特征值与特征向量的应用PPT.ppt

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1、一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义为阶方阵，为数，为阶方阵，为数，为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注并不一定唯一；并不一定唯一；阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对与方阵；，特征值问题只针对与方阵；有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值定义定义定义定义称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程定义定义

2、定义定义称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式定理定理定理定理设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为则则证明证明证明证明 当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项式可分解为式可分解为令令得得即即证明证明证明证明 因为行列式因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素，多含个主对角线上的元素，含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中故有故有比较比较，有，有因此，特征多

3、项式中因此，特征多项式中定义定义定义定义 方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹.记为记为二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质推论推论推论推论 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零.若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，的特征值，则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论特别特别特别特别单位阵单位阵的一个的一个特征值为特征值为三、应用举例

4、三、应用举例三、应用举例三、应用举例、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为或或3 3、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量四、特征向量的性质四、特征向量的性质四、特征向量的性质四、特征向量的性质定理定理定理定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。定理定理定理定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。线性无关

5、。一、定义一、定义一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说矩阵，或者说矩阵与与相似相似可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵记作：记作：二、性质二、性质二、性质二、性质（1 1）反身性：反身性：（2 2）对称性：对称性：（3 3）传递性：传递性：；，则，则；，则，则；（4 4），则，则 （5 5），则，则 （6 6），且，且可逆，则可逆，则 定理定理若阶矩阵若阶矩阵与与相似，则相似，则与与有相同的特征有相同的特征多项式，从而多项式，从而与与有相同的特征值有相同的特征值推论推论若阶矩

6、阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相似，相似，就是就是的个特征值的个特征值则则若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩阵使使对阶方阵对阶方阵，称之为称之为把方阵把方阵对角化对角化三、相似对角化三、相似对角化三、相似对角化三、相似对角化定理的推论说明，定理的推论说明，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似，似，那么，使得那么，使得的矩阵的矩阵又是怎样构成的呢？又是怎样构成的呢？则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆，可逆，使得使得有有于是有于是有因为因为可逆，可逆，故故于是于是是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。反之，反之，即即

7、设设可逆，且可逆，且则则若若有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量所以所以即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似定理定理阶矩阵阶矩阵能与对角矩阵能与对角矩阵相似相似有阶线性无关的特征向量有阶线性无关的特征向量推论推论如果阶矩阵如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵有个不同的特征值，则矩阵可相似对角化可相似对角化内积内积内积内积的定义与性质的定义与性质的定义与性质的定义与性质定义定义定义定义设维实向量设维实向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作注：注：注：注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有施密特（施密特（施密特（施密特（Schmid

8、tSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法）正交化法）正交化法）正交化法设设是向量空间是向量空间的一个基，要求向量空的一个基，要求向量空间间的一个标准正交基，就是的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单要找到一组两两正交的单位向量位向量，使，使与与等价，等价，此问题称为把此问题称为把这组基这组基标准正交化标准正交化.1 1）正交化）正交化令令就得到就得到的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组.的一组标准正交基的一组标准正交基.如果如果上述方法称为施密特上述方法称为施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法正交化法.2 2）标准化）标准化令令是是

9、的一组基，则的一组基，则就是就是则则两两正交，且与两两正交，且与等价等价.定理定理定理定理对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵均指实对称矩阵定理定理定理定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.定理定理定理定理若阶对称阵若阶对称阵的任重的任重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个（不证）向量恰有个（不证）定理定理定理定理若为阶对称阵，则必有正交矩阵若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得，使得实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对

10、称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值与特征向量的性质根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.4.2.2.1.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法例例设矩阵设矩阵求一个正交矩阵求一个正交矩阵P，使得，使得为对角阵。为对角阵。例例设三阶对称矩阵设三阶对称矩阵A A的特征值为的特征值为1,2,3;1,2,3;矩阵矩阵A A的属于的属于特征值特征值1 1，2 2的特征向量分别为的特征向量分别为（1）A A的属于特征值的属于特征值3 3的特征向量的特征向量。（2）求矩阵求矩阵A A。