第四章-频域分析法-控制工程基础课件.ppt

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1、第第4 4章章 频域分析法频域分析法通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的，但对于比较通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的，但对于比较复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外，当方程已经求解而量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外，当方程已经求解而系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系统来获得预期结果。从工程角度来看，希望找出一种方法，使之统来获得预期结果。从工程角度来看，希望找出一种方法，使之不必求解微分

2、方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。该方法是何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。该方法是以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。这种分析法有利于系统设计，能够估计到影响系统性一种方法。这种分析法有利于系统设计，能够估计到影响系统性能的频率范围。特别地，当系统中存在难以用数学模型描述的某能的频率范围。特别地，当系统中存在难以用数学模型描述的某些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，从而对系

3、统和些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，从而对系统和元件进行准确而有效的分析。本章主要研究线性系统的频率特元件进行准确而有效的分析。本章主要研究线性系统的频率特性。性。学习学习目的目的1.搞清频率特性的基本概念搞清频率特性的基本概念2.掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法3.掌握系统稳定性的频域分析方法掌握系统稳定性的频域分析方法4.了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系5.掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法6.掌握应用掌握应用MATLAB工具

4、分析系统频率性能的方法工具分析系统频率性能的方法内容内容提要提要 本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系统性能频域分析法统性能频域分析法重重点点系统系统开环博德图开环博德图的绘制的绘制难难点点系统开环尼氏图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频系统开环尼氏图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频率的求取率的求取4.1 4.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念4.1.1 4.1.1 频率响应与频率特性频率响应与频率特性设系统传递函数为设系统传递函数为。给系统输

5、入一个正弦信号为。给系统输入一个正弦信号为(4.1)式中式中正弦输入信号的振幅；正弦输入信号的振幅；正弦输入信号的频率。正弦输入信号的频率。系统的稳态输出量写成系统的稳态输出量写成(4.2)比较系统比较系统稳态输出量稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变输入量输入量的的而保持其振幅而保持其振幅恒定，输出量与输入量的振恒定，输出量与输入量的振幅比幅比及输出量与输入量的相位差及输出量与输入量的相位差都是频率都是频率的函数。的函数。为了进一步说明为了

6、进一步说明频率特性频率特性的基本概念，考虑图的基本概念，考虑图4.1所示所示RC电电路。其传递函数为路。其传递函数为式中，式中，电路的时电路的时间常数，间常数，若输入电压为正弦信若输入电压为正弦信号号,其拉氏变换为其拉氏变换为则则电路输出量电路输出量的拉氏变换为的拉氏变换为通过拉氏反变换，得通过拉氏反变换，得(4.3)图图4.1RC电路电路件（如电容件（如电容C）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。示出不同的特性。（3

7、）系统频率特性的幅值）系统频率特性的幅值随着频率随着频率的升高而衰减，的升高而衰减，换而言之，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的换而言之，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现复现能力能力”或或“跟踪能力跟踪能力”。对于低频信号（即。对于低频信号（即），有），有这表明在输入信号频率较低时，输出量与输入量的幅值几乎这表明在输入信号频率较低时，输出量与输入量的幅值几乎相等，相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出相等，相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来；而对于高频信号（即端复现出来；而对于高频信号（即），），这表明输入信号较高时，输出量幅值只有输入

8、量幅值的这表明输入信号较高时，输出量幅值只有输入量幅值的倍，倍，相位后滞近相位后滞近。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通低通”滤波及相位滤波及相位滞滞后作用。后作用。4.1.2 4.1.2 频率特性的求取方法频率特性的求取方法频率特性一般可以通过如下三种方法得到：频率特性一般可以通过如下三种方法得到：（1）根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。取输出

9、稳态分量和输入正弦的复数之比求得。（2）根据系统的传递函数来求取。将根据系统的传递函数来求取。将代入传递函数代入传递函数中，可直接得到系统的频率特性。中，可直接得到系统的频率特性。（3）通过实验测得。通过实验测得。一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据传递传递函数函数求取系统的频率特性。仍以图求取系统的频率特性。仍以图4.1所示系统为例，其传递函所示系统为例，其传递函数为数为，将传递函数中的复变量，将传递函数中的复变量用纯虚数用纯虚数来代来代替，便可得到频率特性的表达式替，便可得到频率特性的表达式，取它的模，取它的模和幅角和幅角，正是式

10、，正是式(4.5)和式和式(4.6)这种以这种以代替代替。由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在复平面（复平面（平面）虚轴上的传递函数。平面）虚轴上的传递函数。系统的频率特性可分解为实部和虚部，即系统的频率特性可分解为实部和虚部，即 （4.7）也可以表示为也可以表示为幅值幅值和和相位相位关系，关系，即即 （4.8）式中式中,的实部，称为实频特性；的实部，称为实频特性；的虚部，称为虚频特性。的虚部，称为虚频特性。

11、的模，它等于稳态输出量与输入量的的模，它等于稳态输出量与输入量的振幅振幅比，称为比，称为幅频特性幅频特性；的幅角，它等于稳态输出量与输入量的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相的相位差，称为位差，称为相频特性相频特性。这些频率特性之间有如下关系：这些频率特性之间有如下关系：（4.9）4.1.3 4.1.3 频率特性的图示方法频率特性的图示方法组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率特性又称为博德图。特性又称为博德图。考虑系统任意环节的频率特性表达式考虑系统任意环节的频率特性表达式（4.13）取它的自然对数，得到取它的自然对数

12、，得到（4.14）上式对数的实部上式对数的实部是频率特性模的对数，虚部是频是频率特性模的对数，虚部是频率特性的幅角。用这种办法表示的频率特性包含两条曲线：率特性的幅角。用这种办法表示的频率特性包含两条曲线：一是一是与与之间关系曲线，称为对数幅频特性；一是之间关系曲线，称为对数幅频特性；一是与与之间关系曲线，称为对数相频特性。而在实际应用之间关系曲线，称为对数相频特性。而在实际应用中，往往不是用自然对数来表达对数幅频特性，而是采用以中，往往不是用自然对数来表达对数幅频特性，而是采用以10为底的对数来表示。为底的对数来表示。对数幅频的表达式可写为：对数幅频的表达式可写为：（4.15）表达式中采用的

13、单位是表达式中采用的单位是分贝分贝，以，以“dB”（decibel）表示。）表示。在在对数表达式中，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半对数表达式中，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在半对数坐标纸上，频率采用对数分度，而幅值（单位：分贝）和角对数坐标纸上，频率采用对数分度，而幅值（单位：分贝）和角度（单位：度），则采用线性分度。度（单位：度），则采用线性分度。需要注意的是，在以需要注意的是，在以划分的频率轴（横坐标）上，一般划分的频率轴（横坐标）上，一般只标注只标注的自然数值。该坐标的特点是：若在横轴上任意取的自然数值。该坐标的特点是：若在横轴上任意取两点使其满足两点使其满足，则在

14、对数频率轴上两点的距离为，则在对数频率轴上两点的距离为。因此，不论起点如何，只要角频率变化。因此，不论起点如何，只要角频率变化10倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个10倍频程倍频程，以，以“dec”（decade）表示。当频率变化）表示。当频率变化10倍时，即频率变化了一倍时，即频率变化了一个个10倍频程。倍频程。（3）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图）：在所需要的频率范）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图）：在所需要的频率范围内，以频率围内，以频率作为参数来表示的对数幅值和相角关系的图。作为参数来表示的对数幅值和相角关系的图。对数幅相频率特性对数幅相频

15、率特性也称为尼柯尔斯（也称为尼柯尔斯（Nichols）图。）图。幅频特性是幅频特性是K，相频特性是，相频特性是。比例环节的对数幅频特性为幅。比例环节的对数幅频特性为幅值等于值等于的一条水平直线。相角为零，与频率无关。的一条水平直线。相角为零，与频率无关。比例环节的博德图如图比例环节的博德图如图4.3所示。所示。图图4.3比例环节对数幅频特性和对数相频特性比例环节对数幅频特性和对数相频特性当当趋于无穷大时，趋于无穷大时，的幅值趋于零，相角趋于的幅值趋于零，相角趋于。当。当由由时，惯性环节幅相频率特性为一个半时，惯性环节幅相频率特性为一个半圆。这一点可以证明如下：圆。这一点可以证明如下：虚频特性与

16、实频特性之比为虚频特性与实频特性之比为，将其代入实频特性，将其代入实频特性表达式中，得表达式中，得式式(4.26)代表一个圆的方程式，圆的半径为代表一个圆的方程式，圆的半径为，圆心在，圆心在处，处，如图如图4.4所示。所示。由式（由式（4.23）和式（）和式（4.24）可求得惯性环节的对数幅频特性）可求得惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性表达式和对数相频特性表达式（4.25）/0；/-4590（4.26）（4.27）图图4.4惯性环节的幅相频率特性惯性环节的幅相频率特性直线，称为高频渐近线。精确的对数幅频特性曲线及渐近线，如直线，称为高频渐近线。精确的对数幅频特性曲线及渐近线，如图图4.5所

17、示。两条渐进线相交处的频率所示。两条渐进线相交处的频率称为转折频率。称为转折频率。图图4.5惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性由式（由式（4.28）确定相频特性曲线。当）确定相频特性曲线。当时，时，。在。在转折频率转折频率处处当频率当频率趋于无穷大时，趋于无穷大时，。上述分析表明，上述分析表明，惯性环节的对数相频特性由于相角是以反惯性环节的对数相频特性由于相角是以反正切函数来表示的，所以相角对正切函数来表示的，所以相角对弯角是对称的。弯角是对称的。对于初步设计，利用渐近线画出博德图已经够用了，且很方对于初步设计，利用渐近线画出博德图已经够用了，且很方便。如

18、需要画出精确的频率特性曲线，可参照图便。如需要画出精确的频率特性曲线，可参照图4.6的曲线在渐的曲线在渐近线的基础上进行修正。近线的基础上进行修正。由此可见：由于采用渐近线而在幅值上产生的最大误差发生由此可见：由于采用渐近线而在幅值上产生的最大误差发生在转折频率在转折频率处，并近似等于处，并近似等于3dB。由惯性环节的博德图可以看出由惯性环节的博德图可以看出,具有低通滤波具有低通滤波器的作用。对于高于器的作用。对于高于的频率，其对数幅值迅速衰减。的频率，其对数幅值迅速衰减。图图4.6惯性环节的频率特性用渐近线表示时惯性环节的频率特性用渐近线表示时所引起的对数幅值误差曲线所引起的对数幅值误差曲线

19、 4.2.3 4.2.3 积分环节积分环节积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为（4.30）积分环节的频率特性为积分环节的频率特性为（4.31）其幅频特性为其幅频特性为（4.32）相频特性为相频特性为（4.33）由于由于是常数，而是常数，而随随增加而减小。增加而减小。因此，因此，积分环节的幅相频率特性是一根与虚轴负段相重合的直积分环节的幅相频率特性是一根与虚轴负段相重合的直图图4.7积分环节的幅相频率特性积分环节的幅相频率特性线，如图线，如图4.7所示。所示。积分环节的对数幅频特性可表示为积分环节的对数幅频特性可表示为（4.34）由式（由式（4.34）不难看）不难看出，出，积分环节的对数积分

20、环节的对数幅频特性是一条斜率幅频特性是一条斜率为为-20dB/dec的直线，的直线，且与零分贝线相交于且与零分贝线相交于这一点，即这一点，即积分环节的对数相积分环节的对数相频特性为频特性为的水平的水平直线与频率直线与频率无关。无关。积分环节的博德积分环节的博德图表示于图图表示于图4.8。图图4.8积分环节的对数幅频特性积分环节的对数幅频特性和对数幅频特性和对数幅频特性图图4.10微分环节的博德图微分环节的博德图显然，显然，和和的频率特性不同之处就是对数幅频特性曲的频率特性不同之处就是对数幅频特性曲线的斜率和相角都相差一个符号，因此微分环节的对数幅频特性线的斜率和相角都相差一个符号，因此微分环节

21、的对数幅频特性是一条通过是一条通过，而斜率为，而斜率为20dB/dec的直线。而对数相频特的直线。而对数相频特性为的一条水平线，如图性为的一条水平线，如图4.10所示。所示。这里需要说明的是：如果频率特性包含着这里需要说明的是：如果频率特性包含着或或因子，那么对数幅频特性分别为：因子，那么对数幅频特性分别为：（dB）（4.40）及及（dB）（4.41）而对数相频特性分别为而对数相频特性分别为和和（4.42）4.2.5 4.2.5 振荡环节振荡环节振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为其频率特性为其频率特性为幅频特性为幅频特性为相频特性为相频特性为（4.43）（4.44）（4.45）图图4.1

22、1振荡环节的幅相频率特性振荡环节的幅相频率特性典型曲线典型曲线即即（4.47）解方程（解方程（4.47），得产生峰值的谐振频率为），得产生峰值的谐振频率为就是说，当就是说，当时，时，出现峰值。仅当出现峰值。仅当，即即时，式（时，式（4.48）才有意义，）才有意义，才有峰值。才有峰值。其谐振峰值其谐振峰值当阻尼当阻尼时，时，。由式（。由式（4.43）得）得（4.48）（4.49）2.振荡环节的博德图振荡环节的博德图振荡环节的对数幅频特性为振荡环节的对数幅频特性为（4.51）由式（由式（4.51）(4.45)可以看出：振荡环节的对数幅频特性可以看出：振荡环节的对数幅频特性和相频特性和相频特性，不仅

23、与，不仅与有关，还与阻尼比有关，还与阻尼比有关。有关。由式（由式（4.51）求得）求得在低频段，当在低频段，当时，时，在高频段，当在高频段，当时，时，当频率当频率增加增加10倍频程时，则有倍频程时，则有故振荡环节对数幅频特性可以由两条渐近线近似表示：当故振荡环节对数幅频特性可以由两条渐近线近似表示：当时，是一条时，是一条0dB的水平线；当的水平线；当时是一条斜率为时是一条斜率为每增加每增加10倍频程下降倍频程下降dB的直线，记为的直线，记为。两条渐近线相交于两条渐近线相交于所以无阻尼固有频率所以无阻尼固有频率即为振荡环节的转折频率。即为振荡环节的转折频率。上述两条渐近线都是与阻尼比上述两条渐近

24、线都是与阻尼比无关的。然而，当频率接近无关的。然而，当频率接近于于时，将产生谐振峰值。阻尼比时，将产生谐振峰值。阻尼比的大小确定了谐振峰的大小确定了谐振峰值的幅值。很明显，用渐近直线来表示时，必然产生误差，误差值的幅值。很明显，用渐近直线来表示时，必然产生误差，误差大小与大小与值有关。图值有关。图4.13为具有不同为具有不同值时的博德图。如果需值时的博德图。如果需要绘出精确曲线，则可根据要绘出精确曲线，则可根据值的大小由图值的大小由图4.14所示的修正曲所示的修正曲线对渐近线加以修正。线对渐近线加以修正。对数相频特性可由式（对数相频特性可由式（4.45）求得。）求得。是是和和的函数。的函数。在

25、在时，时，而在转折频率，而在转折频率时，不论时，不论值的大值的大小，相角小，相角都等于都等于。因为。因为当当时，时，相角曲线对相角曲线对的弯曲点是斜的弯曲点是斜对称的。对称的。图图4.13振荡振荡环节的对数环节的对数幅频特性和幅频特性和对数相频特对数相频特性性典型曲线典型曲线图图4.14振振荡环节在荡环节在不同值时不同值时的修正曲的修正曲线线4.2.6 4.2.6 一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为其频率特性为其频率特性为（4.52）其幅频和相频特性分别为：其幅频和相频特性分别为：（4.53）（4.54）可见一阶微分环节的幅相频率特性是在复平面上通过（可见

26、一阶微分环节的幅相频率特性是在复平面上通过（1，0）点，且平行于虚轴的一条上半直线，如图点，且平行于虚轴的一条上半直线，如图4.15所示。所示。其对数幅频特性为其对数幅频特性为（4.55）由上式可知一阶微分环节与惯性环节只相差一个符号。由上式可知一阶微分环节与惯性环节只相差一个符号。在在时，时，在在时，时，一阶微分环节的一阶微分环节的对数幅频特性可由上对数幅频特性可由上述两条渐近线表示，述两条渐近线表示，即在即在时，是时，是一条零分贝线；在一条零分贝线；在时，是一条斜时，是一条斜率为率为dB/dec的的直线。它们交接出的直线。它们交接出的转折频率是转折频率是。一阶微分环节的一阶微分环节的博德图

27、见图博德图见图4.16。图图4.15一阶微分环节的幅相频率特性一阶微分环节的幅相频率特性图图4.16一阶微分环节的博德图一阶微分环节的博德图4.2.7 4.2.7 二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节的传递函数为二阶微分环节的传递函数为频率特性为频率特性为（4.56）其幅频和相频特性分别为：其幅频和相频特性分别为：（4.57）幅相特性的低频部分和高频部分分别为：幅相特性的低频部分和高频部分分别为：因为，当因为，当时，时，的虚部是正的单调增加，而的虚部是正的单调增加，而的实部则由的实部则由1开始单调递减，所以开始单调递减，所以的幅相特性曲线如图的幅相特性曲线如图4.17所示。相角在所示。相角在到

28、到之间。之间。（4.58）二阶微分环节的对数频率特性二阶微分环节的对数频率特性（4.60）二阶微分环节和振荡环节的二阶微分环节和振荡环节的对数幅频特性和对数相频特性不对数幅频特性和对数相频特性不同之处仅在于相差一个符号而同之处仅在于相差一个符号而已。因此，根据式（已。因此，根据式（4.59）、）、（4.60）可以绘制二阶微分环节）可以绘制二阶微分环节的博德图。的博德图。图图4.17二阶微分环二阶微分环节的幅相频率特性节的幅相频率特性（4.59）4.2.8 4.2.8 延迟环节延迟环节延迟环节的传递函数为延迟环节的传递函数为其幅相频率特性为其幅相频率特性为（4.61）因为因为而相角与而相角与成线

29、性变化，成线性变化，因此延迟环节幅相特性是因此延迟环节幅相特性是一个单位圆，如图一个单位圆，如图4.18所示。所示。低频时，延迟环节低频时，延迟环节与惯性环节与惯性环节的特的特性是近似的，如图性是近似的，如图4.19所所示。示。与与的幅的幅相频率特性在相频率特性在处彼处彼此相切。这可由下式看出：此相切。这可由下式看出：图图4.18延时环节的幅相频率特性延时环节的幅相频率特性时，时，而而然而，当然而，当时，时，与与之间存在着之间存在着本质的不同，这一点从本质的不同，这一点从图图4.19也可以看出也可以看出延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性也可表示为也可表示为由于其幅值总是等于由于其幅值总是等于

30、1，所以，延迟环节所以，延迟环节的对数幅值总等于零分贝。其相角的对数幅值总等于零分贝。其相角图图4.19延时环节和惯性环节延时环节和惯性环节的幅相频率特性的幅相频率特性（弧度）（弧度）（度）（度）（4.62）因此，因此，相角与频率相角与频率是成线性变化的。图是成线性变化的。图4.20所示为延迟所示为延迟环节的对数相频特性。环节的对数相频特性。图图4.20延迟环节的相频特性延迟环节的相频特性例例4.1设一个二阶设一个二阶系统的传递函数系统的传递函数试画出这个传递函试画出这个传递函数的幅相频率特性。数的幅相频率特性。解：解：系统的频率特系统的频率特性可以写成性可以写成将不同的将不同的值代入值代入表

31、达式，根据求出的各表达式，根据求出的各值值下的下的和和值就可以画出值就可以画出的幅相频特性如图的幅相频特性如图4.21所示。所示。图图4.21例例4.1的幅相频率特性的幅相频率特性例例4.2试画出系统的传递函数试画出系统的传递函数的对数频率特性（博德图）。的对数频率特性（博德图）。解：解：为了画出频率特性曲线，必须先求出为了画出频率特性曲线，必须先求出和和。根据给定。根据给定的振荡环节，则有的振荡环节，则有得得（弧度（弧度/秒）秒）得得图图4.22为求出的对数频率特性。该曲线首先是用渐近线作为求出的对数频率特性。该曲线首先是用渐近线作出，其转折频率为无阻尼自然频率出，其转折频率为无阻尼自然频率

32、（弧度（弧度/秒）。然后对秒）。然后对于于可图可图4.14进行修正，得精确的对数频率特性曲线。进行修正，得精确的对数频率特性曲线。图图4.22例例4.2的对数频率特性曲线的对数频率特性曲线4.3系统开环频率特性图系统开环频率特性图4.3.1最小相位系统最小相位系统为了说明幅频特性和相频特性之间的关系，在此提出最小为了说明幅频特性和相频特性之间的关系，在此提出最小相位系统概念。在复平面相位系统概念。在复平面S右半平面上没有零点和极点的传递右半平面上没有零点和极点的传递函数称为函数称为最小相位传递函数最小相位传递函数；反之，为非最小相位传递函数。具；反之，为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数

33、的系统称为最小相位系统。有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。具有相同幅频特性的系统，最小相位传递函数的相角范围是具有相同幅频特性的系统，最小相位传递函数的相角范围是最小的。例如两个系统的传递函数分别为：最小的。例如两个系统的传递函数分别为：这两个系统具有相同的幅频特性，但它们却有着不同的相频这两个系统具有相同的幅频特性，但它们却有着不同的相频特性，如图特性，如图4.23所示。对最小相位系统而言，幅频特性和相频特所示。对最小相位系统而言，幅频特性和相频特性之间具有确定的单值对应关系。这就是说，如果系统的幅频特性之间具有确定的单值对应关系。这就是说，如果系统的幅频特性曲线规定从性曲线规定从0

34、变化到无穷大整个频率范围内，那么变化到无穷大整个频率范围内，那么相频特性曲相频特性曲线线就唯一确定，反之亦然。然而对非最小相位系统来说却是不成就唯一确定，反之亦然。然而对非最小相位系统来说却是不成立的。以后无特殊说明，一般是指最小相位系统。立的。以后无特殊说明，一般是指最小相位系统。图图4.23和和系统的相频特性系统的相频特性4.3.2 4.3.2 系统开环尼氏图的绘制系统开环尼氏图的绘制1.绘制尼氏图的一般方法绘制尼氏图的一般方法为了绘制尼氏图大致形状，一般方法是为了绘制尼氏图大致形状，一般方法是描点法描点法。作图基本步。作图基本步骤为：骤为：(1)将系统开环传递函数写成若干典型环节串联形式

35、将系统开环传递函数写成若干典型环节串联形式即即(2)根据传递函数写出系统频率特性，并表示为幅频和相频根据传递函数写出系统频率特性，并表示为幅频和相频特性的形式特性的形式即即(3)分别求出起始点（分别求出起始点（）和终点（）和终点（），并表示于），并表示于极坐标上；极坐标上；(4)找出必要的特征点；找出必要的特征点；(5)根据已知点和根据已知点和、的变化规律，绘制尼氏图的的变化规律，绘制尼氏图的大致形状。大致形状。2.尼氏图的一般形状尼氏图的一般形状线性定常系统的频率特性线性定常系统的频率特性为为相应的幅相频率特性曲线为相应的幅相频率特性曲线为（1）0型系统：型系统：尼氏图始于正实尼氏图始于正实

36、轴，且起点处尼氏图的切线和正实轴垂直。轴，且起点处尼氏图的切线和正实轴垂直。尼氏图趋于原点。尼氏图趋于原点。（2）I型系统：型系统：，低频段渐，低频段渐近线为与负虚轴平行的直线近线为与负虚轴平行的直线;尼氏图趋于原点。尼氏图趋于原点。（3）II型系统：型系统：，低频段尼，低频段尼氏图趋于负实轴氏图趋于负实轴;,尼氏图趋于原点。尼氏图趋于原点。（4）当）当有振荡环节时，上述结论不变。有振荡环节时，上述结论不变。（5）当）当有一阶微分环节时，相位非单调下降，尼氏图发有一阶微分环节时，相位非单调下降，尼氏图发生弯曲。生弯曲。例例4.3已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为，绘制系统尼氏图。，绘制系

37、统尼氏图。解：系统的频率特性为解：系统的频率特性为分析组成系统的典型环节：比例环节，积分环节，惯性环节分析组成系统的典型环节：比例环节，积分环节，惯性环节幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性实频特性和虚频特性实频特性和虚频特性曲线的起始点和终点为曲线的起始点和终点为含有一个积分环含有一个积分环节的二阶系统，其频节的二阶系统，其频率特性的尼氏图在低率特性的尼氏图在低频段将沿一条渐近线频段将沿一条渐近线趋于无穷远处。这条趋于无穷远处。这条渐近线是经过（渐近线是经过（-KT,j0）点，平行于虚轴的直点，平行于虚轴的直线线,如图如图4.24所示。所示。图图4.24例例4.3的的幅相频率特性曲线幅相频率

38、特性曲线例例4.4已知系统的传递函数为：已知系统的传递函数为：绘制系统的尼氏图。绘制系统的尼氏图。解：系统的频率特性为：解：系统的频率特性为：分析组成系统的典型环节：比例环节，积分环节，惯性环节分析组成系统的典型环节：比例环节，积分环节，惯性环节幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性实频特性和虚频特性实频特性和虚频特性曲线的起始点和终点为曲线的起始点和终点为曲线的特征点：曲线的特征点：当当时，时，含有两个含有两个积分环节的二积分环节的二阶系统，其频阶系统，其频率特性的尼氏率特性的尼氏图在低频段将图在低频段将沿负实轴趋于沿负实轴趋于无穷远处，如无穷远处，如图图4.25所示。所示。图图4.25例例4

39、.4的幅相频的幅相频率特性曲线率特性曲线4.3.3 4.3.3 系统开环博德图的绘制系统开环博德图的绘制控制系统控制系统开环传递函数开环传递函数的一般表达式是的一般表达式是故它的对数幅频特性可表示为故它的对数幅频特性可表示为（4.63）由式（由式（4.63）可以看出）可以看出,单回路系统开环的对数幅频特性，单回路系统开环的对数幅频特性，可以用各典型环节的对数幅频特性的纵坐标值相加的办法得到。可以用各典型环节的对数幅频特性的纵坐标值相加的办法得到。与对数幅频特性式（与对数幅频特性式（4.63）相对应的相频特性）相对应的相频特性的表达的表达式是式是(4.64)上式说明，系统开环的相频特性和幅频特性

40、一样，可以用各上式说明，系统开环的相频特性和幅频特性一样，可以用各典型环节的相频特性相加的办法来得到。典型环节的相频特性相加的办法来得到。综上所述，系统开环对数幅频特性曲线的步骤可归纳如下：综上所述，系统开环对数幅频特性曲线的步骤可归纳如下：（1）把系统传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递）把系统传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函数乘积。函数乘积。（2）根据传递函数获得频率特性，并分析其组成环节。）根据传递函数获得频率特性，并分析其组成环节。（3）求出转折频率）求出转折频率等，并把它们按照由小到大顺等，并把它们按照由小到大顺序在选定的坐标图上沿频率轴标出。序在选定的坐标图上沿频

41、率轴标出。（4）画出对数幅频特性）画出对数幅频特性的低频渐近线。这条渐近线在的低频渐近线。这条渐近线在时是一条斜率为每十倍频程时是一条斜率为每十倍频程dB的直线。其中的直线。其中为系统包含积分环节的个数。在为系统包含积分环节的个数。在处，渐处，渐近线纵坐标为近线纵坐标为（为系统开环放大系数）。为系统开环放大系数）。（5）在每个转折频率处改变渐近线的斜率。如果是惯性环）在每个转折频率处改变渐近线的斜率。如果是惯性环节，斜率改变为节，斜率改变为dB/dec；如果是振荡环节，则改变为；如果是振荡环节，则改变为dB/dec；如果是一阶微分环节，则为；如果是一阶微分环节，则为dB/dec；而二阶微分；而

42、二阶微分环节为环节为dB/dec。（6）对渐近线进行修正，画出精确的对数幅频特性曲线。）对渐近线进行修正，画出精确的对数幅频特性曲线。（7）画出每一个环节的对数相频特性曲线，然后把所有的相）画出每一个环节的对数相频特性曲线，然后把所有的相频特性在相同的频率下相加，即得到开环的频特性在相同的频率下相加，即得到开环的相频特性曲线相频特性曲线。例例4.5设系统开环传递函数设系统开环传递函数绘制该系统的博德图。绘制该系统的博德图。解：首先将系统传递函数写成标准形式解：首先将系统传递函数写成标准形式根据系统传递函数求得频率特性根据系统传递函数求得频率特性由式（由式（4.65）可知该系统由下列典型环节组成

43、）可知该系统由下列典型环节组成:放大环节：放大环节：积分环节：积分环节：振荡环节：振荡环节：，其转折频率，其转折频率惯性环节：惯性环节：，转折频率，转折频率一阶微分环节：一阶微分环节：，转折频率，转折频率将转折频率将转折频率在横坐标上按照顺序标出，见图在横坐标上按照顺序标出，见图4.25。并按式（。并按式（4.63）求出系统对数幅频特性）求出系统对数幅频特性当当而接近于零时，而接近于零时，令令，则，则这样，在横坐标轴这样，在横坐标轴处垂直向上取处垂直向上取得到一点，得到一点，它就是近似曲线要穿过的点。由前述知道积分环节对数幅频特性它就是近似曲线要穿过的点。由前述知道积分环节对数幅频特性的斜率是

44、的斜率是-20dB/dec。所以可以经过上述这一点，绘制。所以可以经过上述这一点，绘制很小很小时的系统开环的近似对数幅频特性曲线，即低频渐近线。将低频时的系统开环的近似对数幅频特性曲线，即低频渐近线。将低频渐近线延长至渐近线延长至处，在这以后由于振荡环节的对数幅频处，在这以后由于振荡环节的对数幅频特性曲线渐近线的斜率是特性曲线渐近线的斜率是-40dB/dec，因此在，因此在处，系统的渐处，系统的渐近线的斜率经迭加后变为近线的斜率经迭加后变为-60dB/dec，该线一直延长到下一个，该线一直延长到下一个转折频率转折频率处。此后，由于惯性环节对数幅频特性曲线的处。此后，由于惯性环节对数幅频特性曲线

45、的渐近线斜率为渐近线斜率为-20dB/dec，所以在，所以在处，系统的渐近线的斜率处，系统的渐近线的斜率应为应为-80dB/dec，一直延长到转折频率，一直延长到转折频率处。由于微分环处。由于微分环节的对数幅频特性曲线渐近线的斜率为节的对数幅频特性曲线渐近线的斜率为+20dB/dec，故从，故从处起系统的渐近线斜率又变为处起系统的渐近线斜率又变为-60dB/dec。如此，就得到了系。如此，就得到了系统开环近似的对数幅频特性，表示在图统开环近似的对数幅频特性，表示在图4.26。为了得到精确曲。为了得到精确曲线，对上述近似曲线加以修正，即在每一转折频率处，以及低于线，对上述近似曲线加以修正，即在每

46、一转折频率处，以及低于和高于转折频率的一倍频程处加以修正就可以得到精确曲线了。和高于转折频率的一倍频程处加以修正就可以得到精确曲线了。图图4.26中以虚线表示的是中以虚线表示的是的精确对数幅频曲线。的精确对数幅频曲线。绘制系统绘制系统的相频特性曲的相频特性曲线必须先画出线必须先画出所有环节的相所有环节的相频特性，见图频特性，见图4.26。，分别为分别为放大环节和积放大环节和积分环节的相频分环节的相频特性，特性，为为振荡环节的相振荡环节的相频性特，频性特，和和各为惯性环节和一阶微分环节的相频特性。然后将它们各为惯性环节和一阶微分环节的相频特性。然后将它们的相角在相同的频率下代数相加，这样就画出了

47、的相角在相同的频率下代数相加，这样就画出了完整的相完整的相频特性曲线频特性曲线，如图，如图4.26所示。所示。图图4.26例例4.5所示系统的博德图所示系统的博德图4.3.4 4.3.4 传递函数实验确定法传递函数实验确定法频率特性反映了系统或元件本身内在的固有的运动规律，从频率特性反映了系统或元件本身内在的固有的运动规律，从而为实验分析提供了理论依据。从而为实验分析提供了理论依据。从频率特性频率特性基本概念可知，对于基本概念可知，对于线性系统或元件，在正弦信号作用下，其稳态输出是与输入信号线性系统或元件，在正弦信号作用下，其稳态输出是与输入信号频率相同、幅值和相位不同的正弦信号。如果在可能涉

48、及到的频频率相同、幅值和相位不同的正弦信号。如果在可能涉及到的频率范围内，测量出系统或元件在足够多的频率点上的幅值比和相率范围内，测量出系统或元件在足够多的频率点上的幅值比和相位移，那么由实验测得的数据可画出系统或元件的博德图。进而位移，那么由实验测得的数据可画出系统或元件的博德图。进而获得系统的传递函数。获得系统的传递函数。对于对于最小相位系统最小相位系统，由于其对数幅频特性和对数相频特性有，由于其对数幅频特性和对数相频特性有确定的对应性，所以，只要获得对数幅频特性就可求得系统的传确定的对应性，所以，只要获得对数幅频特性就可求得系统的传递函数。具体方法如下：递函数。具体方法如下：（1）根据被

49、测系统博德图的对数幅频特性曲线，用斜率为）根据被测系统博德图的对数幅频特性曲线，用斜率为0dB/dec、dB/dec和和dB/dec的直线逼近实验曲线，获的直线逼近实验曲线，获得系统或元件的对数幅频特性曲线的渐近线。得系统或元件的对数幅频特性曲线的渐近线。（2）根据渐近线低频段的斜率确定系统或元件包含积分环节）根据渐近线低频段的斜率确定系统或元件包含积分环节（或微分环节）的个数。（或微分环节）的个数。（3）从渐近线低频段开始，随着频率的增加，每遇转折频）从渐近线低频段开始，随着频率的增加，每遇转折频率，依据渐近线频率的变化，写出对应的环节。如果实验对数幅率，依据渐近线频率的变化，写出对应的环节

50、。如果实验对数幅频特性在频特性在时，是由时，是由-20dB/dec变化到变化到-40dB/dec，即，即斜斜率变化了率变化了-20dB/dec，那么传递函数中应包含有一个，那么传递函数中应包含有一个的惯性环节；如果在的惯性环节；如果在处，斜率又变化了处，斜率又变化了-40dB/dec，那么在传递函数中必含有振荡环节那么在传递函数中必含有振荡环节。振荡环节的无阻尼固有频率就等于转折频率振荡环节的无阻尼固有频率就等于转折频率，其阻尼比，其阻尼比可通过测量实验对数幅频特性在转折频率可通过测量实验对数幅频特性在转折频率附近的谐振峰值，附近的谐振峰值，并与图并与图4.13所示曲线比较后确定。所示曲线比较