人教版高中数学必修一教学案-函数及其应用.pdf

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1、 第 1 页 共 11 页 人教版高中数学必修一教学案 年 级：高一 上 课 次 数：学 员 姓 名：徐婷鑫 辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 函数应用全章复习与巩固 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 函数应用全章复习与巩固【知识网络】函数应用 函数与方程 实际问题的函数建模 利用二分法求方程的近似解 利用函数性质判定方程解的存在 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题 函数模型案例 第 2 页 共 11 页 函数应用全章复习与巩固 【要点梳理】要点一：函数、方程的有关问题 1一般地,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0）的根与二次函数

2、 y=ax2+bx+c(a0）的图像有如下关系：判别式=b2-4ac 0 0 0 二次函数y=ax2+bx+c 的图像 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0 的根 有两个不相等的实数根x1，x2 有 两 个 相 等 实 数 根x1=x2 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)没有交点 要点诠释：（1）方程的根与函数的零点：方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 （2）方程的根与函数的零点：方程 f(x)0 有实数根的个数函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点的个数函数yf(x)

3、的零点的个数 2函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数()yf x在一个区间ab，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 0f a f b，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点0 xab，使 00f x，这个0 x也就是方程()0f x 的根.要点诠释：满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个若函数在区间内单调，则只有一个；若 第 3 页 共 11 页 不单调，则个数不确定 若函数()f x在区间,a b上有()()0f af b，()f x在(,)a b内也可能有零点，例如2()f xx在1,1上，2()23f xxx在区间2,

4、4上就是这样的故()f x在,a b内有零点，不一定有()()0f af b 若函数()f x在区间,a b上的图象不是连续不断的曲线，()f x在,a b内也可能是有零点，例如函数1()1f xx在2,2上就是这样的（2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程()0f x，方程()0f x 无实根则函数无零点，方程()0f x 有实根则函数有零点（3）利用数形结合法 函数()()()F xf xg x的零点就是方程()()f xg x的实数根，也就是函数()yf x的图象与()yg x的图象交点的横坐标 3.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数 yf x定义在区间 D 上，求它在 D

5、 上的一个零点 x0的近似值 x，使它满足给定的精确度.第一步：在 D 内取一个闭区间00,a bD，使 0f a与 0f b异号，即 000f af b，零点位于区间00,a b中.第二步：取区间00,a b的中点，则此中点对应的坐标为 0000001122xabaab.计算 0f x和 0f a，并判断：如果 00f x，则0 x就是 f x的零点，计算终止；如果 000f af x，则零点位于区间00,a x中，令1010,aa bx；如果 000f af x，则零点位于区间00,x b中，令1010,ax bb 第三步：取区间11,a b的中点，则此中点对应的坐标为 111111112

6、2xabaab.计算 1f x和 1f a，并判断：如果 10f x，则1x就是 f x的零点，计算终止；第 4 页 共 11 页 如果 110f af x，则零点位于区间11,a x中，令2121,aa bx；如果 110f af x，则零点位于区间11,x b中，令2121,ax bb；继续实施上述步骤，直到区间,nna b，函数的零点总位于区间,nna b上，当na和nb按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 yf x的近似零点，计算终止.这时函数 yf x的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；()f a、()f b的值比较容易计

7、算且()()0f af bg（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的对于求方程()()f xg x的根，可以构造函数()()()F xf xg x，函数()F x的零点即为方程()()f xg x的根 要点二：函数的实际应用 求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理

8、、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).【典型例题】类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题 例 1若函数)(xfy 在区间,a b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）第 5 页 共 11 页 A若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf；B若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf；C若0)()

9、(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf；D若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf【答案】C 【解析】对于 A 选项：可能存在；对于 B 选项：必存在但不一定唯一 举一反三：【变式 1】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点 （2）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点 （3）已知函数y=f(x)在区间a，b满足f(a)f(b)0，f(1)520，选 B.【总结升华】求

10、函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.例 2求函数()lgf xxx零点的个数【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数()lgf xxx的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题而方程lg0 xx不易解，舍之若将方程lg0 xx变形为：lg xx构造函数lgyx与yx，方程lg0 xx的根即为方程组lg,yxyx的解，函数()f x的零点个数即为函数lgyx与yx图像的交点的个数【答案】0【解析】函数lgyx与yx图像如图所示：第 6 页 共 11 页 由此易知，函数lgyx与yx的图

11、像交点个数为 0，即得：函数()f x的零点个数为 0【总结升华】函数()f x零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程()0f x 变形为：12()()f xfx，构造函数1()yf x与2()yfx，这两个函数的交点个数即为函数()f x的零点的个数这种方法数形结合，直观性强 举一反三：【变式 1】求函数f(x)lnx2x6 的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ)【答案】1 （2，3）【解析】分别作出函数lnyx和62yx的图象可知如下图：【变式 2】已知函数()log(0,1)af xxxb aa且，当234ab时，函数()f x的零点*0(,1),xn nnN,则n .【

12、答案】2【解析】用数形结合法，由已知得：logaxxb 作出 2logyx及3logyx的图象，作出 3yx 及4yx 由图象可知，当(2,3)a在内变动，(3,4)b 在内变动时，显然对数函数图象与直线yxb 的公共点皆在区间(2,3)内，即函数()f x的零点0(2,3)x，故2n 第 7 页 共 11 页 例 31x与2x分别是实系数一元二次方程20axbxc和20axbxc的一个根，且12xx，120,0 xx 求证：方程202axbxc有且仅有一根介于1x与2x之间 证明：令2()2af xxbxc Q1x与2x分别是实系数一元二次方程20axbxc和20axbxc的一个根，2110

13、axbxc，2220axbxc，故211bxcax，222bxcax，22221111112222222221().2223().222aaaf xxbxcxaxxaaaf xxbxcxaxx 0a Q，120,0 xx 12()()0f xf x，方程202axbxc有且仅有一根介于1x与2x之间【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间a，b的端点值的乘积是否满足()()0f af b，还要看函数()f x的图象在a，b上是否是连续曲线即可 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案 举一反三：【变式 1】已

14、知函数3yx的图象与一次函数1yx的图象有且只有一个交点00,xy 求证：00,2x 【解析】函数3yx的图象与一次函数1yx的图象的交点00,xy一定是方程组的解，所以0 x一定是方程310 xx 的解 令3()1f xxx，则由题意可知0 x是这个函数的唯一的零点 又因为(0)(2)50ff ，所以00,2x 【变式 2】若方程2210axx 在（0，1）恰好有一解，求 a 的取值范围 第 8 页 共 11 页【答案】1,【解析】（1）当0a 时，方程为10,1x ，不满足题意舍去（2）当0a 时，令2()21f xaxx，分情况讨论：01 80,(0,1)ax ，0182(0,1)ax

15、18a 不满足题意舍去 1 80a ，18a 若(0)1f 且(1)0f即21 10a ，1a满足题意 若(0)1f 且(1)0f即1a 时，()0f x 的另一解是12 综上所述，满足条件的a的取值范围是1,a 例 4借助计算器或计算机用二分法求方程230 xx的一个近似解（精确到 0.01）【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数2()3xf xx的近似零点注意到2(1)03f ，则方程230 xx在-l，0内有实根，再用二分法求近似解 【解析】考查函数2()3xf xx，因为2(1)03f ，(0)10f，所以方程230 xx在-l，9内有实数解

16、如此，得到方程230 xx的实数解所在区间的表：1 左端点 右端点 第 1 次-1 0 第 2 次-1 0.5 第 3 次-0.75-0.5 第 4 次-0.75-0.625 第 5 次-0.6875-0.625 第 6 次-0.6875-0.65625 第 7 次-0.6875-0.671875 第 8 次-0.6875-0.6796875 第 9 次-0.6875-0.68359735 第 9 页 共 11 页 第 10 次-0.6875-0.685546875 至此，可以看出，区间-0.687 5，-0.685546875内的所有值，都精确到 0.01 都是 0.69，所以 0.69 是

17、方程精确到 0.01 的实数解【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法用二分法求函数零点的近似值应注意：（1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算；（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们都符合给定的精确度 举一反三：【变式 1】举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 【答案】2210 xx 【解析】如果函数不能很明显的找到两个使函数值异号的 x，这样就不好用二分法了 类型二：函数模型极其应用 例 5.某地区不同身高的

18、未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式;（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为 175cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正

19、常？【思路点拨】由上表中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型.由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（快速增长），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系.【答案】（1）2 1.02xy（2）偏胖【解析】(1)身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图 第 10 页 共 11 页 根据点的分布特征可以考虑以xya b作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数模型.选取表其中两组数据(70,7.90)，(160,47.25)代入xya b得：701607.9047.25a ba b

20、 用计算机算得 2a，1.02b 这样，得到函数模型：2 1.02xy.将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)如何应用模型判断某男生的体重是否正常？将175x 代入2 1.02xy，得 1752 1.02y 由计算器算得 63.98y 由于 7863.981.221.2 所以，这个男生偏胖.【总结升华】用数据拟合函数模型时，如何从散点图观察函数，需要平时积累一些常见的函数模型，并了解 第 11 页 共 11 页 具体模型适用的大致的实际问题在自然科学和社会科学中，很多规律、定

21、律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的 举一反三：【变式 1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？【解析】记y为投资总回报，x为投资天数，则方案一：40()yx xN；方案二：255()yxx xN；方案三：0.4(21)()xyxN，可做图象，结合函数表格分析得：投资 8 天以下（不含 8 天），应选择第一种方案；投资 8-9 天，应选择第二种方案；投资 11 天以上（含 11 天），则应选择第三种投资方案