8年级数学(上)培优辅导之四(直角三角形).pdf

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1、 江山二中八年级数学（上）培优辅导之四（直角三角形）班级_姓名_ 勾股定理（及逆定理）：C=90o（c 为斜边）a2+b2=c2 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用 勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段等腰三角形三边之比为 1:1：2；30o的直角三角形三边比为 1：3：2 30 例题求解【例 1】如图，以等腰直角三角形 ABC 的

2、斜边 AB 为边向内作等边ABD，连结 DC，以 DC 为边作等边DCE，B、E 在 CD 的同侧，若 AB=2，则 BE=_ BCDAE 【例 2】2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么(a+b)2的值为_.【例 3】如图，P 为ABC 边 BC 上的一点，且 PC2PB，已知ABC45，APC60，求ACB 的度数 BCAP 【例 4】在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，设 ACb，BCa，A

3、B=c，CD=h 求证：（1）222111hba；(2)hcba；(3)以ba、h、hc为边的三角 形是直角三角形 BCDA 【例 5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形 是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由 学历训练 1如图，AD 是ABC 的中线，ADC=45，把ACD 沿 AD 对折，点 C 落在点 C的位 置，则 BC与 BC 之间的数量关系是_ BCDAC BCDAP （第 1 题）（第 2 题）2如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACD 重 合，若 AP3，则 PD 的长等于_ 3如

4、图，已知 AB=13，BC=14，AC=15，ADBC 于 D，则 AD=_ 4如图，四边形 ABCD 中，AB3cm，BC=4cm，CD=12，DA=13cm，且ABC=90，则四边形 ABCD 的面积是_cm2 BCDA BCDA 108 BCDA （第 3 题）（第 4 题）（第 5 题）（第 7 题）5如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子 的顶端下滑 1 米，则梯子底端的滑动距离_米。6如果一个三角形的一条边是另一条边的 2 倍，并且有一个角是 30，那么这个三角形的形状 是()A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定

5、7在四边形 ABCD 中，A=60，B=D90，BC=2，CD=3，则 AB=_.8如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为 3，22，5；(2)使三角形为钝角三角形且面积为 4 BCANM （第 8 题）（第 9 题）(第 10 题)9如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，MN 垂直平分 AB，求证：CM=2BM 10、如图，圆柱体的棱 AB=10，AE=2，CD 上 F 点，CF=6，圆柱底面周长为 16，（1）如一只蚂蚁从 E沿着外曲面爬到 F，求出最短路线的长。（2）如 F 点在里面，蚂

6、蚁从 E 爬到 F，求出最短路线长。11、如图，在ABC 中，BAC90，AB=AC，E、F 分别是 BC 上两点，若EAF=45，试推断 BE、CF、EF 之间的数量关系，并说明理由 12如图，在ABC 中，AB=5，AC=13，边 BC 上的中线 AD=6，则 BC 的长为_ BCDABCAP （第 11 题）（第 12 题）（第 13 题）（第 14 题）（第 15 题）13如图，设 P 是等边ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB 的度数 BCAFE 14如图，一个的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是 2015，那么这样的直角三角形共有几个？说明过程。15如

7、图，用 3 个边长为 l 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为_.16若ABC 的三边 a、b、c 满足条件：cbacba262410338222，求三角形 的周长与面积。江山二中八年级数学（上）培优辅导之五（特殊三角形）班级_ 姓名_ 1已知ABC 两边 a=4，b=3，按以下条件分别求第三边 c 的长度范围。（1）ABC 是直角三角形 （2）ABC 是锐角三角形 （3）ABC 是钝角三角形 2如图，ACB=90，AD 是CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求 AC 的长 3如图，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是斜边 BC 的中点，F、F 分别是 AB、A

8、C 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5，求DEF 的面积 4如图，在ABC 中，AB=AC，(1)若 P 是 BC 边上的中点，连结 AP，求证：BPCP=AB2一 AP2；(2)若 P 是 BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗?若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)若 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB、AP、BP、CP 之间有什么样的关系?请证明你的结论 BCDABCDAFE （备用图）5如图，RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EGAB 交 CB 于 G，求证：CF=GB 6如图，ABC 是直

9、角三角形，ABC90，AB=4，ACB30，D 在 BC 上；如 ADC 沿着 AD 对折，使得 C 点落在 E 处，且 CDDE，求AEC 面积。7如图ABC 和DBE 都是等腰直角三角形，且 A、E、F、D 在一条直线上，BFAD。（1）求证：ABECBD （2）AD、CD、BF 之间有何数量关系？写出并证明你的结论。8ABC，ACB90，分别以三边为边长向外作正ADC、正EBC、正ABF，设它们的面积分别为 S1、S2、S3。（1）直接写出 S1、S2、S3的数量关系：_；证明上述结论。（2）将正ADC、正EBC、正ABF 都改成半圆，结论成立吗？为什么？BCAPBCDAGFE 9（双正

10、方形问题）以ABC 的边 AC、AB 向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，过 A 作 ANBC，交 GE 于 M，求证：M 为 GE 中点。10 如图，在四边形 ABCD 中，ABC=30，ADC=60，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2 11.ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D、E 在 BC 边上，取DAE=45。（1）如 BD=3，CE=4，求 DE 长；（2）当 D 在 E 左边时，写出 BD、DE、CE 之间的等量关系，并证明。江山二中八年级数学（上）培优辅导自测三（特殊三角形）班级_姓名_ 1、直角三角形有两条边的长为 6、8，那么第三边上的中线长是_；2、如等边

11、三角形的边长为4，那么它的面积是_；面积为 163的等边三 角形的边长是_；3、如图，CAB=45o，P 是CAB 内部一点，AP=4，M、N 分别在 AB、AC 上，那么PMN 的周长为_；（第 3 题）（第 4 题）（第 5 题）4、一只蚂蚁从圆柱体的 B 点绕着侧面一圈爬到棱 AB 中点 C 处，如 AB=10,圆柱体的底面周长为 12，那么蚂蚁爬行的最短路程为_；5、RtABC 的斜边 AB=10，AC=8，将 BC 沿 BD 对折，C 点落在 AB 边的 E 点，那么BCDA 折痕 BD=_；SABD=_;6、ABC 的边 AB=20，AC=15,BC 上高 AD=12，则ABC 的

12、面积为_；7、如图，ABC 是等腰直角三角形，ABBC，D 是斜边 AC 的中点，F、F 分别 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 CF=3，AE=4，（1）求 EF 的长。（2）求证：四边形 BEDF面积是一个定值，并求出定值。8、如图，ABC 是等边三角形，延长 BA 到 D 点，延长 BC 到 E 点，使 AD=BE,连接 CD,CE,求证：CD=CE 9、ABC 是等腰直角三角形，C 是直角顶点，将 AC 沿着 AD 对折，使得 C 点落在 E点，再将BDE 沿 DE 对折，B 落在 F 点，设 DE=a，对于下列结果：DF 平分ADE；BC=（2+2）a；AF=FD；BDE 周长

13、=BC （1）正确的结论有_（填序号）（2）选一个结论加以证明。10、ABC 和DBE 都是等腰直角三角形，B 是直角顶点，D 在 AC 边上，如 AD=3，CD=4，求四边形 ADBE 的面积与周长。江山二中八年级数学（上）培优辅导之六（专题练习）班级_ 姓名_【专题一】几何中的多值问题（分类讨论）1、直角三角形有两条边的长为 6、8，那么第三边上的中线长是_。2、直角三角形有两条边的长为 5、12，那么斜边边上的中线长是_。3、用直角边为 3、4 的两个直角三角形拼成一个凸四边形，该四边形周长为_。4、等腰三角形有两边的长为 4 和 6，那么它的周长为_;面积为_.5、等腰三角形 ABC，

14、AB=AC，P 在射线 CB 上，PDAB 于 D，PEAC 于 E，BFAC 于 F，则PD、PE、BF 间的等量关系为_。6、平面上依次四点 A、B、C、D，且 AB=3,BC=12，CD=13，AD=4，A=Rt，则由 A、B、C、D四点依次连接得到的图形面积为_.7、ABC 的边 AB=26，AC=25，BC 上高 AD=24，则ABC 的面积为_；8、等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成 12 和 9 两部分，则它的底边长为_。9、在ABC 中，已知 ABAC，且过ABC 某一顶点的直线可将ABC 分成两个等腰三角形，则ABC 各内角的度数分别为_ 10、等腰三角形腰上的高等于腰的

15、一半，这个等腰三角形的顶角度数为_.11、一个等腰三角形某条边上的高等于其中一条边的一半，这个等腰三角形的顶角度数为_.12、如图直线 m、n 互相垂直，A、B 分别在 n、m 上，在 m 或 n 上找 C 点，使得ABC 为等腰三角形，这样的点 C 可以有_个。（12 题）（13 题）13、RtABC 直角边长 AC=6，BC=8，P、Q 同时分别从 A、B 出发，经 C 点先后到达对方的出发点，已知 P 点和 Q 点运动速度分别为每秒 1 和 2 个单位，作 PDDC，QEDC，问经过几秒钟，PDC 和QEC 全等。【专题二】方程与勾股定理（代数几何相结合）14、等腰三角形 ABC，AB=

16、AC=5，BC=6，则腰上的高=_.15、直角ABC,C=90O,AC=6，BC=8，以 BC 为直角边向外作直角BCD，使得DBC是等腰三角形，则 CD=_。16、旗杆顶端垂下一条绳子，拖在地面的部分长度为 1 米，将绳子下端点沿地面向外拉，绳子拉直时，下端点与旗杆底端距离为 5 米，由此可知旗杆高_米。17、正方形 ABCD 内接一个正三角形 AEF,E 在 BC 上，F 在 CD 上，如 AB=2，求 AE.18、ABC 三边 AB=3，AC=5，BC=7，求三角形面积和A 度数。19、下图ABC，AB=AC=4，A=120O，P 沿 AB，Q 沿 BC 同时出发，设 P、Q 速度分别为

17、 1 和3。（1）当BPQ 为 Rt时，求运动时间。（2）当BPQ 为等腰三角形时，求运动时间。20、如图将 AB=6，BC=8 的长方形沿 BD 对折，使得 C 点落在 C1处，求 AE 及BED 面积。（19 题）（20 题）（21 题）(22 题)21、如图将 AB=6，BC=8 的长方形沿 EF 对折，使得 D 点落在 B 处，C 点落在 D1点；求（1）AE；(2)BEF 面积；（3）折痕 EF。22、如图长方形 ABCD，AB=10，BC=8，P、Q 同时分别从 A、B 出发，沿 ABCDA 运动，当一个点先到达 A 点，另一个点就停止运动；设 P、Q 每秒分别行 2.5 和 2

18、个单位，当BPQ为等腰三角形时，求出运动时间及 BQ 长度。【专题三】最短路线问题（优化思想）1、如图：点 A、B 与直线 m 的距离分别为 300m 和 100m，过 A、B 作 m 垂线段，垂足为 C、D,如 CD=300m，设 P 点在 m 上，则 AP+BP 最短等于_。2、如图：A、B 在 45 网格交点处，小正方形边长为 1，在 m、n 直线上找 C、D 点，使得四边形 ABCD 周长最短，这个最短距离等于_。3、正方形 ABCD 边长为 4，E 是 CD 中点，设 F 在 AC 上，则 FD+FE 最短=_.4、四边形 ABCD,AB=BC=AD=DC=2,D=120O，E 是

19、AB 中的，设 F 在 AC 上，则 FE+FB 最短=_.5、如图：长方形长宽高分别为 5，3，4，现在一只蚂蚁沿着外表面从 A 爬到 B 点，则最短路程=_.6、如图：圆柱体侧棱 AB=10,AG=3,CF=2,圆柱底面周长为 24，如一只蚂蚁从 G 沿着表面爬到F 点，最短路线长=_；如 E 在上面圆周上，则蚂蚁沿着 G-E-F 爬到 F 点，最短路线长=_。7、如图：从圆柱 B 处出发将绳子在面上绕一周半，另一端恰好在 C 点，如 AB=5，圆柱底面周长为 8，则绳子最短长_.8、如图：A、B 是河岸两侧的两点，要在河上建一座桥 CD,（CDm），怎样建，使得 A 到 B的路程最短？画

20、出示意图，并写出画法。江山二中八年级数学（上）培优辅导之六（专题练习）班级_ 姓名_【专题四】动态探究问题（分类和转化思想）1、已知两个共一个顶点的等腰 RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M 是 AF 的中点，连接 MB，ME.（1）如图，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；（3）如图，当BCE=45时，求证：BM=ME.2、将 RtABC 绕直角顶点 C 逆时针转 a 度到A1B1C（a 为锐角）。（1）如 a=30o，求DBB1；(2)若 A1B1过 A 点，求 a；（3）a 为多少，DBB1

21、是等腰三角形。3、正ABC 内有 O 点，AOB=110O，BOC=a，将三角形 BOC 绕 C 点顺时针转 60O得ADC，连 OD。（1）判断说明ODC 形状；（2）如 a=150O，AO=10，BO=8，求 CO。（3）如ODA 为等腰三角形，求 a 值。4、等腰直角ABC，CDAB，（1）将ACD 绕点 D 旋转，使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E、F，如图 1，求证：AE 2BF 2EF 2；（2）将ACD 绕点 C 旋转，使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 E、F，如图 2，此时 AE 2BF 2EF 2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，满足CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N，试问线段 BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。；