过程中,f无限接近 A 某函数 极限符号：即无限接近 5)2(4)(lim4)(,2,4 ,52 ,

13、23)(2gxgxgxxxxxgx，但却有即仍然有时趋于当再看问题 4：能否直接称xxfy21)(是无穷大量或无穷小量呢？答：问题 1：因为微积分研究的是变量间的变化关系,也就是函数关系,而在极限中往往用自变量 x 的变化去刻画变化过程,去研究相应的函数 f的变化趋势,所以函数的极限过程是指：函数的自变量 x 的变化过程.而自变量 x 的变化过程有各种情形：xx0,xx0,xx0,x,x,x 等等.显然,函数 yf的变化趋势,或存在极限或不存在极限都与极限过程有关,也就是与自变量 x 的各种变化过程有关,同一函数 yf对不同极限过程就有不同的变化趋势.例如：yf 1x,当 x1 时,f1；当

14、x12 时,f2 等等.问题 2：当 x2 时,yf3x2 的值如下表：x 19 199 1999 19999 20001 2001 201 21 3x2 37 397 3997 39997 40003 4003 403 43 由此可以看出：当 x2 时,包括小于 2 和大于 2 的值,yf3x24.在讨论 x 趋于 2 时,yf3x2 的极限过程中,并未提与 yf4 这一事实,其原因在于 yf描写的是 x 2 时 yf的值,而我们所研究的却是当 x 趋于 2 时 yf的变化,这是两码事.即在本例中,两种不同的概念得到是一样的值,注意这是不应混淆的两件不同的事.这明确这两种不同的概念有时产生不

15、同的结果.问题 3：由上述两个问题我们有：定义如果当 x 取值趋近于时,f趋近于一个单一的值 A 或在 A 值上保持不变,如此称 A 是当 x 趋近于时函数 yf的极限,这时可写成 等。，其中),()(00limxxAxfx 问题 4：显然不然.比如：假如 x时,如此021)(xxf即是无穷小量；又假如 x0时,如此xxf21)(即是无穷大量.可见,极限过程不一样,那么函数极限一般也不同,因此,所谓的无穷大量或无穷小量是相对某一极限过程而言.二、主要内容归纳：一、函数极限 1、描述性定义：注意：、以上是一个符号系统,构成极限定义,缺一不可；、弄懂定义的关键是联系函数图像,看懂在同一变化过程中自

16、变量与因变量两个无限变化趋势；、极限过程 x是指：xx0,xx0,xx0,x,x,x 中的一种.2、极限存在的充要条件.3、穷小量与无穷大量 以零我极限的变量称为无穷小量；绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量.无穷小量与无穷大量的关系是：)(10lim0)(0)(0limxfxxxfxfxx 即关系互倒 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.4、极限的四如此运算 对某一极限过程 x,假如 limuA,limvB,如此有：、lim limulimvAB；、lim limulimvAB 假如 vc,有 lim climucA；、）。，（0limlimlimBBAvuvu 推论：、limun

17、n An,n 为自然数、limnnnAuulim,n 为自然数、limCC,C 是常数 5、两个重要极限、”型）属“00(1sinlim0、”型）属“1()11(lime 或e10)1(lim 注：这里教材中相应公式原来 x 的位置,统统被取代,它可以是任一有意义的函数,这时的公式实际比原公式应用更广.并给学生提供了想象空间,不具体给出函数形式.二、连续与连续 1、点连续 )()(0lim0 xfxfxx 在点连续的这一定义中,一下三个条件要同时满足：、f在点 x0的某一邻域有定义；、f在点 x0有极限；、f在点 x0的极限等于函数值.2、连续点函数的不连续点称为连续点；3、初等函数在其定义区

18、间内是连续的 4、利用连续性求极限：三、重点、难点：.重点：1、函数极限特别是00、型 3、两个重要极限的计算；4、无穷大、无穷小的概念、性质和关系.难点：点连续与连续点的判断.四、实例分析：理解并掌握如下极限的计算方法：极限的四如此运算法如此；两个重要极限e)1(lime,)11(lim,1sinlim100 xxxxxxxxx；函数的连续性.具体计算时要注意上述法如此或方法成立的条件,否如此会在运算出现错误.例 1 求如下极限 115510)13()21()13(limxxxx 2xxx2sin11lim0 31245lim224xxxxx 4xxxx)11(lim 解1当x时分式的分子、

19、分母的极限都不存在,不能用极限的除法法如此,由教材中公式2.2.4可直接得到结果,即 当0 x时分式的分子、分母的极限都为 0,且分子中含有无理根式.遇到此情形需先将根式有理化,即有 =412121111lim2sin2lim21)11(2sin2lim21000 xxxxxxxxx 3 当4x时分式的分子、分母的极限都为 0,且分式的分子、分母均为x的二次多项式,遇到此情形需先分解因式,消去极限为零的因式再用除法法如此.即 4先进展恒等变形,在利用第 2 个重要极限.即 对照练习 1、求如下极限 11082)13()12()1(limxxxx 2xxxx123lim1 3xxxxxxx62l

20、im23232 41)21(limxxx 五、问题解答：对照练习 1、答案、91)32(8、47、53、e2 第二局部 导数与导数应用 一、试着回答如下问题：问题 1：导数与导函数的关系与区别？.问题 2：可导、连续、极限存在三者之间的关系如何？问题 3：函数的极值点、驻点和不可导点的关系如何？问题 4：导数有哪些方面的应用？学习中应注意些什么？答：问题 1：、导数与导函数是两个不同的概念,导数是函数在某一点附近的性质,实质就是函数对自变量在某点的变化速度；而导函数反映函数的一般规律.、导数定义的是一个常量,导函数仍是一个函数,导数是导函数 f在某点 x0处的导函数值 f.因此可先求出函数的导

21、数,再求某点的导数值.问题 2：y=f在 x0处有：可导连续)(lim0 xfxx存在 f在点 x0必有定义 但反方向的箭头结论不一定成立.问题 3：驻点与一阶导数不存在的点 x0即不可导点但是连续点是极值点的可疑点,但它们不一定是极值点；可导函数的极值点必是驻点.问题 4：导数应用非常广泛,而需要我们掌握的有：、利用一阶导数的几何意义求曲线在某点的切线方程；、判别函数的单调性、求函数的极值；、边际分析、求解经济应用问题的最值：本钱最低、利润最大等等；、求需求弹性.求解经济应用题的极值,关键是利用所掌握的有关知识列出目标函数,注意函数必须是一元的,假如有两个自变量,必须将其中之一转化.求解时所

22、用方法仍是求函数极值的方法.二、主要内容归纳：一、导数的概念:1、导数的定义:、点导数：、导函数：两者的关系：)()(00 xfxfxx,即点导数)(0 xf 是导函数)(xf 在点0 x的函数值.点导数)(0 xf,导函数)(xf 均简称为导数.、左、右导数：左导数：xxfxxfxxyxxf)0()0(lim0lim0)0(右导数：xxfxxfxxyxxf)0()0(lim0lim0)0(关系：xyxxyxxxfylim0lim00)(与可导在点存在且相等.导数)(xf 是函数)(xf在点 x 处的变化率.2、导的几何意义：)(0 xf 是曲线),)(00yxxfy在点（处切线的斜率.曲线),)(00yxxfy过点（的切线方程为：3、可导与连续的关系：假如函数xxfy在点)(处可导,如此它在点x处一定连续,反之未必成立.二、求导公式与求导法如此 1、导数根本公式 略.看教材第 108 与 109 页.2、导数四如此运算法如此：略.看教材第 108 与 109 页.3、复合函数求导法：设xuxuyyxuufy可导，则)(),(4、隐函数求导法：方法：对隐函数方程 F=0,两边对自变量 x 求导 求导过程中视 y 为中间变量 y=y,从等式中解出 y.5、高阶导数 函数的二阶导数：)(yy,即是一阶导数的导数.作业设计形成性考核册作业 1