激光物理第7章静止原子激光器的振荡理论.ppt

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1、第7章 静止原子激光器的振荡理论固体激光器、半导体激光器以及染料激光器的激活介质粒子是固定不动的，或者其运动速度是可以忽略不计的。这类激光器是静止原子激光器，其介质主要是均匀加宽。首先求解二能级原子系综的密度矩阵运动方程，求出非对角元ab与ba利用式(5.6.5)得到介质的宏观极化强度(5.6.5)利用激光电磁场方程讨论激光振荡的振幅特性与频率特性。(6.3.47)7.1 单模振荡7.1.1 集居数矩阵的运动方程由大量原子组成的系综，必须根据其激发状态以及工作介质的物理状态，对系综内各种原子的密度矩阵进行统计平均，从而得到集居数矩阵的运动方程。其形式为(7.1.1)(7.1.2)(7.1.3)

2、(7.1.4)在单位时间内，由于外界激发而使得上能级的原子数得增加率（a），由于自发辐射或其它弛豫过程使该能级上得原子数目得衰减（-aaa），以及由于受激辐射而使得上能级数目的减少(7.1.1)表示能级a的原子数随时间的变化来源于:7.1.2 单模振荡的一阶理论对集居数矩阵的运动方程进行具体的求解。先从其中的第三个方程(7.1.3)入手。由于气体中原子弹性碰撞或固体中声子-原子相互作用可以使ab比对角元的衰减得更快，这样非对角元的总衰减率应为（）（）式中相由于毁相碰撞引起的非对角元ab的衰减率。本节讨论静止原于情形，并且假定腔内只有第n个纵模产生振荡，即式（）中的激光场E表示(7.1.5)式中

3、En(t)、n(t)满足兰姆自洽场方程式。场与原子相互作用项为(7.1.6)要解出ab，必须知道aa和bb。求aa、bb又必须知道ab和ba。因而无法求出 集居数矩阵元的精确解析解，而只能在某些假设条件下求近似解。1一级近似如果a(z,t0)、b(z，t0)是时间的慢变化函数，在 a-1和 b-1时间内变化不大，将上而式积分可得对于式(7.1.3),如果不计常数因子，其解为当E(z,t)=0时，式(7.1.1)(7.1.2)两式为(a1)N(z)仅是位置的函数，即反转粒子数不随时间而变。这样，在式(a1）中，可将(aa-bb)视为与时间无关的常数而移出积分号外，然后将式(7.1.5)的En(z

4、,t)代入，得到令(7.1.7)假设En(t)、n(t)均为时间的慢变化函数，因此,与它们有关的因子也移出积分号外，完成积分得到由于0n,并且0和n均显著大于，因此上式括号中的第二项与第一项相比可以忽略。略去高频反共振项在电磁共振中称为旋转波近似。于是上式写成将上两式代入(7.1.10)一级近似由于ba=ab*，所以得到宏观电极化强度（）(7.1.11)根据(6.3.40)式，可得P(1)(z,t)的空间傅里叶分量为其中(7.1.12)(7.1.13)激活介质的平均反转原子数000000将式（）与式（）比较，得到(7.1.14)(7.1.15)在反转原子数不变的近似下，宏观电极化强度是电场强度

5、的线性函数。下面讨论模的振幅特性和频率特性。将式(7.1.15)代入兰姆自洽场方程式(6.3.47)，得到(7.1.16)这是模的振幅所满足的方程第一项表示在介质内平均反转原子数 情况下腔内介质的极化导致振幅的增长。第二项表示由腔内存在的各种损耗机制导致的振幅的衰减。因为光强正比于振幅的平方，所以从式(7.1.16)可知光强的时间增益系数为00(a1)可见静止原于的增益系数具有洛仑兹线型，线宽为n=2 ，这个结论与经典理论是一致的。Gt(n)与单位长度的增益系数g(n)有如下关系式中c一光速从式(7.1.16)看出，如果要求激光振荡的振幅随时间增加，而不因腔的损耗按指数衰减，则必须有(7.1.

6、17)0激光振荡的阈值条件由上式所决定上式表明，要实现激光运转，激活介质所获得的增益至少应等于各种损耗机制所导致的损耗。当振荡被调谐到谱线中心频率时(n=0)，对该模，阈值反转原子数 由下式给出或(a2)可见，谐振腔的Q值越高，介质的能级寿命越长（即 越小)，偶极跃迁几率越大，则阈值反转越小，越容易实现激光振荡。从式(7.1.16)还可以着出，当反转原子数超过阈值反转数时，模的振幅按指数增大起来，而且在此近似下，这种增大是无限制的。（？）一级近似中，作了反转原子数不变的假设,因而不能说明饱和效应。所以只能预言激光器的阈值行为，而不能预言激光器在阈值以上是如何自行调整到稳态运转的。模的频率特性

7、如果考虑阈值运转情况，就可以在式(7.1.17)中取等号，解出 代入上式得到 并略去(7.1.18)(7.1.19)(6.3.47)(7.1.14)激光振荡频率n均与腔的共振频率n不一致。当介质工作谱线的中心频率0比振荡频率高(n n；如果n 0，则必有n n。这说明实际的振荡频率相对于腔的共振频率n而言，总是向中心频率靠近，这正是经典理论所讨论的频率牵引效应。(7.1.19)7.1.3 单模振荡的三阶近似理论1、二阶近似(7.1.1)前面我们从(aa-bb)与时间无关的条件下，得到非对角元素的一级近似解ab(1)和ba(1),讨论了模的振幅特性和频率特性。为了研究阈值以上激光器的行为，必须考

8、虑受激辐射对粒子反转数的影响，这就需要求解集居数矩阵方程中的对角元aa和bb。从集居数矩阵运动方程）知 略去以2 n为频率的振荡项和分子中含有0-n 的项，则上式中(3.1.26)于是(7.1.20)00000令对于bb，同样可得到(7.1.20)(7.1.23)(7.1.26)则激光上、下能级的速率方程 称R为受激辐射速率参数,它依赖于辐射的强度、两能级间的跃迁几率(正比于D）、两能级间的平均衰减率以及模频率n均到谱线中心频率0的距离00(7.1.27)速率方程(7.1.26,27)是在假设(aa-bb）不随时间而变的条件下得到的。只要(aa-bb)随时间的变化相对于-1来说是慢变化的，就可

9、以将(aa-bb)提到积分号外，这个近似就称为速率方程近似。这种近似的适用条件是:1.由泵浦、驰豫(衰减）过程导致粒子数布居的变化同-1 比是慢变化；2.同时要求场的强度不能太强，使得受激辐射过程导致粒子反转数的变化同-1 比也是一种慢变化。将式(7.1.26,27）对时间积分，并利用速率方程近似，得到(7.1.25)(7.1.24)称Rs为饱和参量,它是系统趋向饱和快慢的量度。从两式可得：当电场强度E=0时,aa-bb =aa(0)-bb(0)，所以(aa-bb)的零级近似值就是不存在电场时(aa-bb)的值。当E0时，随着E的增大，R增大，粒子反转数(aa-bb)减少，这就是粒子反转数的饱

10、和现象。反转数决定激光介质增益，所以E越强时(即光强越强)，增益就越小，这将使光强增大的速率变慢，从而最终总会使得光强趋于一个稳定值。(7.1.25)(7.1.23)0R是空间坐标z的周期为n/2的周期函数，所以粒子反转数(aa-bb)也是z的周期函数。在驻波波腹处，光强最强，R最大，粒子反转数下降得最多；在驻波波节处，光强为零，粒子反转数基本上没有什么变化。于是粒子反转数相对于z的变化曲线将出现周期性地凹陷，这种现象称为空间烧孔效应，相邻两孔之间距离为1/2波长，如图02.三阶近似 计算积分时仍采用速率方程近似。同求解ab(1)时的过程一样，得到（）(7.1.25)(d1)(7.1.10)0

11、假设R/Rs0时，En指数增加，随着En的增加，nIn增大，使得En增长率下降，这就是饱和效应。最后在 n=nIn时，En=0达到稳定振荡。将上式两边同乘以EnD2/ab，可以得到如下形式(7.1.34)利用初始条件In(0)=I0定出常数，最后得到 上式为无量纲光强随时间的变化规律。最初，对于小的I0，有 nI0 n，从上式可见，近似有 即在器件开始运转的时刻，腔内光强按指数规律增长。随着时间的推移，nI0 项逐渐增大，使In(t)的增长速率减慢，最后光强趋向一个稳定值(7.1.39)(7.1.38)时间t是以n 为单位表示的四条曲线自下而上分别对应于 n/n=0.25，0.50，0.75和

12、1.0式中 谱线中心的阈值反转数。称为相对激发度。由上式可知，In是失谐量(0-n)的函数。将 n与 n的表达式代入式(7.1.39)，可以得到稳态光强的明显表达式(d8)00相对激发度自下而上分别取1.05、1.10、1.15和1.20。由图可见，稳态光强在谱线中心处形成高峰，这是因为现在讨论的是静止原子，不可能出现Lamb凹陷的情况。图中所用参数=2 100MHz，=2 55.55MHz。如果用式(d4)表示的 代替式(a1)中的 ，就可得到三级近似情况下光强的时间增益系数在弱饱和下，上式右端中括号中第二项远比1小，可作1-x1/(1+x)近似，这样就得到(a3)00中心频率处的小信号增益

13、为(a3)其中饱和光强(a5)(a4)(a3)可表示为(a6)在稳态时，光强的时间增益系数应等于它的时间损耗系数，即稳态时，应有(a6)将式(a3)代入，就可得到稳态时光强式(a2)在n=0时，上式可简化成(a7)(a8)当腔内光强增加时，-nIn项起作用，结果使频率牵引减少，所以-nIn 为频率推斥项。推斥的原因是，由于饱和效应，使反转粒子数下降，而由一级近似计算 n时用的是未饱和的反转数 ，将牵引量估算多了，-nIn正是对此作出的修正。将 n和n的表达式代入式(7.1.37)中，模的频率特性 线性模牵引系数线性模牵引系数模推斥系数模推斥系数(7.1.37)在稳态下将得到(d9)其中(d10

14、)稳定因子。表示模的频率移动(相对于无源腔频率)相对于失谐量(0-n)所占的比例数。(7.1.38)可得 无源腔模的线宽 原子谱线的均匀线宽 0000典型的S值大约在0.010.1范围，说明频率牵引量只是失谐量0-n 的一个很小的分数。由于S1，nn，所以常用下式来代替式(d9)(d11)折射率略去推斥效应，即将一级近似解时S的值代入，注意nn，就得到(d12)上式所表示的折射率与频率的依赖关系如图(d13)7.2静止原子激光器的多模运转 当有两个模或多个模在一个激光器里振荡时，由于介质的非线性而产生拍频，反转数(aa-bb)会含有频率为模间频率整数倍的脉动。这些变化与原子衰减率 相比较一般同

15、样大或者更大一些，因此上节中的速率方程近似可能导致不正确的结果。下面我们采用微扰方法来求解集居数矩阵运动方程。1.一级近似 在多模振荡时，集居数矩阵运动方程仍为式(7.1.14)所表示，只是腔内的电场应为 微扰能相应地变为(7.2.1)(d14)反转粒子数的零级近似(E(z,t)=0)(7.2.2)并假定E(z,t)、En(t)和 的在时间1/内变化很小，重复上节处理单模时所采用的步骤，可得(7.2.10)若N(z,t)不是位置z的函数，利用sinkz的正交性有(7.2.3)00式）与式（7.1.12)完全相同。由此看出，在一级近似下，若N(z，t)不是位置的函数，Pn(t)只与第n个模的场有

16、关，和其它模无关，各个模的行为彼此独立。这种近似下的理论仅仅适用于阈值情况。(7.2.11)(d15)其中002.三级近似 将方程）和它的共轭式代入式（)中，忽略高频项并积分，可得 若N(z,t)、E(t)、E(t)、均为t的慢变化函数，与它们有关的因子可提出积分号外，并将t换成t，完成上述积分，可得 0式中(d16)(7.2.4)(7.2.6)同理可得(7.2.5)(7.2.4)-(7.2.5)式:即：在多模辐射场作用下，反转粒子数的二级修正值以各种纵模之间两两差频（-）波动，这和单模情况是不同的。对非对角元的三级修正时，（aa(2)-bb(2)）不能提出积分号外，即不能采用速率方程近似，否

17、则这种波动被忽略(7.2.7)考虑到ab 的三级近似值，ab应为(7.2.8)将方程）代入式（)式，忽略高频项，并考虑N(z,t)、E n(t)、的慢变化特性，完成积分，可得 于是宏观极化强度其中(7.2.10)00相对位相角(7.2.13)(7.2.9)其中P(z,t)的空间傅立叶分量为(7.2.12)00式中 表示电极化强度Pn(3)(t)的振幅调制，它是由各个模之间的拍频造成的。(d17)的极化场才能对振荡模n作出贡献。这相当于要求腔频满足 从物理上可理解为:以纵模差频(-)调制的粒子数反转介质与模作用时,产生频率为(-+)的极化场。考虑到指标、是活动的，因此，介质的极化在 两侧产生边带

18、(或边频)，从而可对位于边带附近的第n个模作出贡献。由于谐振腔的Q值很高，谐振宽度c=n/Qn很窄，因而只有满足频率关系 (7.2.14)即式(d17)中求和的各个指标必须满足式（)，才能使n模的极化振幅Pn(t)为时间的慢变化函数。这样，式(d17)中的四个正弦的乘积利用三角函数中的积化和差写为 或波矢满足即指标满足(d18)上式共八项。符合条件式(7.2.14)的只有三项 上式代入（d17），得(7.2.15)(d19)当=时，而当-=1时式中(7.2.16)与介质在腔内的位置有关(7.1.12)Cn(1)(t)与Sn(1)(t)；(7.2.15)Cn(3)(t)与Sn(3)(t)。将Cn(t)=Cn(1)(t)+Cn(3)(t)，Sn(t)=Sn(1)(t)+Sn(3)(t)代入自洽方程可得式中n 总饱和系数，其他参数如n、n、F1等均与单模情况的相应参数相同。(7.2.17)其中(7.2.19)(7.2.18)式(7.2.17)与式(7.2.18)中的求和指标必须满足式(7.2.14)。式(7.2.17)和式(7.2.18)为静止原子多模运转时，场的振幅和频率所满足的方程。从振幅方程可以看出，除了包含在单模情况下增益项和饱和项以外，还包含有由极化强度的非线性而产生的模耦合项。由频率所满足的方程可以找出模的自锁条件。