正方形综合试题选.pdf

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1、 正方形综合试题选 Revised by Jack on December 14,2020 正 方 形 综 合 试 题 选 1如图，直线 MN 经过正方形 ABCD 的一个顶点 A，过点 B 作 BEMN 于点 E，过点 C 作CFMN 于点 F，当直线 MN 经过点 D（如图 1）时，易证：AF+CF=2BE 当直线 MN 不经过点 D 时，线段 AF、CF、BE 又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明 2已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，

2、F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF；当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明 3（本溪二模）已知直线 l经过正方形ABCD 的顶点 A，过点 C 作 CE直线 l 于点 E，连接 BE（1）如图 1，当直线 lBC 时，CE+AE=BE；（2）如图 2，当直线 l 绕着点 A，逆时针旋转到如图位置时，请判断线段 BE、AE、CE 三者数量关系，并证明；（3）如图 3，当直线 l 绕着点 A，逆时针旋转

3、到如图位置时，请补全图形并判断线段BE、AE、CE 三者数量关系，不必证明 4（天桥区一模）如图 1，正方形 OABC 与正方形 ODEF 放置在直线 l 上，连结 AD、CF，此时 AD=CFADCF 成立（1）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E旋转至直线 l 上，如图 3，求证：ADCF（3）在（2）小题的条件下，AD 与 OC 的交点为 G，当 AO=3，OD=2时，求线段 CF 的长 5如图，四边形ABCD是正方形，点G 是直线 BC 上的

4、任意一点，DEAG 于点 E，BFDE，交 AG 于 F（1）当点 G 在线段 BC 上时，如图 1，求证：DE-BF=EF；（2）当点 G 在线段 CB 的延长线上时，如图 2，判断线段 DE、BF、EF 之间的数量关系是；（3）在（2）的条件下，连接 AC，过 F 作 FPGC，交 AC 于点 P，连接 DP，若ADE=30，GB=334，求 DP 的长 6（黑龙江）正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点O 作 OEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F（1）如图 1，当 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证：AF+BF=2

5、OE（不需证明）（2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 AF、BF、OE 之间又有怎样的关系请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 7（盐城）如图所示，已知A、B 为直线l 上两点，点 C 为直线l 上方一动点，连接AC、BC，分别以 AC、BC 为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1与 E 重合），试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1、EE1、AB

6、 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DD1、EE1、AB 之间的数量关系（不需要证明）8（黔南州）如图 1，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、DC 边上的点，且 AEEF，BE=2（1）求 EC：CF 的值；（2）延长 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 P（如图 2），试判断 AE 与 EP 的大小关系，并说明理由；（3）在图 2 的 AB 边上是否存在一点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 9（青海）如图（*），四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 B

7、C 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形全等，但ABE 和ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点 E 是边 BC 的中点，因此可以选取 AB 的中点 M，连接 EM 后尝试着去证AEMEFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图 1，取 AB 的中点 M，连接 EM AEF=90 FEC+AEB=90 又EAM+AEB=90 EAM=FEC 点 E，M 分别为正方形的边 B

8、C 和 AB 的中点 AM=EC 又可知BME 是等腰直角三角形 AME=135 又CF 是正方形外角的平分线 ECF=135 AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究 2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现 AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论（3）探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE=EF 是否成立呢若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由 10（锦州）已知：在ABC 中，

9、BAC=90，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D不与 B、C 重合）以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证：BDCFCF=BC-CD（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出 CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的两侧，其它条件不变：请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间的关系若连接正方形对角线 AE、DF，交点为 O，连接 OC，探究AOC 的形状，并说明理由（4）在（3）的条件下，AD 与

10、AB 满足什么条件时AOC 是等边三角形.11（黑龙江）在ABC 中，BAC=90，AB=AC，若点 D 在线段 BC 上，以 AD 为边长作正方形 ADEF，如图 1，易证：AFC=ACB+DAC；（1）若点 D 在 BC 延长线上，其他条件不变，写出AFC、ACB、DAC 的关系，并结合图 2 给出证明；（2）若点 D 在 CB 延长线上，其他条件不变，直接写出AFC、ACB、DAC 的关系式 12（东营）（1）如图 1，在正方形ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是

11、 AD 上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E 是 AB 上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形 ABCD 的面积 13（永州）探究问题：（1）方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足EAF=45，连接 EF，求证 DE+BF=EF 感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得：AB=AD，

12、BG=DE，1=2，ABG=D=90，ABG+ABF=90+90=180，因此，点 G，B，F 在同一条直线上 EAF=452+3=BAD-EAF=90-45=45 1=2，1+3=45 即GAF=又 AG=AE，AF=AF GAF =EF，故 DE+BF=EF（2）方法迁移：如图，将 RtABC 沿斜边翻折得到ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且EAF=21DAB试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想（3）问题拓展：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别为 DC，BC 上的点，满足EAF=21DAB，试猜想当B 与D 满足什么关系时，可使得

13、 DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）14（营口）已知正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC边所在直线上，且随着点 P 的运动而运动，PE=PD 总成立（1）如图（1），当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB有怎样的关系（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点 P 运动到 CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系（直

14、接写出结论不必证明）15（咸宁）（1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数（2）如图，在 RtABD 中，BAD=90，AB=AD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN=45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADH 位置，连接 NH，试判断 MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若 EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN 的长 16（阜新）如图，点 P 是正方形ABCD对角线 AC 上一动点，点 E 在射线BC上，且

15、PB=PE，连接 PD，O 为 AC 中点（1）如图 1，当点 P 在线段 AO 上时，试猜想 PE 与 PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图 2，当点 P 在线段 OC 上时，（1）中的猜想还成立吗请说明理由；（3）如图3，当点 P在 AC 的延长线上时，请你在图 3 中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由 17（赤峰）如图（图 1，图 2），四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在线段 BC上，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F，交 BC 的延长线于点

16、 N，FNBC（1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1），AE 与 EF 相等吗（2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2），设 BE=x，ECF 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式；当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值 18（天水）在正方形 ABCD 中，点 P是 CD 边上一动点，连接 PA，分别过点B、D 作 BEPA、DFPA，垂足分别为 E、F，如图（1）请探究 BE、DF、EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系若点 P 在 DC 的延长线上，如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系若点 P 在 CD 的延长线上呢，如图，请分别直接写出结论；（2）就

17、（1）中的三个结论选择一个加以证明 19（义乌市）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D不重合），以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接 BG，DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图 2，如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图 4

18、-6），且 AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立若成立，以图 5 为例简要说明理由；（3）在第（2）题图 5 中，连接 DG、BE，且 a=3，b=2，k=21，求 BE2+DG2的值 20（海南）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 CD 边上，射线 AF 交 BD 于点 E，交 BC的延长线于点 G（1）求证：ADECDE；（2）过点 C 作 CHCE，交 FG 于点 H，求证：FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使ECG 为等腰三角形若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由 21（大连）

19、如图，小明在研究正方形 ABCD 的有关问题时，得出：“在正方形 ABCD中，如果点 E 是 CD 的中点，点 F 是 BC 边上的一点，且FAE=EAD，那么 EFAE”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图、图、图），其它条件不变，发现仍然有“EFAE”结论 你同意小明的观点吗同意，请结合图加以证明；若不同意，请说明理由 22（大连）如图，操作：把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（CGBC），取线段 AE 的中点 M 探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请

20、你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明 注意：选取完成证明得 10 分；选取完成证明得 7 分；选取完成证明得 5分 DM 的延长线交 CE 于点 N，且 AD=NE；将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45（如图），其他条件不变；在的条件下，且 CF=2AD附加题：将正方形 CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段 MD、MF 的关系，并加以证明 23（东城区一模）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，C

21、D 上，EAF=45，连结 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE 绕着点 A 逆时针旋转 90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90点E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF=45若B，D 都不是直角，则当B 与D 满足 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图 4，在ABC 中，B

22、AC=90，AB=AC，点 D、E均在边 BC 上，且DAE=45，若 BD=1，EC=2，求 DE 的长 24（本溪一模）如图，四边形 ABCD、BEFG 均为正方形，（1）如图 1，连接 AG、CE，试判断 AG 和 CE 的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转角（0180），如图 2，连接 AG、CE相交于点 M，连接 MB，当角发生变化时，EMB 的度数是否发生变化若不变化，求出EMB 的度数；若发生变化，请说明理由（3）在（2）的条件下，过点 A 作 ANMB 交 MB 的延长线于点 N，请直接写出线段 CM与 BN 的数量关系：25.（密云县一模

23、）已知：正方形 ABCD 中，MAN=45，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N（1）如图 1，当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，有 BM+DN=MN当MAN 绕点 A 旋转到BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明（3）若 CN=6，BM=2，求正方形 ABCD 的边长 26（怀柔区一模）探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD

24、上的点，且EAF=45，试判断BE、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：（2）如图 2，若把（1）问中的条件变为“在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAF=21BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、F 运动到 BC、CD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明 27（莆田质检）在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，M 是AD 边的中点，P

25、是AB 边上的一个动点（不与 A、B 重合），PM 的延长线交射线 CD 于 Q 点，MNPQ 交射线 BC 于 N 点（1）若点 N 在 BC边上时，如图 1 求证：PN=QN；请问 PNPM是否为定值若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）当PBN 与NCQ 的面积相等时，求 AP的值 28（高淳区一模）在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，设锐角AOB=，将DOC 按逆时针方向旋转得到DOC（0旋转角90）连接 AC、BD，AC与 BD相交于点M（1）当四边形 ABCD 为矩形时，如图 1求证：AOCBOD（2）当四边形 ABCD 为平行四边形时，设 AC=

26、kBD，如图 2 猜想此时AOC与BOD有何关系，证明你的猜想；探究 AC与 BD的数量关系以及AMB 与的大小关系，并给予证明 29（宝安区二模）如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一条直线上，连接 DF，且 P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC（1）如图 1 中，PG 与 PC 的位置关系是 ，数量关系是 ；（2）如图 2 将条件“正方形 ABCD 和正方形 BEFG”改为“矩形 ABCD 和矩形 BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；（3）如图 3，若将条件“正方形 ABCD 和正方形 BEFG”改为“菱形 ABCD 和菱形BEFG”，点

27、A，B，E 在同一条直线上，连接 DF，P 是线段 DF 的中点，连接 PG、PC，且ABC=BEF=60，求 PG:PC 的值 30在矩形 ABCD 中，AD=4，M 是 AD 的中点，点 E 是线段 AB 上一动点，连接 EM 并延长交线段 CD 的延长线于点 F（1）如图 1，求证：ME=MF；（2）如图 2，点 G 是线段 BC 上一点，连接 GE、GF、GM，若EGF 是等腰直角三角形，EGF=90，求 AB 的长；（3）如图 3，点 G 是线段 BC 延长线上一点，连接 GE、GF、GM，若EGF 是等边三角形，则 AB=31如图，四边形 ABCD 和四边形 CGEF 都是正方形，

28、连接 AE，M 是 AE 的中点，连接 MD、MF探究线段 MD、MF 的关系，并加以说明 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，你可以从下列（1）、（2）中选取一个补充已知条件，完成你的证明 注意：选取（1）完成证明得 10 分；选取（2）完成证明得 7 分 如图 2，正方形 CGEF 的对角线 CE 与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上；如图 3，正方形 CGEF 的边 CG 与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上，CF=2AD 32如图 1，若四边形 ABCD、GFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE，AGCE（1）当正方形 GFED 绕 D 旋转

29、到如图 2 的位置时，AG=CE 是否成立若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形 GFED 绕 D 旋转到 B，D，G 在一条直线（如图 3）上时，连结 CE，设 CE分别交 AG、AD 于 P、H 求证：AGCE；如果，AD=25，DG=10，求 CE 的长 33【观察发现】如图 1，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，且点 E 在边 AB 上，连接 DE 和 BG，猜想线段 DE 与 BG 的数量关系，以及直线 DE 与直线 BG 的位置关系（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】如图 2，将图 1 中正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一定的角度，其

30、他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立请根据图 2 加以说明【拓展应用】如图 3，直线 l 上有两个动点 A、B，直线 l 外有一点 O，连接 OA，OB，OA，OB 长分别为22、4，以线段 AB 为边在 l 的另一侧作正方形 ABCD，连接 OD随着动点 A、B 的移动，线段 OD 的长也会发生变化，在变化过程中，线段 OD 的长是否存在最大值若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由(线段 OD 长的最大值为 8)34（济宁三模）如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时 BD=CF，BDCF 成立（1）当正

31、方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转（090）时，如图 2，BD=CF 成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G求证：BDCF；（3）在（2）小题的条件下，AC 与 BG 的交点为 M，当 AB=4，AD=2时，求线段 CM 的长 35.(德州)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过 E 点作EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG

32、问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）36.（黑河/东营）在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD的中点 G，连接 EG、CG，如图（1），易证 EG=CG 且 EGCG（1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转90，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系请直接写出你的猜想（2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转180，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有

33、怎样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明 37.(农垦牡丹江管理局)已知ACD=90，MN 是过点 A 的直线，AC=DC，DBMN 于点B，如图(1)易证 BD+AB=CB，过程如下：过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E ACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE 四边形 ACDB 内角和为 360，BDC+CAB=180 EAC+CAB=180，EAC=BDC 又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB 为等腰直角三角形，BE=CB 又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB=CB (1)当 MN 绕 A 旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(2)给予证明 (2)MN 在绕点 A 旋转过程中，当BCD=30，BD=时，则 CD=_，CB=_