江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三二模数学试题.pdf

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1、.1/14 i1 While i 3 25.5,28.5 8 28.5,31.5 9 31.5,34.5 11 34.5,37.5 10 37.5,40.5 5 40.5,43.5 4 第 4 题.2/14 9 已知na是公差不为 0 的等差数列,nS是其前 n 项和若2345a aa a,927S,则1a的值是 答案5 10在平面直角坐标系xOy中,已知圆1C：22481xy,圆2C：22669xy 若圆心在x轴上的圆C同时平分圆1C和圆2C的圆周,则圆C的方程是 答案2281xy 11如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且3OA,5OC 若错误!错误!7,则错误!错误!的值是 答

2、案9 12在ABC中,已知2AB,226ACBC,则tanC的最大值是 答案2 55 13已知函数20()1 0 xmxf xxx，其中0m若函数()1yff x有 3 个不同的零点,则 m 的取值 X 围是 答案(01)，14已知对任意的xR,3sincos2 sin23 axxbxabR，恒成立,则当ab取得最 小值时,a的值是 答案45 二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分 15 本小题满分 14 分 已知2sin410,2，求：1cos的值；2sin 24的值 解：1法一：因为2，,所以35444，,又2sin410,B C D O A.3/14 所以 2227 2cos1s

3、in1441010 3 分 所以coscos44 35 6 分 法二：由2sin410得,2sincoscossin4410,即1sincos5 3 分 又22sincos1.由解得3cos5 或cos45 因为2，,所以3cos5 6 分 2因为2，,3cos5,所以 2234sin1cos155 8 分 所以 4324sin22sincos25525 ,2237cos22cos12525 12 分 所以sin 2sin2 coscos2sin444 17 250 14 分 16 本小题满分 14 分 如图,在直三棱柱111ABCABC中,ACBC,A1B 与AB1交于点D,A1C 与AC1

4、交于点E 求证：1DE平面 B1BCC1；2平面1ABC平面11A ACC 证明：1在直三棱柱111ABCABC中,四边形 A1ACC1为平行四边形 又 E 为 A1C 与AC1的交点,所以E 为 A1C 的中点 2 分 同理,D 为 A1B 的中点,B C1 A C A1 B1 D E.4/14 所以 DEBC 4 分 又BC 平面 B1BCC1,DE 平面 B1BCC1,所以 DE平面 B1BCC1 7 分 2在直三棱柱111ABCABC中,1AA 平面 ABC,又BC 平面 ABC,所以1AABC 9 分 又ACBC,1ACAAA,1ACAA，平面11A ACC,所以BC 平面11A A

5、CC 12 分 因为BC 平面1ABC，所以平面1ABC平面11A ACC 14 分 17 本小题满分 14 分 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22221(0)yxabab的离心率为23,C 为椭 圆上位于第一象限内的一点 1若点C的坐标为 523，,求 a,b 的值；2设 A 为椭圆的左顶点,B 为椭圆上一点,且错误!错误!错误!,求直线 AB 的斜率 解：1因为椭圆的离心率为23,所以2223aba,即2259ba 又因为点C 523，在椭圆上,所以2242519ab 3 分 由解得2295ab，因为0ab,所以35ab，5 分 2法一：由知,2259ba,所以椭圆方程为2222

6、915yxaa,即222595xya O A B C x y.5/14 设直线 OC 的方程为xmy0m,11()B xy，,22()C xy，由222595xmyxya，得2222595m yya,所以222559aym因为20y,所以22559aym 8 分 因 为 错误!错误!错误!,所 以/AB OC 可 设 直 线AB的 方 程 为xmya 由222595xmyaxya，得22(59)100myamy,所以0y 或21059amym,得121059amym 11 分 因为错误!错误!错误!,所以11221122xayxy，,于是212yy,即2559am 22059amm0m,所以3

7、5m 所以直线 AB 的斜率为5 313m 14 分 法二：由1可知,椭圆方程为222595xya,则(0)Aa，设11()B xy，,22()C xy，由错误!错误!错误!,得11221122xayxy，,所以1212xxa,1212yy 8 分 因为点 B,点 C 都在椭圆222595xya上,所以 22222222225951595.22xyayxaa，解得24ax,254 3ay,12 分 所以直线 AB 的斜率225 33ykx 14 分 18 本小题满分 16 分.6/14 一缉私艇巡航至距领海边界线 l一条南北方向的直线3.8 海里的 A 处,发现在其北偏 东 30 方向相距 4

8、 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行 1若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截 成功；参考数据：sin1736,335.7446 2问：无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由 解：1设缉私艇在C处与走私船相遇如图甲,依题意,3ACBC 2 分 在ABC中,由正弦定理得,sinsinBCBACABCACsin120336 因为sin1736,所以17BAC 从而缉私艇应向北偏东47方向追击 5 分 在ABC中,由余弦定理得,22

9、24cos1208BCACBC,解得1334BC1.68615 又 B 到边界线 l 的距离为3.84sin301.8 因为1.686151.8,所以能在领海上成功拦截走私船 8 分 2如图乙,以A为原点,正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy 则22 3B，,设缉私艇在()P xy，处缉私艇恰好截住走私船的位置与走私 船相遇,则3PAPB,即22223(2)2 3xyxy 整理得,229993444xy,12 分 所以点()P xy，的轨迹是以点99344，为圆心,32为半径的圆 A B C 图甲 y 公海 领海 A B 图乙 60 l x 领海 A B 北 30 公海 l.7/1

10、4 因为圆心99344，到领海边界线l：3.8x 的距离为 1.55,大于圆半径32,所以缉私艇能在领海内截住走私船 14 分 答：1缉私艇应向北偏东47方向追击；2缉私艇总能在领海内成功拦截走私船 16 分 19 本小题满分 16 分 已知函数1()exf x,()lng xx,其中 e 为自然对数的底数 1求函数()()yf x g x在 x1 处的切线方程；2若存在12xx，12xx,使得1221()()()()g xg xf xf x成立,其中为常数,求证：e；3若对任意的01x，,不等式()()(1)f x g xa x 恒成立,#数 a 的取值 X 围 解：1因为ln()()exx

11、yf x g x,所以 211elnelneexxxxxxxxy,故11exy 所以函数()()yf x g x在 x1 处的切线方程为1(1)eyx,即e10 xy 2 分 2由已知等式1221()()()()g xg xf xf x得1122()()()()g xf xg xf x 记()()()lnexp xg xf xx,则e()exxxp xx 4 分 假设e 若0,则()0p x,所以()p x在0+，上为单调增函数 又12()()p xp x,所以12xx,与12xx矛盾 6 分 若0e,记()exr xx,则()exr x 令()0r x,解得0lnx 当0 xx时,()0r

12、x,()r x在0 x ，上为单调增函数；当00 xx时,()0r x,()r x在00 x，上为单调减函数.8/14 所以0()()=1 ln)0r xr x（,所以()0p x,所以()p x在0+，上为单调增函数 又12()()p xp x,所以12xx,与12xx矛盾 综合,假设不成立,所以e 9 分 3由()()(1)f x g xa x 得lne(1)xxax0 记lne(1)xF xxax()=,0 x1,则211eeexxxF xaxxaxx()=当1ea时,因为211eexx,e0 xx,所以0F x(),所以F x()在0+，上为单调增函数,所以(1)F xF()=0,故原

13、不等式恒成立 12 分 法一：当1ea 时,由2知eexx,3211eea xF xa xxx(),当 13e1ax时,0F x(),()F x为单调减函数,所以(1)F xF()=0,不合题意 法二：当1ea 时,一方面1=1e0Fa()另一方面,111exa,111121111eeee 10F xa xxax aaxx()所以01(1)xx，,使0=0F x(),又F x()在(0)，上为单调减函数,所以当01xx时,0F x(),故F x()在0(1)x，上为单调减函数,所以(1)F xF()=0,不合题意 综上,1ea 16 分 20 本小题满分 16 分.9/14 设数列na的前 n

14、 项和为 Sn*nN,且满足：12 aa；22112nnr np Snn anna,其中rpR，且0r 1求 p 的值；2数列na能否是等比数列？请说明理由；3求证：当 r 2 时,数列na是等差数列 解：1n1 时,211(1)220rp Saa,因为12aa,所以20S,又0r,所以 p1 2 分 2na不是等比数列理由如下：假设na是等比数列,公比为 q,当 n2 时,326rSa,即211(1)6raqqa q,所以2(1)6rqqq，i 4 分 当 n3 时,431212+4rSaa,即2321112(1)124raqqqa qa,所以232(1)62rqqqq,ii 6 分 由i

15、ii得 q1,与12aa矛盾,所以假设不成立 故na不是等比数列 8 分 3当 r 2 时,易知3122aaa 由22112(1)()(2)nnnSnn anna,得 2n时,11(1)(1)(2)211nnn nannaSnn,112(1)(2)(1)(2)2nnnnannaSnn,得,2112(1)(2)(1)(2)21(1)nnnnnan nannaannn n,11 分.10/14 即11121(1)(2)()(1)()2()1nnnnnaan naaaann,211112()(2)()()11nnnaanaan aannn,即2111111121nnnnaaaan aaaannnn

16、3121(1)3 202 223 12 1n naaaa ,所以11121121nnaaaaaann，令21aad,则11naadn(2)n 14 分 所以1(1)(2)naandn.又1n 时,也适合上式,所以*1(1)()naand nN 所以*1()nnaad nN 所以当 r 2 时,数列na是等差数列 16 分 数学附加题 21选做题本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-1：几何证明选讲本小题满分 10 分 如图,已知ABC 内接于O,连结 AO 并延长交O 于点

17、D,ACBADC 求证：2AD BCAC CD 证明：连结 OC 因为ACBADC,ABCADC,所以ACBABC3 分 因为 OCOD,所以OCDADC 所以ACBOCD 所以ABCODC8 分 D A CB O 第 21A 题.11/14 所以ACBCOCCD,即AC CDOC BC 因为12OCAD,所以2AD BCAC CD10 分 B选修 4-2：矩阵与变换本小题满分 10 分 设矩阵A满足：A12061203,求矩阵A的逆矩阵1A 解：法一：设矩阵abcdA,则1206abcd1203,所以1a ,262ab,0c,263cd4 分 解得0b,12d,所以10102A6 分 根据逆

18、矩阵公式得,矩阵11002A10 分 法二：在A12061203两边同时左乘逆矩阵1A得,12061A12034 分 设1Aabcd,则1206abcd1203,所以1a,232ab,0c,236cd6 分 解得1a ,0b,0c,2d,从而11002A10 分 C选修 4-4：坐标系与参数方程本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy中,已知直线232222xlyl，l为参数与曲线218xtyt，t为参数 相交于A,B两点,求线段AB的长.12/14 解：法一：将曲线218xtyt，t为参数化为普通方程为28yx3 分 将直线232222xlyl，l为参数代入28yx得,28 2240ll

19、,6 分 解得12 2l,26 2l 则124 2ll,所以线段AB的长为4 210 分 法二：将曲线218xtyt，t为参数化为普通方程为28yx,3 分 将直线232222xlyl，l为参数化为普通方程为302xy,6 分 由28302yxxy，得,122xy，或926.xy，所以AB的长为2291624 22210 分 D选修 4-5：不等式选讲本小题满分 10 分 设xyz，均为正实数,且1xyz,求证：333111xyyzzxx yy zz x 证明：因为xyz，均为正实数,且1xyz,所以3122xyyzxx y,3122yzxzyy z,3122xzxyzz x8 分 所以333

20、111xyyzzxx yy zz x10 分 必做题第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分.13/14 某乐队参加一户外音乐节,准备从 3首原创新曲和 5首经典歌曲中随机选择 4首进行演唱 1求该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率；2假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为 aa 为常数,演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为 2a 求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布与数学期望 解：1设至少演唱 1 首原创新曲为事件A,则事件A的对立事件A为：没有 1 首原创新曲被演唱 所以

21、4548C13()1114CP AP A 答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为1314 4 分 2设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数,则x的所有可能值为 0,1,2,3 依题意,24Xaxax,故X的所有可能值依次为 8a,7a,6a,5a 则4548C1(8)(0)14CP XaP x,133548C C3(7)(1)7CP XaP x,223548C C3(6)(2)7CP XaP x,313548C C1(5)(3)14CP XaP x 从而X的概率分布为：8 分 所以X的数学期望 133191876514771414E Xaaaaa10 分 23 本小题满分 10 分 设*2

22、nnN，有序数组12naaa，经m 次变换后得到数组12mmmnbbb，,其中11iiibaa，,111mimimibbb，i 1,2,n,11naa,1111mnmbb，(2)m 例如：有序数组1 23，经 1 次变换后得到数组12233 1，,即354，；经第 2 次变换后得到数组897，X 8a 7a 6a 5a P 114 37 37 114 .14/14 1若(12)iai in，,求35b，的值；2求证：0Cmjmiijmjba，,其中i 1,2,n 注：当ijknt时,*kN,t 1,2,n,则ijtaa 解：1依题意,1 2 345678n，经 1 次变换为：35 7911 13 151n，,经 2 次变换为：8 12 162024284n，,经 3 次变换为：20 2836445212n，,所以3552b，3 分 2下面用数学归纳法证明对*mN,0Cmjmiijmjba，,其中12in，i当1m时,11110Cjiiiijjbaaa，,其中12in，,结论成立；ii假设*()mk kN时,kib，0Ckjijkja,其中12in，5 分 则1mk时,11kikikibbb，110Ckjijkja,所以结论对1mk时也成立 由i ii知,*mN,0Cmjmiijmjba，,其中12in，10 分