物理-刚体的定轴转动.ppt

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1、物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体：刚体：在外力作用下，形状和大小都不在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体发生变化的物体(任意两质点间距离保持任意两质点间距离保持不变的特殊质点组不变的特殊质点组)刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的 考虑物体大小考虑物体大小、形状，忽略形变形状，忽略形变说明：说明：1物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 平动：平动：刚体内任刚体内任意一条给定的直线，意一条给定的直线，在运动中始终保持它在运动中

2、始终保持它的方向不变的方向不变 2、各点位移都相同，运动状态一样，如：各点位移都相同，运动状态一样，如：等都相同等都相同 特点：特点：1、所有点的所有点的运动轨迹都完全相同运动轨迹都完全相同2物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 质心运动定理：质心运动定理：3 3、刚体中任意一点的运动都可代替整个刚、刚体中任意一点的运动都可代替整个刚体的运动，体的运动，通常以通常以质心质心的运动来代表整个刚的运动来代表整个刚体的平动。体的平动。不管物体的质量如何分布、外力作用在不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质心的运动就象物体的全部质

3、量什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。的一个质点的运动一样。3物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动转动：如果刚体在运动时，各个质点在：如果刚体在运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动便叫做转动。运动便叫做转动。转轴转轴：质点转动所围绕的直线。：质点转动所围绕的直线。定轴转动定轴转动：转轴固定不动：转轴固定不动非定轴转动非定轴转动：转轴可以运动：转轴可以运动4物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的

4、定轴转动刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成哑铃哑铃炮弹炮弹5物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的刚体的平面运动平面运动 6物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动(1)每一质点均在垂直于转轴的平面内作圆每一质点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆面为转动平面；圆心为转动中心周运动，圆面为转动平面；圆心为转动中心(2)各点的轨迹是半径大小不一的圆，同一各点的轨迹是半径大小不一的圆，同一时间内，各点的路程不同。时间内，各点的路程不同。定轴转动的定轴转动的特点特点(3)各

5、点的半径扫过的角度相同，即角各点的半径扫过的角度相同，即角位移相同，从而位移相同，从而 相同相同一一 刚体定轴转动描述刚体定轴转动描述7物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动沿沿逆时针逆时针方方向转动向转动角位移角位移 角坐标角坐标沿沿顺时针顺时针方方向转动向转动q角速度矢量角速度矢量P(t+dt).OxP(t)r.描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量 标量描述标量描述角加速度角加速度8物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动角位移角位移角速度矢量角速度矢量大小：大小：dt时间转过的角度时间转过的角度 方向方向:右手螺旋方向右手螺旋

6、方向P(t+dt).OxP(t)r.定轴转动的矢量描述定轴转动的矢量描述大小：大小：方向方向:右手螺旋方向右手螺旋方向9物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动在定轴转动中，角在定轴转动中，角位移、角速度和角位移、角速度和角加速度的方向沿转加速度的方向沿转轴方向。可以用轴方向。可以用正、正、负负来表示来表示.角加速度角加速度10物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动二二 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的角加速度当刚体绕定轴转动的角加速度=常量常量时

7、，刚体做时，刚体做匀变速转动匀变速转动11物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动三三 角量与线量的关系角量与线量的关系对轴对轴对点对点12物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动13物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 例例1一刚体绕轴（一刚体绕轴（z轴）每分钟轴）每分钟60转，转，沿沿z轴正方向，刚体上一点轴正方向，刚体上一点P的位矢为的位矢为则则P点的速度为点的速度为()解解14物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 例例2在高速旋转的微型电动机里，有一在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱

8、形转子可绕垂直其横截面并通过中心的圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为：后其转速随时间变化关系为：式中式中 求求：(1)t=6 s时电动机的转速时电动机的转速(2)起动后，起动后，电动电动机在机在 t=6 s时间内转过的圈数时间内转过的圈数(3)角加速度角加速度随时间变化的规律随时间变化的规律15物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动(2)电动机在电动机在6 s内转过的圈数为内转过的圈数为解解(1)将 t=6 s 代入代入(3)电动机电动机转动的角加速度为转动的角加速度为16

9、物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动例例3在高速旋转圆柱形转子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？比问在这段时间内，转子转过多少转？解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 得得17物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动当当 t=300 s 时时18物理学物理学第五版第五版4-14-1刚体的定轴转动刚体的

10、定轴转动由由得得在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数19物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理P*O :力臂力臂 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 一力矩一力矩 描述力对刚体的转动作用描述力对刚体的转动作用在垂直于转轴的平面内。在垂直于转轴的平面内。注意：注意：转转动动中中心心 力的作用点相对于转动中心的位矢力的作用点相对于转动中心的位矢方向：右手螺旋，沿转轴方向：右手螺旋，沿转轴20物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理O讨论讨论 （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个

11、分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩21物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理（2）力矩方向与转动效应的关系：力矩方向与转动效应的关系：右手螺旋右手螺旋力矩方向：沿转轴力矩方向：沿转轴转动效应：顺时针或逆时针转动效应：顺时针或逆时针可以用标量表示可以用标量表示oPoP22物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理（3）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和如规定转轴的如规定转轴的oz方向为方向为正方向，按力矩定义正方向，按力矩定义 ，与转轴同向为

12、正，反，与转轴同向为正，反向为负。向为负。例例:右图中右图中23物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理O （4）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消24物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理O二二 转动定律转动定律 （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接25物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力外外力矩力矩内内力矩力矩O26物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 刚体定轴转动

13、的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量O27物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理讨论讨论（1）（2）（3）=常量常量转动定律转动定律28物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度.转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2定义定义:刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴的距离刚体各质点的质量与各

14、自到转轴的距离平方的乘积之和。平方的乘积之和。29物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理v 质量离散分布质量离散分布 J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布：质量元：质量元：体积元：体积元：面积元：面积元：线元：线元30物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理影响刚体的转动惯量的因素：影响刚体的转动惯量的因素：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的质量与刚体的质量有关有关（2）与质量的几何分布有关与质量的几何分布有关说说 明明J 小小J 大大质量分布离轴越远质量分布离轴越远J 越大越大.同一刚体，转轴位置不

15、同，转动惯量不一样。同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。当总质量一定时，当总质量一定时，31物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 回转半径：回转半径：式中式中m为刚体质量，为刚体质量，rG称为回转半径称为回转半径就转动规律而言就转动规律而言，假设将刚体的所有质量集假设将刚体的所有质量集中在一个半径为中在一个半径为r rG G细圆环上。细圆环上。转动惯量叠加性转动惯量叠加性32物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理例例1 1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量

16、。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解解：讨论讨论:J具具可加性，所以若可加性，所以若为为薄圆筒薄圆筒（不计厚度）结（不计厚度）结果相同。果相同。dm33物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理例例2 2 求质量为求质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒对下面三的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：种转轴的转动惯量：(1)(1)轴通过棒的中心并和棒垂直；轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)(2)轴通过棒的一端并和棒垂直轴通过棒的一端并和棒垂直；34物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理l/2l/2OxdxA解解 如如图图所所示示，以以中中点点O

17、O为为左左边边原原点点，向向右右为为正正。在在棒棒上上离离轴轴x处处，取取一一长长度度元元dx，如如棒棒的的质质量量线密度为线密度为，这长度元的质量为，这长度元的质量为dm=dx。（1 1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有35物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理因因 l=m，代入得代入得（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并和棒垂直时，并和棒垂直时，lxAdx同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量不相同。同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量不相同。36物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转

18、动定理例例3 3 求求圆圆盘盘对对于于通通过过中中心心并并与与盘盘面面垂垂直直的的转转轴轴的的转转动动惯惯量量。设设圆圆盘盘的的半半径径为为R，质质量量为为m，密度均匀。密度均匀。rRdr解解 设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半，在圆盘上取一半径为径为r、宽度为、宽度为dr的圆环（如图），环的面积的圆环（如图），环的面积为为2 rdr，环的质量，环的质量dm=2 rdr 。可得。可得37物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一

19、与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CO38物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量OO1d=L/2O1O2O239物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？40物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理(2)为瞬时关系为瞬时关系(3)转动中转动中 与平动中与平

20、动中 地位相同地位相同(1),与与 方方向相同向相同 说明说明 转动定律应用转动定律应用41物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理解题步骤解题步骤1.1.确定研究对象，隔离物体；确定研究对象，隔离物体；2.2.运动分析；运动分析；3.3.受力分析；受力分析；4.4.选择参考系与坐标系；选择参考系与坐标系；5.5.列方程求解；列方程求解；6.6.必要时进行讨论。必要时进行讨论。刚体定轴转动的转动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用42物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理注意注意以下几点：以下几点：1.1.力矩与转动惯量必须对力矩与转

21、动惯量必须对同一转轴同一转轴而言的；而言的；2.2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；或角加速度、角速度的正负；3.3.系统中有转动和平动，系统中有转动和平动，转动物体转动物体转动定理转动定理平动物体平动物体牛顿定律牛顿定律43物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 例例2一根轻绳跨过一定一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别的两端分别 悬有质量为悬有质量为 m1 和和 m2 的物体，的物体，m1 m1，m1向上运动，向上运动，m2向下运动，向下运动，滑轮顺时针滑动

22、；滑轮顺时针滑动；用用隔离法隔离法分别对各物体作受力分析，分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系.对各隔离体写出运动方程：对各隔离体写出运动方程：46物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理对对m1：对对m2：对对m：无相对滑动无相对滑动47物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理解得：解得：48物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理注意注意（1）当不计滑轮的质量及摩擦阻力时当不计滑轮的质量及摩擦阻力时问：如何求角加速度，如何求角速度？问：如何求角加速度，如何求角速度？根据根据 可求角加速度

23、；可求角加速度；（2）若有摩擦阻力矩，先判断运动方向，若有摩擦阻力矩，先判断运动方向，再根据运动方向确定阻力矩方向再根据运动方向确定阻力矩方向根据根据 可求角速度；可求角速度；49物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理（3）轴处力不会产生力矩，刚体定轴转动轴处力不会产生力矩，刚体定轴转动时，轴处力不分析时，轴处力不分析（4）绳和滑轮间无相对滑动时，绳的线加绳和滑轮间无相对滑动时，绳的线加速度和滑轮边沿处切向加速度相等速度和滑轮边沿处切向加速度相等 上上题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g的的简简单单装

24、装置置。因因为为在在已已知知m1、m2、r和和J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通过加速度把，再通过加速度把g算出来。算出来。50物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例3一长为一长为 l、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链

25、其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg51物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得式中式中得得m,lOmg52物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理由角加速度的定义由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，对上式积分，利用初始条件，m,lOmg解得：解得：有有53物理学物理学第五版第五版4-24-2刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理用求导的方法用求导的方法积分加初始条件积分加初始条件刚体定轴转动的两类问题：刚体定轴转动的两类问题：作业：作业：p35 1，2，4，554