特征中与特征向量.ppt

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1、线性代数与空间解析几何 哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲特征值与特征向量特征值与特征向量2007.9第六章1l特征向量与特征向量特征向量与特征向量l相似矩阵相似矩阵l矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化本章的主要内容本章的主要内容2 在工程技术中有许多与振动和稳定性在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学学),在数学中在数学中,解微分方程组及简化矩解微分方程组及简化矩阵的计算等阵的计算等,都会遇到这样的都会遇到这样的问题

2、问题：1.对于给定的对于给定的3阶方阵阶方阵A,是否存在是否存在非零列非零列向量向量X,使向量使向量AX与与X平行平行？2.如果存在这样的如果存在这样的X,则该如何求这个则该如何求这个X？AX=X问题的提出：问题的提出：3设设则对于则对于有有而对于而对于 可见有些向量可见有些向量X,有有AX与与X平行平行这个性这个性质质,而其它向量则没有这个性质而其它向量则没有这个性质.有这样性有这样性质的向量称为特征向量质的向量称为特征向量.例例146.1 特征值与特征向量特征值与特征向量l特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念l特征值与特征向量求法特征值与特征向量求法l特征值与特征向量的性质特征值与

3、特征向量的性质l实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的特征值与特征向量本节的主要内容本节的主要内容5设设A是是n阶方阵阶方阵,若存在数若存在数 及及非零非零列列向量向量X,使得使得则称则称 是是A的的特征值特征值,X是是A的属于的属于特征值特征值 的的特征向量特征向量.1.若若X=0,则则A0=0,()成立成立.2.几何意义几何意义:向量向量AX=注注AX=X,1.定义定义6.1.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念6l求方阵求方阵A的特征值的特征值:称称即即为矩阵为矩阵A的的特征多项式特征多项式,征值的征值的问题就问题就转化为求转化为求特征方程根特征方程根的问题的问题.AX=X(X

4、 0)有非零解有非零解为矩阵为矩阵A的的特征方程特征方程,求矩阵特求矩阵特2.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法7l求方阵求方阵A的特征向量的特征向量:求求所对应的特征向量问题就转化为所对应的特征向量问题就转化为求齐次线性方程组的求齐次线性方程组的非零解非零解问题问题.由齐次线性方程组解的性质知特征向由齐次线性方程组解的性质知特征向量有以下量有以下2条条性质性质:(1)(1)X是属于是属于 的特征向量的特征向量,则则(2)(2)是属于是属于 的特征向量的特征向量,则则的非零解的非零解8 对对A的特征值的特征值 ,称方程组称方程组的解空间的解空间 为为A的关于特征值的关于特征值的特征子

5、空间的特征子空间.l特征子空间特征子空间:l求求A的特征值与特征向量的步骤如下的特征值与特征向量的步骤如下:(1)由由 求求A的特征值的特征值(2)分别把分别把A的每个特征值的每个特征值 代入方程组代入方程组 ,求出它的基础解系求出它的基础解系.则基础解系的所有则基础解系的所有非零非零线性组合就是线性组合就是 A的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量.9,求求A特征值和特征向量特征值和特征向量 及特征子空间及特征子空间.解解 (1)(1)求求A的特征值的特征值A的特征值为的特征值为对对 ,解方程组解方程组(2)(2)求特征向量求特征向量例例2 210由由得同解方程组得同解方程组:得基础解系

6、为得基础解系为得得A的属于的属于-1-1的全部特征向量为的全部特征向量为是不全为是不全为0的任意常数的任意常数.11对对 ,解方程组解方程组得同解方程组得同解方程组:得基础解系为得基础解系为得得A的属于的属于5 5的全部特征向量为的全部特征向量为是不为是不为0的任意常数的任意常数.12得得A的关于特征的关于特征值值-1和和5的特征的特征子空间子空间为：为：为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数131.1.特征值的性质特征值的性质性质性质1 1 设设 为为n阶矩阵阶矩阵A的特征值，的特征值，则则证证 由已知由已知6.1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质14只能出现在只能出现在乘

7、积项中乘积项中.另一方面另一方面,比较比较(1),(2)(1),(2)中中 的系数及常数项的系数及常数项,得结论得结论.15则则设设为为n阶方阵阶方阵A的特征值的特征值,且且1.有有0 特征值特征值.2.A可逆可逆注注:A的的特征值都非特征值都非0.证证则则(X0)用数学归纳法可得用数学归纳法可得,对对 k N,有有性质性质216若若且且A可逆可逆,则则例例3 3(X0)，证证且且 A可逆可逆,则则而而X也是也是 的属于特征值的属于特征值的特征向量的特征向量.定义法定义法定义法定义法172 2.特征向量的性质特征向量的性质定理定理1 1 如果如果 1,2,m是是n阶阶方阵方阵A的互异的互异 特

8、征值特征值,则它们所则它们所对应的特征向量对应的特征向量 X1,X2,Xm线性无关线性无关.证证 由已知由已知对特征值个数对特征值个数m用数学归纳法用数学归纳法.当当m=1时时,因为因为X1 0,所以所以结论成立结论成立.18设设m-1个特征值时结论成立个特征值时结论成立,考虑考虑m的情形的情形.A左乘左乘(1)式等号两端式等号两端,得得用用 m乘乘(1)式两端式两端,得得(2)式减式减(3)式式,得得即即19 k1(1-m)X1+km-1(m-1-m)Xm-1=0由归纳假设由归纳假设 X1,X2,Xm-1线性无关线性无关.所以所以 ki(i-m)=0，i=1,2,m-1由已知由已知 i m,

9、i=1,2,m-1,得得ki=0,i=1,2,m-1,代入代入(1)式式,有有kmXm=0,又又Xm 0,所以所以 km=0.故故 X1,X2,Xm线性无关线性无关.20设设 1,2,s的是的是A的的s个互异的个互异的也线性无关也线性无关.这个推论的证明与定理这个推论的证明与定理1类似类似.推论推论2 2 若若A有有n个个互异互异特征值特征值,则则A必有必有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量推论推论1 1特征值特征值,而而 是属于是属于 i的的mi个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,i=1,s,则则21 实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的性质实对称阵的

10、性质:性质性质1 1 实对称阵的特征值都是实数实对称阵的特征值都是实数.性质性质2 2 实对称阵实对称阵对应于不同特征值的对应于不同特征值的实实 特征向量必正交特征向量必正交.证证 设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,是是A的的的特征值的特征值,且且A =,A 2=2 2往证往证 1T 2=0.22 1 1T 2=(1 1)T 2=(A 1)T 2=1TAT 2 =1T(A 2)=T(2 2)=2 1T 2 (1-2)1T 2=0 1T 2=0.实对称阵的实对称阵的ri重特征值重特征值 i一定有一定有ri个个线性无关的线性无关的实特征向量实特征向量.即方程组即方程组的基础解系恰好含有的基础解

11、系恰好含有ri个向量个向量.性质性质3 323设三阶实对称阵设三阶实对称阵A 的特征值为的特征值为-1,1,1,-1所所对应的特征向量为对应的特征向量为(0,1,1)T.求求1对应的特征向量对应的特征向量.解解设设 X=(x1,x2,x3)T,是不全为是不全为0的任意常数的任意常数.例例4 424本节主要内容本节主要内容l相似矩阵的概念相似矩阵的概念l方阵相似对角化的条件与方法方阵相似对角化的条件与方法l几何重数与代数重数几何重数与代数重数l实对称矩阵正交相似对角化实对称矩阵正交相似对角化的方法的方法6.2 相似矩阵相似矩阵25设设A,B是两个是两个n阶方阵阶方阵,如果存在如果存在可逆矩阵可逆

12、矩阵T,使使T-1AT=B则称则称A与与B相似相似,记作记作AB.从从A到到B 的这种变换的这种变换称称为相似变换为相似变换,T为为相似变换相似变换矩阵矩阵.相似矩阵的概念相似矩阵的概念1 定义定义例如例如 T-1ET=E,26即相似关系即相似关系满足满足:(1)自反性自反性:AA;(2)对称性对称性:若若AB,则则BA;(3)传递性传递性:若若AB,BC,则则AC.矩阵的相似关系是矩阵的相似关系是 上的一种等价关系上的一种等价关系,所以彼此相似的矩阵构成一个等价类所以彼此相似的矩阵构成一个等价类,最简单的代表元就是最简单的代表元就是对角阵对角阵.272 2 相似矩阵的相似矩阵的特征多项式特征

13、多项式定理定理6.2 6.2 若若A与与B相似相似,则特征多项式同则特征多项式同,即即证证因因A与与B相似相似,所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵T,使使T-1AT=B28则则 是是A 的的n个特征值个特征值.推论推论 若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵相似相似,结论成立结论成立.293 相似矩阵有相似矩阵有5 5(4)迹同迹同:(1)特征多项式同特征多项式同:(2)特征值同特征值同:(3)行列式同行列式同:(5)秩同秩同:如果如果A,B是两个是两个n阶方阵阶方阵,AB.则则有有但逆命题不成立但逆命题不成立即即特征值同但不特征值同但不相似相似阵阵(2)的反例如下的反例如下:30(1)相似矩阵有

14、相同的可逆性相似矩阵有相同的可逆性,当当A可逆时可逆时,若若AB,则则A-1-1B-1-1,B*A*,B*=T-1A*T.(2)若若AB,则则Am Bm,其中其中m是正整数是正整数.(3)若若AB,设设 f(x)是一个一元多项式是一个一元多项式,则则 f(A)f(B),4 相似矩阵相似矩阵的的同同性性质质(5)若若AB,则对则对 常数常数t t有有(4)若若AB,则则AT BT.31与与相似相似,解解由由|5E A|=5-5x=0 x=1tr(A)=x-2=tr()=yy=-1.例例1 1求求 x,y.两矩阵相似两矩阵相似等价等价5 矩阵的相似与等价的关系矩阵的相似与等价的关系显然显然A有特征

15、值有特征值 5,-,-5.32 相似对角化的条件及方法相似对角化的条件及方法1 定义定义 若若A与对角阵相似与对角阵相似,称称A可以可以相似相似对角化对角化.2 相似相似对角化的条件对角化的条件定理定理6.3 n阶方阵阶方阵A与对角阵相似与对角阵相似A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,且且 的主的主对对角线上元素是与其对应的角线上元素是与其对应的特征值特征值.T-1AT=为对角阵为对角阵T的的n个列向量是个列向量是33证证设设A与对角阵相似与对角阵相似,则则 可逆阵可逆阵T,使使所以有所以有 AT=T 用用T1,T2,Tn表示表示

16、T 的的n个列向量个列向量,即即T=(T1,T2,Tn)(注意注意:证明过程给出相似对角化的方法证明过程给出相似对角化的方法)34即即 A(T1,Tn)=(AT1,ATn)=等式两边的列向量应当对应相等等式两边的列向量应当对应相等,所以所以:由由T可逆知可逆知,T1,Tn线性无关线性无关,故是故是A的的 n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.35 设设T1,T2,Tn是是n个线性无关的列向量个线性无关的列向量,满足满足:ATi=iTi,i=1,2,n如果令如果令 T=(T1,T2,Tn)AT=A(T1,T2,Tn)=(AT1,AT2,ATn)=(1T1,2T2,nTn)=(T1,T2,T

17、n)diag(1,2,n)=Tdiag(1,2,n)T-1AT36A可相似对角化可相似对角化.若若A有有n个个互异互异特征值特征值l 例如例如,n阶单位阵阶单位阵E 可对角化可对角化,但是它的但是它的 互异特征值只有互异特征值只有1个个(n重重).属于属于A的的不同特征值的特征向量线性无关不同特征值的特征向量线性无关问题问题：若若A可相似对角化可相似对角化,那么那么A一定一定有有n个个 互异互异特征值特征值?推论推论376.2.3 几何重数与代数重数几何重数与代数重数l几何重数几何重数:矩阵矩阵A的每个特征值的每个特征值 i的特征子的特征子 空间空间 V i的维数为的维数为 i的的几何重数几何

18、重数.(即即(iE-A)X=0基础解系含向量的个数基础解系含向量的个数).l代数重数代数重数:i在特征在特征方程中的重根数方程中的重根数.A的特征值的几何重数的特征值的几何重数 代数重数代数重数.定理定理6.46.4注注 复矩阵复矩阵A的所有特征值的代数重数之和的所有特征值的代数重数之和特征值几何重数特征值几何重数=代数重数时代数重数时.定理定理6.56.5 复矩阵复矩阵A可相似对角化可相似对角化 每个每个=n,所以有所以有38解解x=y.r(E A)=1,可相似对角化可相似对角化,求求x,y满足的条件满足的条件.例例2 2r(3E A)=2特征值为特征值为1，1，3.39设三阶方阵设三阶方阵

19、A 的特征值为的特征值为1,-1,-1,依次是对应的特征向量依次是对应的特征向量,求求A与与 解解 设设则则线性无关线性无关,A可相似对角化可相似对角化.例例3 340l任意实对称阵任意实对称阵A不仅可对角化不仅可对角化,而且能找而且能找到一个正交阵到一个正交阵P,使得使得P-1AP=PTAP=为对角阵为对角阵.即即A可可正交相似对角化正交相似对角化.实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化41实对称矩阵可以正交相似对角化实对称矩阵可以正交相似对角化.其中其中 是是A的特征值的特征值.证证 A为为n阶实对称阵阶实对称阵,有有定理定理6.66.6即即:若若A为为n阶实对称阵阶实对称阵

20、,则则 正交阵正交阵P,使得使得(证明过程给出方法证明过程给出方法)42 不同特征值不同特征值 1 2 s代数重数代数重数 r1 r2 rs几何重数几何重数 r1 r2 rs无关特征向量无关特征向量无关特征向量无关特征向量 X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs标准正交化标准正交化标准正交化标准正交化标准正交标准正交标准正交标准正交特征向量特征向量特征向量特征向量则则 为正交阵为正交阵为正交阵为正交阵令令令令43例例4 4 设设求求正交阵正交阵 使使 为对角阵为对角阵.解解特征值为特征值为44将将代入代入(2E-A)X=0得基础解系得基础解系正交化正交化单位化单位化45将将代入代入

21、(-7E-A)X=0得基础解系得基础解系单位化单位化故故为正交阵为正交阵diag(2,2,-7)46已知矩阵已知矩阵A是三阶实对称阵是三阶实对称阵,它的特征它的特征值分别是值分别是 1,1,2,且属于且属于2 的特征向量的特征向量是是(1,0,1,)T,求求A=?解解 A是三阶实对称阵是三阶实对称阵,正交相似于对角阵正交相似于对角阵 diag(1,1,2),属于特征值属于特征值1 1的特征向量与的特征向量与 属于属于2 2的特征向量的特征向量(1,0,1,)T正交正交,由此得由此得 到属于到属于1的特征向量为的特征向量为(0,1,0)T,(1,0,-1)T,单位化得到相应的正交矩阵单位化得到相应的正交矩阵:例例5 547由由PTAP=diag(1,1,2)可以得到可以得到A.48例例6 6设设n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的特征特征值都值都大于零大于零,试证试证证证因为因为A是是实对称阵实对称阵,所以存在正交所以存在正交阵阵P,使使49复复 习习 第六章第六章(-)Bye!50