二次函数精选练习题及答案.pdf

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1、二次函数练习题及答案 一、选择题 1.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新拋物线的解析式是()A y=3(x 4-2)2+1 B.y=3(x+2)2-1 C.y=3(x-2)2+1 D.y=3(x-2)2-1 2.将抛物线y=F+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是.()A y=x+3；B y=x+l；C y=(x+1)2+2；3.将抛物线y二(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得拋物线 的解析式为()A.最大值1 B.最小值-3 C.最大值-3 D.最小值1 6.把函数y=f(x)=x2-4x+6的图象向左平移1个单位，再向上

2、平移1个单位，所 得图象对应的函数的解析式是()A.y=(x 3)，+3 B.y=(x_3)+l C y=(x_l)+3 D y=(x l)+l 7.抛物线y=x2+bx+c图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解 析式为 y=亍一 2 兀一 3,则 b、c 的值为 A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=-2,c=-l D.b=-3,c=2 二、填空题 8.二次函数y=-2(x-5)2+3的顶点坐标是 _.9.已知二次函数y=F+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，D y=(/-I)，+2 B.y=(x-2)2+6 A.C.y=x2+6 D.y=

3、x2 y=(x-2)2 点A(xy).B(x2,yJ在函数图象上，当0 1，2”或“V”)X 0 1 2 3 y -1 2 3 2 10.在平面直角坐标系中，将抛物线y=+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180。,所得拋物线的解析式为 _.11.求二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标(_)对称轴 _ o 12.已知(2,yi),(l,y2),(2,y3)是二次函数 y=x24x+m 上的点，则yl,y2,y3从小到大用“0时，向左平移k个单位b2 当&w十代丿 当0时，向上平移|川个单位 当/0时.向下平移力个单位 所以将抛物线y=x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是y=(x-l)2

4、+2,选D 3.D.【解析】试题分析：将y二(x-1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2.故选D.考点：二次函数图象与几何变换.4.C.【解析】试题分析：由二次函数y=2(x 3尸+1,可知：A.Va0,其图象的开口向上，故此选项错误；B.其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误；C.其最小值为1,故此选项正确；D.当x5-4,12+m5+m-4+m,.*.y1y2y3.按从小到大依次排列为y3y2yi.故答案为y3y2yi.13.，【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可.解：二次项的系数不是2的函数有.故答案为，.考点：二次函数的变换问题.

5、用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数.14.右侧【解析】本題实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题.解：丁抛物线y=-x2-2x+l中，a=-l0,抛物线开口向下,抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小(下降).填：右侧.15.5【解析】考点：二次函数的应用.分析：将y=2X2-20X+1050变形可得：y=2(x-5)2+1000,根据二次函数的最值关系，问题可 求.解答：解：由題意，旅游的支出与人数的多少有关系,Vy=2x-20 x+1050,Ay=2(x-5)2+1000,当x=5时，y值最小，最小为1000.点评：本題考查利用二次函数

6、来求最值问題，将二次函数解析式适当变形即可.16.4.【解析】试题解析：/y=x2-4x+k=(x-2)2+k-4,k-4=n,即 k-n=4.考点：二次函数的性质 17.m$l.【解析】试题分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口 方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围.试题解析：二次函数的解析式y=(x-m)2-1的二次项系数是1,该二次函数的开口方向是向上；又 该二次函数的图象的顶点坐标是(m,1),.当xWm时，即y随x的增大而减小；而已知中当xVl时，y随x的增大而减小，.：m$l.考点：二次函数的性质.18.(1)(1,0)和

7、(3,0)(2)5【解析】解：(1)令x=0，则,=_6,二次函数y=2F+8x 6的图象与y轴的交点坐标为(0,-6)令 y=0,则 y=-2x2+3x-6 9 求得 xk=l,x2=3,二次函数y=_2T+8x6的图象与X轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)(2)5 个.19.(1)S=-2X2+32X(2)x=8 时最大值是 128【解析】考点：二次函数的应用。分析：在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公5昭二次函数，用二垛 E 解答:(1)由题意，得 S=AB?BC=x(32-2x),AS=-2x2+32x(2):沪-20,.IS 有最大值.x=-b/2a=-32/2 X

8、(-2)=8 时,函数的性质求最大值。1分 3分 A 有 S A=（4ac-b2）/4a=-322/4X（-2）=128o.x=8时，S有最大值，最大值是128平方米。点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方 法较好，如y=-x-2x+5,y=3x2-6x+l等用配方法求解比用公式法简便。20.（1）y=-x2+8x,自变量取值范围：0 xW4；（2）APBQ的面积的最大值为16cm2.【解析】试題分析：（1）根据矩形的对边相等表示出BC,然后表示出PB、QB,再根据三角

9、形的面积列式整理即可得解，根据点Q先到达终点确定出x的取值范围即可；（2）利用二次函数的最值问题解答.试题解析：（1）I四边形ABCD是矩形,ABC=AD=4,根据题意,AP=2x,BQ=x,APB=16-2x,丄PE QB,y=-x2+8x 自变量取值范围：0P的两条相交弦，设 的两根,所以xl2=-2m J（一 2加）2 一 4k 2 所召+x2=一2m,X x2=k 它们的交点为点0,连结DB,八小 OAxOB 卜严|k t AAAOCADOC,则 OD=-=1.oc 网H 由题意知点C在 轴的负半轴上，从而点D在I轴的正半轴上，所以点D的坐标为(0,1)；(2)因为AB丄CD,AB又恰

10、好为GP的直径，则C、D关于点0对称，所以点C的坐标为(0,-1),即k=-l 又 AB=一兀|=J(+xj 一 4兀2=J(-2?)-4k=2yjm2-k=2Jm2+1,所以 S.wc=-AB x OC=-x 2 J府+1 x 1=J5 解得7=2.考点：一元二次方程求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形面积公式 点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示0D及AB的长是本 题中解題的关键 22.(1)证明略；(2)m=l；(3)lb 4【解析】试題分析：(1)求出根的判别式总是非负数即可；(2)由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m即可;(3)先

11、求出A.B的坐标，再根据图像得到b的取值范围.试题解析:(1)证明:VmO,.mx2+(3m+l)x+3=0是关于x的一元二次方程.A=(3m+l)2-12m=(3m-l)2.T(3m-l)20,方程总有两个实数根.(2)解：由求根公式，得xi=3,x2=-丄 m .方程的两个根都是整数，且m为正整数，?.m=l.(3)解：Vm=l 时，Ay=x2+4x+3.：抛物线 y=x2+4x+3 与 x 轴的交点为 A(-3,0)、B(-1,0).依题意翻折后的图象如图所示.当直线y=x+b经过A点时，可得b=3当直线y=x+b经过B点时，可得b=l I b 4 4 综上所述，b的取值范围是lVbV3

12、,b-4 考点：根的判别式，求根公式的应用，函数的图像.23.（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】试題分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PH的长的 表达式，P点到y=-l的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM 和P到产-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则产-1是圆P的切线.（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q,P作QR丄直线y=-l,PII丄直线y=-l,垂足为R,H,那么QRMNPII,根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH.（1）中已得出 了 PM=P11,那么同理可得出QM=QR,那么比例关系式可写成QR

13、：P1URN：Nil,而这两组对应 成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出ZQNR=ZPNH,根据等角的余角相等，可得出 ZQNM=ZPNM.试题解析：（1）设点P的坐标为（Xo,|x2o）,则P珂+又因为点P到直线严-1的距离为，-X（-1）=-X2o+l 4 4 所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线产-1相切.（2）如图，分别过点P,Q作直线产-1的垂线，垂足分别 为 H,R.由（1）知，PH=PM,同理可得，QM=QR 因为PH,MN,QR都垂直于直线y=-l,所以，PIIMNQR,于是=,所以逖=少，因此，RtAPHNRtAQRN.RN NH RN HN 于是ZHNP=ZRNQ,

14、从而ZPNM=ZQNM.考点：二次函数综合题.1 3 24（1）（-X2+14X）万元；w 甲=-X2+9X-90（2）n=15.（3）应选乙地.20 20【解析】试題分析：（1）依据年利润二年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之 间的函数关系式;（2）求出利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元.求出n的 值；（3）分别求出x=18时，W 3 和W己 的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做岀选择.试题解析：（1）甲地当年的年销售额为（-x+14）?x=（-丄x+14x）万元；20 20 1 1 3 w（-一 x+14x）-（X2+5X+90）=-一 X

15、2+9X-90 20 10 20（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w 乙=-x2+nx-（X2+5X+90）=-x2+（n-5）x-90.10 10 5 4ac-b2 4X（-7）X（-90）-（-5）2 由-=-:-=35,解得 n=15 或_5 牝 4x（-1）经检验，n=-5不合题意，舍去，n=15.（3）在乙地区生产并销售时，年利润 w z.=-i X2+10X-90,将 x=18 代入上式，得 w=25.2（万元）；3 将 x=18 代入 甲=一X2+9X-90,得 w p=23.4（万元）.20 TW乙卄，应选乙地.考点：二次函数的应用.3 3 25.（1）y=x2-2x-3,D

16、（1,4）；（2）S+SS（3）M（y,0）,y=x-.【解析】试题分析：（1）把A、B的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般式 化为顶点式求出点D的坐标；（2）利用勾股定理的逆定理判断ABCD为直角三角形，分别求AOC,ABOC,ABCD的面 积，计算即可得到答案；（3）假设存在，设点M的坐标为（m,0）,表示出MA的长，由MNBC,求出AN,根据偶 AAMNAACM,求出m,得到点M的坐标，从而求出BC的解析式，由于MNBC,设直线MN 的解析式为y=x+bt求解即可.试题解析：(1)T抛物线y=F+/?x+c经过A(1,0),B(3,0)两点,Jl_b+c=0 9+3b+c=点

17、D的坐标为：（L-4）；(2)S+S,=S2.证明如下:过点D作DE丄x轴于点E,DF丄y轴于几 由题意得，CD二BD=2/5,BC=3/厂 1 3 1 Q CD2+BC2=BD2,ABCD 是直角三角形，S=-XOAXOC=-,5.=-XOBXOC 二一，S 2 2 2 2=-XCDXBC=3,5,+5=S.；2-(3)存在点 H 使ZAMN=ZACM,设点 bl 的坐标为(m,0),V-lm3,AMA=m+h AC=710,3 3“飞，（舍去）,別的坐标为。），设区的解析式 考点：1.二次函数综合題；2.存在型；3.探究型；4.和差倍分；5.动点型；6.综合题;7.压轴题.（3）满足条件的

18、点P的坐标为（-8,-15）、（2,-？）、（10,-39）。3【解析】分析：（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元 一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值。（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0,1）.所以利用待定系数法即可求得解得:fb=-2 =-3 抛物线的解析式为：y=F 2x 3,y=F2x3=(x 1 尸一 4,AM _ AB A7V _ AC 解得，AN=J ZAMMZACM,ZMAN=ZCAM,AAAMNAACM,=为 y=kx+b.把 B(3,0),C(0,-3)代入得,j3R+b=0 b=-3，解得 b=3 则BC的解析式为y

19、=x-3,又MNBC,：设直线MN的解析式为y=x+b9 3 3 3 把点M的坐标为（一，0）代入得,b=-一 直线MN的解析式为y=x 一 I 2 26-(1)y=v2-r+1(2)即(/H+1)2=VT0X(in+1),解得,点D的坐标为 直线AM的关系式为y=1x+l。由题意设点D的坐标为x0,-ix02-x0+l,则点F的 3 I 3 3 丿 易求DF关于X。的函数表达式，根据二次函数最值原理来求线段DF 的最大值。（3）对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况。利用相 似三角形的对应边成比例进行解答。解：(1)把 A(-3,0)、B(1,0)、C(-2,1)

20、代入y=ax+bx+c 得,当心=一|时,DF的最大值为.此时*-訊+1弓,即点D的坐标为 I o（3）存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似。设P m,-nr-m+l I 3 3 在RtZHlAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限。设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，.只能PN=3NMo坐标为(x,ix0+l 9a-3b+c=0 a+b+c=0 1 a=3 2 解得b=-o 3 抛物线的表达式为y=-卜一扌x+1。（2）将x=0代入抛物线表达式，得产1 点M 的坐标为（0,1）。设直线MA的表达式为y=kx+b,b,解得-3k+b=

21、0 k=l 3 o 直线HA的表达式为y=-x+lo b=l 3 设点D的坐标为(x。，-|x0+1,则点F的坐标为fx0,ix0+lL DF=-|xo2-|xo|x0+l r 3 -m2-m+l=3（m+3）,即 m：+llm+24=0,解得-3 或 8。.此时3m0,A此时满足条件的点不存在。当点P在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NMO=3（_m 3）,即 m+llm+24=0,解得 m=-3（舍去）或 m=-8 o I 7 当 m=-8 时,m2-m+l=-15,此时点 P 的坐标为（-8,-15）。3 3 当点P在第四象限时,若加3PN时,则一心4矜卡,即 m+m-6

22、=0 o 解得m=-3（舍去）或m=2 o r 2 5 当 m=2 时，-m2 _m+=_,3 3 3 此时点P的坐标为（2,-？）。3 若 PN=3NA,Jl!j-f-im2-m+1=3（m+3）,即 n/-7m-30=0o 解得m=-3（舍去）或m=10o|9 当 m=10 时，m-m+l=-39,此时点 P 的坐标为（10,-39）。3 3 综上所述，满足条件的点P的坐标为（8,15）、（2,扌）、（10,39）。27设直线OA的解析式为y=kx.点4的坐标为（3,3）.3k=3解得k=l.直线Q4的解析式为y=x 28.当 x=6 时，y=-x=x6=3 2 2 C点的坐标为（6,3）

23、,.抛物线过点C（6,3）.3=36d+2x6 29.根据题意，）（3,0）,B（6,0）.点P的横坐标PE/y轴交Q4于点.E（务加）当0 v？v3时，如图，4 如图,RQ=RN 时，m=3-yf3 9 .11 分 如图，AD所在的直线为矩形RQMN的对称轴时，加=9/4,.12分 如图，RQ与AD重合时，重叠部分为等腰直角三角形，加=3;.13分 如图,当点R落在AB上时,m=4.所以3m 3时，如图,s=s“OBC-S如=*X6X7_*X3X3 30.加=3 或7=?或3 Wm 4.提示：S=SgAB 分 图 图 图（3）已知了 A点的坐标，即可求出OD、AD的长，由于AOAB是等腰直角

24、三角形，即可确定 OB的长；欲求四边形ABDE的面积，需要分成两种情况考虑：0m3时，P点位于D点右侧，此时阴影部分的面积为OAB、AOAD的面积差；根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函 数关系式；（4）若矩形RQMN与AAOB重叠部分为轴对称图形，首先要找出其对称轴；由于直线OA的解析式为y=x,若设QM与0A的交点为11,那么ZQEH=45,QEII是等腰 直角三角形；那么当四边形QRNM是正方形时，重合部分是轴对称图形，此时的对称轴为QN 所在的直线；可得QR=RN,由此求出m的值；以QH、RN的中点所在直线为对称轴，此时AD所在直线与此对称轴重合，可得PD=l/2 RN=3/4,由OP=OD-PD即可求出m的值；当P、D重合时，根据直线0C的解析式y=x/2知：RD=3/2；此时R是AD的中点，由于RNx 轴，且RN=3/2=DB/2,所以N点恰好位于AB上，RN是AABD的中位线，此时重合部分是等 腰直角三角形REN,由于等腰直角三角形是轴对称图形，所以此种情况也符合题意，此时 OP=OD=3,即m=3；当R在AB上时，根据直线0C的解析式可用m表示出R的纵坐标，即可 得到PR、PB的表达式，根据PR=PB即可求出m的值；根据上述三种轴对称情况所得的m的 值，及R在AB上时m的值，即可求得m的取值范围