2023届云南省昆明市八校联考九年级数学第一学期期末考试试题含解析.pdf

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1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1若关于 x 的函数 y=（3-a）x2-x 是二次函数，则 a的取值范围()Aa0 Ba3 Ca3 Da3 2在一次酒会上，每两人都只碰

2、一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（）A9 人 B10 人 C11 人 D12 人 3O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与O的位置关系是（）A点A在圆内 B点A在圆上 C点A在圆外 D不能确定 4如图，AB为O的直径，点C为O上一点，4,4 3AOBC，则劣弧BC的长度为（）A83 B2 C43 D23 5如图，在平行四边形ABCD中，:3:2AB AD，60ADB，那么sin A的值等于（）A366 B32 C32 26 D33 26 6抛物线 y（x2）2+3 的顶点坐标是（）A(2，3)B(2，3)C(2，3)D(2，3)7关于二次函数 yx2+4x5

3、，下列说法正确的是（）A图象与 y轴的交点坐标为（0，5）B图象的对称轴在 y轴的右侧 C当 x2 时，y的值随 x值的增大而减小 D图象与 x轴的两个交点之间的距离为5 8如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断：当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概率是 0.47；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.1 其中合理的是()A B C D 9已知在Rt A

4、BC中，90C，1sin3A，那么下列说法中正确的是（）A1cos3B B1cot3A C2 2tan3A D2 2cot3B 10O 的半径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，则直线 l 与O 的位置关系是 A相切 B相交 C相离 D不能确定 11sin 30的值为（）A22 B12 C1 D32 12如图，点 B、D、C 是O上的点，BDC=130，则BOC 是（）A100 B110 C120 D130 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13在平面直角坐标系中，ABC和A B C是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点3,1,6,2BB若点2,3A,则A的坐标为_ 14如图，

5、以等边ABC 的一边 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，若 AB=4，则阴影部分的面积是_.15连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为：16如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1:3（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），坝高 BC=3m，则坡面 AB 的长度是 17如图，正三角形 AFG与正五边形 ABCDE内接于O，若O的半径为 3，则BF的长为_ 18已知线段 AB=4，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，那么 AP 的长为_ 三、解答题（共 78 分）19（8 分）问题背景：如图 1 设 P 是等边ABC

6、内一点，PA6，PB8，PC10，求APB 的度数小君研究这个问题的思路是：将ACP绕点 A 逆时针旋转 60得到ABP，易证：APP是等边三角形，PBP是直角三角形，所以APBAPP+BPP150 简单应用：（1）如图 2，在等腰直角ABC 中，ACB90P 为ABC 内一点，且 PA5，PB3，PC22，则BPC （2）如图 3，在等边ABC 中，P 为ABC 内一点，且 PA5，PB12，APB150，则 PC 拓展廷伸：（3）如图 4，ABCADC90，ABBC求证：2BDAD+DC（4）若图 4 中的等腰直角ABC 与 RtADC 在同侧如图 5，若 AD2，DC4，请直接写出 BD

7、 的长 20（8 分）小李要外出参加“建国 70 周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图，分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，,B F在AC上，C在DE上，支杆30:1:3，DFcmCE CD4530，DCFCDF，请根据以上信息，解决下列向题 1求AC的长度（结果保留根号）；2求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）21（8 分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AODBOCSS.（1）求证：DOCOOBOA；（2）设OAB的面积为S，CDkAB，求证：S四边形ABCD21kS.22（10

8、 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线243yaxaxa(1)求抛物线的对称轴；(2)当0a 时，设抛物线与x轴交于,A B两点(点A在点B左侧)，顶点为C，若ABC为等边三角形，求a的值；(3)过(0,)Tt(其中12t )且垂直y轴的直线l与抛物线交于,M N两点若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于 1，结合函数图象，直接写出a的取值范围 23（10 分）如图，在等腰直角三角形 MNC中，CNMN2，将MNC绕点 C顺时针旋转 60，得到ABC，连接 AM，BM，BM交 AC于点 O.(1)NCO 的度数为_；(2)求证：CAM为等边三角形；(3)连接 AN，求线段 AN的长

9、 24（10 分）如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y=（k 为常数，且 k0）的图象交于 A（1，a），B（3，b）两点（1）求反比例函数的表达式（2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标（3）求PAB 的面积 25（12 分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图 1，图 2，图 3 中，,AF BE是ABC的中线，AFBE，垂足为点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形.设,BCa ACb ABc.（1）如图 1，当45,2 2ABEc时，则a _，b _；（2）如图 2，当30,4ABEc时，则a _，b _；归纳

10、证明（3）请观察（1）（2）中的计算结果，猜想222,a b c三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的关系式；拓展应用（4）如图 4，在ABCD中，,E F G分别是,AD BC CD的中点，且BEEG.若2 5AD，3ABAF，求AF的长.26如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像（1）试用含 a、b 的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）（2）若 a=3，b=2，请求出绿化部分的面积 参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1、B【分析】根据二次函数的定义，

11、二次项系数不等于 0 列式求解即可【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于 0，3-a0，则 a3，故选 B【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键 2、C【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为 x 人，依题可得：12x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为 C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.3、A【解析】O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，dr，点A与O的位置

12、关系是：点A在圆内，故答案为：A 4、A【分析】根据“直径所对圆周角为 90”可知ABC为直角三角形，在Rt ABC可求出BAC 的正弦值，从而得到BAC 的度数，再根据圆周角定理可求得BC所对圆心角的度数，最后利用弧长公式即可求解【详解】AB 为直径，AO=4，ACB=90，AB=8，在Rt ABC中，AB=8，BC=4 3，sinBAC=4 3382BCAB，sin60=32，BAC=60，BC所对圆心角的度数为 120，BC的长度=120481803 故选：A【点睛】本题考查弧长的计算，明确圆周角定理，锐角三角函数及弧长公式是解题关键，注意弧长公式中的角度指的是圆心角而不是圆周角 5、D

13、【分析】由题意首先过点 A 作 AFDB 于 F，过点 D 作 DEAB 于 E，设 DF=x，然后利用勾股定理与含 30角的直角三角形的性质，表示出个线段的长，再由三角形的面积，求得 x 的值，继而求得答案【详解】解：过点 A作 AFDB 于 F，过点 D 作 DEAB 于 E 设 DF=x，ADB=60，AFD=90，DAF=30，则 AD=2x，AF=3x，又AB：AD=3：2，AB=3x，226BFABAFx，3613x DExx（），解得：3 233DEx，33 26DEsin AAD.故选：D.【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角函数以及勾股定理解题时注意掌握辅助线的作法以及注意

14、数形结合思想与方程思想的应用 6、A【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y（x2）2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的 坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）故选：A【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式 y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线 x=h，难度不大.7、C【分析】通过计算自变量为 0 的函数值可对 A 进行判断；利用对称轴方程可对 B 进行判断；根据二次函数的性质对 C进行判断；通过解 x2+4x50 得抛物线与 x 轴的交点坐标，则可对 D 进行判断【详解】A、当 x0 时，yx2+4x55，所以抛物线与 y 轴的交点坐标

15、为（0，5），所以 A 选项错误；B、抛物线的对称轴为直线 x422，所以抛物线的对称轴在 y 轴的左侧，所以 B 选项错误；C、抛物线开口向上，当 x2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，所以 C选项正确；D、当 y0 时，x2+4x50，解得 x15，x21，抛物线与 x 轴的交点坐标为（5，0），（1，0），两交点间的距离为 1+56，所以 D 选项错误 故选：C【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 8、B【分析】随着试验次数的增加，“正面向

16、上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，据此进行判断即可【详解】解：当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，“正面向上”的概率不一定是 0.47，故错误；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，故正确；若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率不一定是 0.1，故错误 故选：B【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键 9、A【分析】利用同角三角函数的关系解答【详解】在 RtABC 中，C=

17、90，1sin3A，则 cosA=212 21193sin A A、cosB=sinA=13，故本选项符合题意 B、cotA=2 22 2313cosAsinA 故本选项不符合题意 C、tanA=12342 23sinAcosA 故本选项不符合题意 D、cotB=tanA=24 故本选项不符合题意 故选：A【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比.10、B【分析】根据圆 O的半径和圆心 O 到直线 L 的距离的大小，相交：dr；相切：d=r；相离：dr；即可选

18、出答案【详解】O的半径为 8，圆心 O 到直线 L 的距离为 4，84，即：dr，直线 L 与O的位置关系是相交 故选 B 11、B【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行选择.【详解】sin 30=12，故选：B.【点睛】此题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.12、A【分析】首先在优弧BC上取点 E，连接 BE，CE，由点 B、D、C 是O上的点，BDC=130，即可求得E 的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案【详解】解：在优弧BC上取点 E，连接 BE，CE，如图所示：BDC=130，E=180-BDC=50，BOC=2E=100 故选 A【点睛】此题考查了圆周角

19、定理以及圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13、4,6【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.【详解】由题意，得 ABC和A B C是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为 2 则A的坐标为4,6，故答案为：4,6.【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.14、3【分析】作辅助线证明AODDOEEOBCDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式 S=23a4即可解题.【详解】解：连接 DE,OD,OE,在圆中,OA

20、=OD=OE=OB,ABC 是等边三角形,A=60,AODDOEEOBCDE,且都为等边三角形,AB=4,即 OA=OD=OE=OB=2,易证阴影部分面积=SCDE=1232=3.【点睛】本题考查了圆的性质,等边三角形的判定和面积公式,属于简单题,作辅助线证明等边三角形是解题关键.15、1：1【分析】证出 DE、EF、DF 是 ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出12DEEFDFBCABAC，证出 DEFCBA，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果【详解】解：如图所示：D、E、F 分别 AB、AC、BC 的中点，DE、EF、DF 是 ABC 的中位线，DE=12BC，EF=12

21、AB，DF=12AC，12DEEFDFBCABAC DEFCBA，DEF 的面积：CBA的面积=（12）2=14 故答案为 1：1 考点：三角形中位线定理 16、6 米.【解析】试题分析：在 Rt ABC 中，已知坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC 的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB 的长 试题解析：在 Rt ABC 中，BC=3 米，tanA=1：3；AC=BCtanA=33米，AB=2233 3()6米 考点：解直角三角形的应用 17、45【分析】连接 OB，OF，根据正五边形和正三角形的性质求出BAF=24，再由圆周角定理得BOF=48，最后由弧长公式求出BF的长【详解】解：连接O

22、B，OF，如图，根据正五边形、正三角形和圆是轴对称图形可知BAF=EAG，AFG 是等边三角形，FAG=60，五边形 ABCDE 是正五边形，BAE=(52)1801085，BAF=EAG=12(BAE-FAG)=12(108-60)=24，BOF=2BAF=224=48，O的半径为 3，BF的弧长为：4834=1805 故答案为：45【点睛】本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键 18、（625）cm【解析】根据黄金分割点的定义和 APBP 得出 PB=512AB，代入数据即可得出 BP 的长度【详解】解：由于 P 为线段 AB=4 的黄金分割点，且 APBP，则

23、 BP=5124=（2 5-2）cm AP=4-BP=62 5 故答案为：(62 5)cm【点评】本题考查了黄金分割应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352，较长的线段=原线段的 512 三、解答题（共 78 分）19、（1）135；（2）13；（3）见解析；（4）2【分析】简单应用：（1）先利用旋转得出 BPAP5，PCP90，CPCP22，再根据勾股定理得出 PP2CP4，最后用勾股定理的逆定理得出BPP是以 BP为斜边的直角三角形，即可得出结论；（2）同（1）的方法得出APP60，进而得出BPPAPBAPP90，最后用勾股定理即可得出结论；拓展廷伸：（3）先利用旋转得出 BDB

24、D，CDAD，BCDBAD，再判断出点 D在 DC 的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；（4）先利用旋转得出 BDBD，CDAD，DBD90，BCDBAD，再判断出点 D在 AD 的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论【详解】解：简单应用：（1）如图 2，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，ACBC，将 ACP 绕点 C 逆时针旋转 90得到CBP，连接 PP，BPAP5，PCP90，CPCP22，CPPCPP45，根据勾股定理得，PP2CP4，BP5，BP3，PP2+BP2BP，BPP是以 BP为斜边的直角三角形，BPP90，BPCBPP+CPP135，故答案为：135；（2）如图 3

25、，ABC 是等边三角形，BAC60，ACAB，将ACP 绕点 A 逆时针旋转 60得到ABP，连接 PP，BPCP，APAP5，PAP60，APP是等边三角形，PPAP5，APP60，APB150，BPPAPBAPP90，根据勾股定理得，BP22BPPP13，CP13，故答案为：13；拓展廷伸：（3）如图 4，在ABC 中，ABC90，ABBC，将ABD 绕点 B 顺时针旋转 90得到BCD，BDBD，CDAD，BCDBAD，ABCADC90，BAD+BCD180，BCD+BCD180，点 D在 DC 的延长线上，DDCD+CDCD+AD，在 RtDBD中，DD2BD，2BDCD+AD；（4）

26、如图 5，在ABC 中，ABC90，ABBC，连接 BD，将CBD 绕点 B 顺时针旋转 90得到ABD，BDBD，CDAD，DBD90，BCDBAD，AB 与 CD 的交点记作 G，ADCABC90，DAB+AGDBCD+BGC180，AGDBGC，BADBCD，BADBAD，点 D在 AD 的延长线上，DDADADCDAD2，在 RtBDD中，BD22DD2【点睛】本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键.20、（1）4040 3ACcm；（2）20 220 6cm.【解析】1

27、过F作FHDE于H,90FHCFHD,根据3030FDCDF，求出131515 322FHDFDHDF，再求出 CD，根据:1:3CE CD，求出 DE,即可求出 AC;2过A作AGED交ED的延长线于G，根据45ACG，求出220 220 62AGAC即可.【详解】解：1过F作FHDE于H,90FHCFHD，3030FDCDF，131515 322FHDFDHDF，45FCH，15CHFH，15 15 3CDCHDH:1:3CE CD，42020 33DECD，ABBCDE，4040 3ACcm（）；2过A作AGED交ED的延长线于G，45ACG，220 220 62AGAC，答：拉杆端点A

28、到水平滑杆ED的距离为20 220 6 cm 【点睛】本题考查的是三角形的实际应用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由 SAOD=SBOC易得 SADB=SACB，根据三角形面积公式得到点 D和点 C 到 AB 的距离相等，则 CDAB，于是可判断DOCBOA，然后利用相似比即可得到结论；（2）利用相似三角形的性质可得结论【详解】（1）SAOD=SBOC，SAOD+SAOB=SBOC+SAOB，即 SADB=SACB，CDAB，DOCBOA，DOCOOBOA；（2）DOCBOA CDDOCOABBOAO k，CODAOBSCDSAB2=k

29、2，DO=kOB，CO=kAO，SCOD=k2S，SAOD=kSOAB=kS，SCOB=kSOAB=kS，S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，证明DOCBOA 是解题的关键 22、(1)x=2；(2)3；(3)43a 或83a 【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 A,B 的坐标，由（1）可得出顶点 C 的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出 a 值；（3）分0a 及0a 两种情况考虑：当0a 时，利用二次函数

30、图象上点的坐标特征可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围；当0a 时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围综上，此题得解【详解】(1)22432yaxaxaa xa，抛物线的对称轴为直线2x (2)依照题意，画出图形，如图 1 所示 当0y 时，2430axaxa，即130a xx，解得：11x，23x 由(1)可知，顶点C的坐标为2,a 0a，0a ABC为等边三角形，点C的坐标为2,3，3a ，3a (3)分两种情况考虑，如图 2 所示：当0a 时，3313122a ，解得：43a；当0a 时，3313222a

31、 ，解得：83a 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式.23、（1）15；（2）证明见解析；（3）31 【解析】分析：（1）由旋转可得ACM=60，再根据等腰直角三角形 MNC中，MCN=45，运用角的和差关系进行计算即可得到NCO的度数；（2）根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；（3）根据MNC是等腰直角三角形，ACM是等边三角形，判定ACNAMN，再根据 RtACD中，AD=3CD=3，等腰 RtMNC中，DN=12CM=1，即可得到 AN=ADND=31 详解：（1）由旋转可得ACM=60 又等腰直角

32、三角形 MNC中，MCN=45，NCO=6045=15；故答案为 15；（2）ACM=60，CM=CA，CAM为等边三角形；（3）连接 AN并延长，交 CM于 D MNC是等腰直角三角形，ACM是等边三角形，NC=NM=2，CM=2，AC=AM=2在ACN和AMN中，NCNMACAMANAN，ACNAMN（SSS），CAN=MAN，ADCM，CD=12CM=1，RtACD中，AD=3CD=3，等腰 RtMNC中，DN=12CM=1，AN=ADND=31 点睛：本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形解决问题

33、的关键是作辅助线构造直角三角形 24、（1）反比例函数的表达式 y=，（2）点 P 坐标（，0），(3)SPAB=1.1 【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由 SPAB=SABDSPBD即可求出PAB的面积.解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=x+4，得a=1+4，解得a=3，A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=kx，得k=3，反比例函数的

34、表达式y=3x，（2）把B（3，b）代入y=3x得，b=1 点B坐标（3，1）；作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，D（3，1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，331mnmn，解得m=2，n=1，直线AD的解析式为y=2x+1，令y=0，得x=52，点P坐标（52，0），(3)SPAB=SABDSPBD=122212212=212=1.1 点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，

35、为接下来求面积做好铺垫.25、（1）2 5 ，2 5；（2）2 13，2 7；（3）2225abc，证明见解析；（4）4AF 【分析】（1）根据三角形的中位线得出；12EFAB，进而得到12PEPFEFPBPAAB计算即可得出答案；（2）连接 EF，中位线的性质以及30,4ABEc求出 AP、BP、EP 和 FP 的长度再根据勾股定理求出 AE 和 BF的长度即可得出答案；（3）连接 EF，根据中位线的性质得出12PEPFPBPA，根据勾股定理求出 AE 与 AP 和 EP 的关系以及 BF 与 BP 和FP 的关系，即可得出答案；（4）取AB的中点H，连接,FH AC，结合题目求出四边形AB

36、FE是平行四边形得出 APFP 即可得到ABF是“中垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案(连接,EC DF，交于点H，证明HAEHBC求得,BE CA是HBC的中线，进而得出HBC是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案).【详解】解：（1）,AF BE是ABC的中线，EF是ABC的中位线，/EFAB，且112 2222EFAB，易得12PEPFEFPBPAAB.45,2 2ABEc，2APBP，1EPFP.由勾股定理，得5AEBF，2 5ab.（2）如图 2，连结EF.,AF BE是ABC的中线，EF是ABC的中位线，/EFAB，且114222EFAB，易得12

37、PEPFEFPBPAAB.30,4ABEc，2,2 3APBP，1,3FPEP.由勾股定理，得7,13AEBF，2 13,2 7ab.（3）222,a b c之间的关系是2225abc.证明如下：如图 3，连结EF.,AF BE是ABC的中线，EF是ABC的中位线./EFAB，且1122EFABc，易得12PEPFPBPA.在Rt APE和Rt BPF中，222AEAPEP，222BFBPFP，22222222221122AEBFAPEPBPFPAPBPBPAP.222254AEBFAPBP.222115224bac，即2225abc.（4）解法 1：设,AF BE的交点为P.如图 4，取AB

38、的中点H，连接,FH AC.,E G分别是,AD CD的中点，F是BC的中点，/EGACFH.又BEEG，FHBE.四边形ABCD是平行四边形，/,ADBC ADBC，,/AEBF AEBF，四边形ABFE是平行四边形，APFP，ABF是“中垂三角形”，2225ABAFBF，即22235(5)AF，解得4AF.（另：连接,EC DF，交于点H，易得EDC是“中垂三角形”，解法类似于解法 1，如图 5）解法 2：如图 6，连接,AC CE，延长CE交BA的延长线于点H.在ACD中，,E G分别是,AD CD的中点，/EGAC.BEEG，ACBE.又四边形ABCD为平行四边形，/,2AEBC AD

39、BC BCAE，易得HAEHBC，12AEHAHEBCHBHC，,HAAB HECE，,BE CA是HBC的中线，HBC是“中垂三角形”，2225HBHCBC.3,5ABAE，6,2 5HBBC.22265(2 5)HC，解得8HC.AF是HBC的中位线，142AFHC.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，注意类比思想在本题中的应用，第四问方法一得出2225ABAFBF是解决本题的关键.26、（1）5a2+3ab；（2）63.【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；（2）将 a 与 b 的值代入计算即可求出值【详解】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab；（2）当 a=3，b=2 时，原式=25 33 3 24518=63.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键