全等三角形证明判定方法分类总结.pdf

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1、 A B D C 全等三角形（一）SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形 2全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等 3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形 （1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，读作“全等于”如DEFABC与全等，记作ABCDEF （2）符号“”的含义：“”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等 （3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 （4）证两个三角形全等时，通常把表

2、示对应顶点的字母写在对应的位置上 4全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”【典型例题】例 1 如图，ABCADC，点 B 与点 D 是对应点，26BAC，且20B，1ABCS，求ACDDCAD,的度数及ACD的面积 例 2 如图，ABCDEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及 CF 的长 例 3如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE 例 4如图 AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：（1）ABCDEF （2）AB/DE，BC/EF A B E C F D A B E C D A B C D F E 例

3、5如图，在,90CABC中D、E 分别为 AC、AB 上的点，且 BE=BC，DE=DC，求证：（1）ABDE；（2）BD 平分ABC 【巩固练习】1下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）A、B、C、D、2如图，ABDCDB，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（）A、CDBABD和的面积相等 B、CDBABD和的周长相等 C、CBDCABDA D、AD/BC 且 AD=BC 3如图，ABCBAD，A 和

4、B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果35,60ABDC，则BAD的度数为（）A、85 B、35 C、60 D、80 4如图，ABCDEF，AD=8，BE=2，则 AE 等于（）A、6 B、5 C、4 D、3 5如图，要使ACDBCE，则下列条件能满足的是（）A、AC=BC，AD=CE，BD=BE B、AD=BD，AC=CE，BE=BD C、DC=EC，AC=BC，BE=AD D、AD=BE，AC=DC，BC=EC 6如图，ABEDCF，点 A 和点 D、点 E 和点 F 分别是对应点，则AB=，A ，AE=，CE=，AB/，若BCAE，则 DF 与 BC 的关系是 7如图，ABCAED，若

5、BACCEABB则,45,30,40 ，D ，DAC 8 如 图，若 AB=AC，BE=CD，AE=AD，则ABE ACD，所 以AEB ，BAE ，BAD A E B C D A B D C A B C D 第 3 题图 B A C E F D 第 4 题图 第 5 题图 A B C D E A C E B F D 第 6 题图 B A C D E 第 7 题图 第 8 题图 A B D E C E F D B C A 第 9 题题图 9如图，ABCDEF，90C，则下列说法错误的是（）A、互余与 FC B、互补与 FCC、互余与 EAD互余与 DB 10 如图，ACFDBE，cmCDcmA

6、DACFE5.2,9,110,30，求D的度数及 BC 的长 11如图，在ABDABC与中，AC=BD，AD=BC，求证：ABCABD 全等三角形（一）作业 1如图，ABCCDA，AC=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（）A、7cm B、5cm C、8cm D、无法确定 2如图，ABCDCE，62,48EA，点 B、C、E 在同一直线上，则ACD的度数为（）A、48 B、38 C、110 D、62 3如图，ABCDEF，AF=2cm,CF=5cm，则 AD=4如图，ABEACD，25,100BA，求BDC的度数 5如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：AB/CD 6如图

7、，已知 AB=EF，BC=DE，AD=CF，求证：ABCFED AB/EF A B C D F E A D C B A B C D E A B C D E F B A C E F D 7如图，已知 AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CAEBAD A B E C D 初一数学全等三角形 5 全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示 如图，在ABC和DEF中，ABCEFBCEBDEAB)(SASDEF 【典型例题】【例 1】已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.【例 2】如图，已知：点 D、E

8、 在 BC 上，且 BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例 3】如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE 的度数.【例 4】如图，B，C，D 在同一条直线上，ABC，ADE 是等边三角形，求证：CE=AC+DC；ECD=60.【例 5】如图，已知ABC、BDE 均为等边三角形。求证：BDCD=AD。A B C E D F A D B E C A B D E C 1 2 B E A F C O E A B C D D A B C E 初一数学全等三角形 6 【巩固练习】1在ABC 和CBA中，若 AB=BA，AC=CA，还要加一个角的条件，使A

9、BCCBA，那么你加的条件是（）AA=A B.B=B C.C=C D.A=B 2下列各组条件中，能判断ABCDEF 的是（）AAB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；C=F；AC=EF CCA=CD；B=E D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等 3阅读理解题：如图：已知 AC，BD 相交于 O，OA=OB，OC=OD.那么AOD 与BOC 全等吗？请说明理由.ABC 与BAD 全等吗？请说明理由.小明的解答：21 AODBOC 而BAD=AOD+ADB ABC=BOC+AOB 所以ABCBAD （1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；4如图，点 C 是

10、 AB 中点，CDBE，且 CD=BE，试探究 AD 与 CE 的关系。5如图，AE 是，BAC的平分线AB=AC（1）若 D 是 AE 上任意一点，则ABDACD，说明理由.（2）若 D 是 AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.6如图，已知 AB=AC，EB=EC，请说明 BD=CD 的理由 D C 1 2 O A BA C B E D B C D E A 1 2 A B E D C SAS OA=OB OD=OC 初一数学全等三角形 7 全等三角形（二）作业 1如图，已知 AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：BDFCEF。2如图，ABC，BDF 为等腰直角三角形。求证：

11、（1）CF=AD；（2）CEAD。3如图，AB=AC，AD=AE，BE 和 CD 相交于点 O，AO 的延长线交 BC 于点 F。求证：BF=FC。4已知：如图 1，ADBC，AE=CF，AD=BC，E、F 在直线 AC 上，求证：DEBF。5.如图，已知 ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE=DC，（2）BEDC.6、已知，如图 A、F、C、D 四点在一直线上，AF=CD，AB/DE，且 AB=DE，求证：（1）ABCDEF （2）CBF=FEC A B C E D F A C B D E F A D E C B F O 1 2 D C A B E F D A B Q

12、 C P E 初一数学全等三角形 8 7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE.求证:BD=CE 8、如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 BE、DG，（1）观察猜想 BE 与 DG 之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。9、已知:如图,AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE求证:BECF 10、已知 C 为 AB 上一点,ACN 和 BCM 是正三角形.求证：（1）AM=BN （2）求AFN 大小。11、已知如图，F 在正方形 ABCD 的边 BC

13、 边上，E 在 AB的延长线上，FBEB，AF 交 CE 于 G，求AGC 的度数.12、如图，ABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF 是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF 的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.C N M B A E D F FDACEBFDACGEB初一数学全等三角形 9 全等三角形（三）ASA

14、【知识要点】ASA 公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 如图，在ABC与DEF中 EBDEABDA)(ASADEFABC ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【典型例题】【例 1】下列条件不可推得ABC和CBA全等的条件是（）A、AB=AB，AA，CC B、AB=AB，AC=AC，BC=BC C、AB=AB，AC=AC，BB D、AB=AB，AA，BB【例2】已知如图，DEABDEABDA/,，求证：BC=EF 【例 3】如图，AB=AC，CB，求证：AD=AE 【例 4】已知如图，43,21，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=P

15、D 吗？试证明之 【例 5】如图，321，AC=AE，求证：DE=BC A B C D E F A D B E C F A B D E C A B C D P 1 2 3 4 1 2 A 4 3 B C D E O 初一数学全等三角形 10【例 6】如图，21,DA，AC，BD 相交于 O，求证：AB=CD OA=OD 【巩固练习】1如图，AB/CD，AF/DE，BE=CF，求证：AB=CD 2如图，AD/BC，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 M，N，求证：AM=CN 3求证：两个全等三角形 ABC 与 ABC的角平分线 AD、AD相等 4如图，AB，CD 相交于

16、 O，E，F 分别在 AD，BC 上，若FOBEOD，求证：COFAOE 5如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD 6已知，如图 AB=DB，21,EC，求证：AC=DE A B C D O 1 2 A B C N M D O A B C D A B D C A E D O C F B C A D E B 1 2 A B D C F E A B D C 1 3 2 4 初一数学全等三角形 11 全等三角形（三）作业 1已知，如图，CDAFDA,21,，求证：AB=DE 2如图，已知CADBAEADEAED,，求证：BE=CD 3已知如图，AB=AD，CAEBADDB,，求证：AC=AE

17、 4 已知如图，在ABC中，AD 平分BCADBAC,，求证：ABDACD 5 已知如图，cmACABDDCADBCACB10,，求 BD 的长（要求写出完整的过程）6、如图ABC中，BC，D，E，F 分别在 AB,BC,AC 上，且 BD=CE,DEF=B 求证：ED=EF A E F D C B 1 2 A B E D C A B D C E A B D C A C B D A D E C B F 初一数学全等三角形 12 7、(1)如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断ABC 与AEG 面积之间的关系，并说明理由 (2)园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理

18、石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图,AD 为 CE 的垂直平分线,EFBC.求证：EDNCDNEMN 9、已知：如图,AB=AC,AD=AE,求证：OBDOCE 10、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O 为 BD 中点,过 O 作直线分别与 DA、BC的延长线交于 E、F求证：OE=OF 11、如图在ABC 和DBC 中,1=2,3=4,P 是 BC 上任意一点求证：PA=PD.12、已知：如图,四边形 ABCD 中,ADBC,F 是 AB 的中点,DF 交 CB 延长线

19、 于 E,CE=CD 求证：ADE=EDC 13、已知：如图,OA=OE,OB=OF,直线 FA 与 BE交于 C,AB 和 EF 交于 O,求证：1=2 A G F C B D E（图）初一数学全等三角形 13 全等三角形（四）强化训练 1、如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若ADBECF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若DEF是等边三角形，问ADBECF成立吗？试证明你的结论 2、如图所示，已知1=2，EFAD 于 P，交 BC 延长线于 M，求证：2M=（ACB-B）3、ABC 中，A=90，AB=AC，D 为 BC 中点，E、

20、F 分别在 AC、AB 上，且 DEDF，试判断 DE、DF 的数量关系，并说明理由 4、已知：如图，ABC中，45ABC，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BFAC；（2）求证：12CEBF；5、如图，点O是等边ABC内一点，110AOBBOC，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD（1）求证：COD是等边三角形；（2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？A F D B E C 21PFMDBACEFDCABE D A E F C H G B

21、 A B C D O 110 初一数学全等三角形 14 7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且 DB 与 AC 所在直线交于 E，求证：CD=CE。过A作AFBC于F，过D作DGBC于 G，则 DG=AF=1/2BC=1/2BD，在 RtBDG 中，DG=1/2BD=DBC=30 =BDC=BCD=1/2(180-30)=75，即EDC=75 DEC=DBC+BCA=30+45=75 EDC=DEC=CD=CE 8、RtABC，AB=AC,BM 是中线，ADBM 交 BC 于 D，求证：AMB=CMD。9、如图，已知ABC 是等边三角形，BDC

22、120，说明 AD=BD+CD 的理由。10、已知：如图，点 D 在ABC 的边 CA 的延长线上，点 E 在 BA 的延长线上，CF、EF 分别是ACB、AED 的平分线，且B=30，D=40，求F 的度数。11、等边三角形 ABC 和等边三角形 DEC，D 在 AC 边上。延长 BD 交 CE 延长线于 N，延长 AE 交 BC 延长线于 M。求证：CM=CN 易证BCDACE 所以DBC=EAC 再证BCNACM (ASA)CM=CN ECABMDCABMDABCEMND初一数学全等三角形 15 12、操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个

23、60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明 13、如图等边ABC 和等边CDE，点 P 为射线 BC 一动点，角 APK=60，PK 交直线CD 于 K。（1）试探索 AP、PK 之间的数量关系；KECABDP（2）当点 P 运动到 BC 延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉 及 相 似 三 角 形）若P为ABC所 在 平 面 上 一 点，且120APBBPCCPA ，则点P叫做ABC的费马点.如图，在锐角ABC外侧作等边ACB连结BB。求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PAPBPC.15、如图,ABC是等腰直角

24、三角形,C900,点 M,N 分别是边 AC 和 BC 的中点,点D 在射线 BM 上,且 BD2BM,点 E 在射线 NA 上,且 NE2NA.求证:BDDE.A C B B KECABDPMNEDCBA初一数学全等三角形 16 第五章 全等三角形 拓展延伸 分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例 1：已知 AE 既是BAC 的平分线，也是BDC 的平分线，试说明 AB=AC 思路：AB 在ABD 中，AC 在ACD 中，要说

25、明AB=AC，尝试说明ABD与ACD全等。1 观察图形发现两个三角形存在公共边 AD 2 题目所给条件可以得到两组角相等，3 再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等 4 再利用全等三角形的对应边相等，得到 AB=AC 例 2：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=5，BD=11，请你求出 DE 的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段 AB=AC 进行分析，对它们的位置进行分析，发现 AB、AC 分别位于一个 Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.

26、可以求证ABDACE。DCEABEDACB初一数学全等三角形 17 练习 1.小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢?_ _ 我们只需要说明 _ _ 解：练习2 在ABC中，ACB=900，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，DE=AD-BE。说说你的理由。（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。FEDBCAEDCBANM图 1 图 2 EDCBANM图 3 EDCBANM