理论力学B-动量定理.ppt

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1、动量、动量矩和动能定理动量、动量矩和动能定理从不同的从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变侧面揭示了质点和质点系总体的运动变化与其受力之间的关系，可用以求解质化与其受力之间的关系，可用以求解质点系动力学问题。点系动力学问题。动量、动量矩和动能定理称为动力动量、动量矩和动能定理称为动力学普遍定理。学普遍定理。本章将阐明及应用动量定理本章将阐明及应用动量定理第十章第十章 动量定理动量定理q质点和质点系的质点和质点系的动量动量/冲量冲量q动量定理动量定理q质点系的质点系的质心运动定理质心运动定理（Theory of Momentum）10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量一、动一、动一、动一、

2、动 量量量量1 1 1 1、动量的定义、动量的定义、动量的定义、动量的定义（1 1 1 1）质点的动量）质点的动量）质点的动量）质点的动量 质点的质量质点的质量质点的质量质点的质量 mm 与速度与速度与速度与速度 v v 的乘积的乘积的乘积的乘积 mvmv 称为该质称为该质称为该质称为该质点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。单位单位 vmxyzs+物体间机械运动相互传递时产生作用力，物体间机械运动相互传递时产生作用力，该作用力与物体的速度变化和质量

3、有关。该作用力与物体的速度变化和质量有关。动量是某瞬时质点机械运动效应动量是某瞬时质点机械运动效应 的一种度量，是的一种度量，是状态量状态量10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量一、动一、动一、动一、动 量量量量（2 2 2 2）质点系的动量）质点系的动量）质点系的动量）质点系的动量质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系的动量。用的动量。用的动量。用的动量。用 p p 表示，即有表示，即有表示，即有表示，即有质点系动量的投影式质点系动量的投影式质点系动量的投影式质点系动量

4、的投影式 在固定直角坐标轴在固定直角坐标轴x，y 和和 z 上的矢量作投影上的矢量作投影,即得即得10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量一、动一、动一、动一、动 量量量量（2 2 2 2）质点系的动量）质点系的动量）质点系的动量）质点系的动量设各质点的质量为常数，用矢径表示速度，则设各质点的质量为常数，用矢径表示速度，则定义质点系的质量中心（定义质点系的质量中心（质心质心 C）的矢径为：）的矢径为：10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量质点系动量的简捷求法质点系动量的简捷求法质点系动量的简捷求法质点系动量的简捷求法质点系的动量质点系的动量质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积质点

5、系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。投影到各坐标轴上有投影到各坐标轴上有质点系的动量质点系的动量O LmomvO质点系或刚体的动量是反映质点系或刚体质点系或刚体的动量是反映质点系或刚体随质心平动的运动量随质心平动的运动量质点系的动量等于质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积质点系的总质量与质心速度的乘积。对于质。对于质量均匀分布的刚体，量均匀分布的刚体，质心质心 即为即为几何中心几何中心（形心形心）C 椭圆规机构中，椭圆规机构中，OCACCBl；滑块滑块A和和B的质量均为的质量均为m，曲柄曲柄OC和连杆和连杆AB的质量忽略不计；曲柄以等角速度的质量忽略不计；曲柄以等角速度 绕

6、绕O轴旋轴旋转；在图示位置，角度转；在图示位置，角度 为任意值。为任意值。求求：图示位置时，系统的总动量。图示位置时，系统的总动量。AOBC 例：椭圆规的动量例：椭圆规的动量 分析分析：将滑块：将滑块A和和B看作为两个质点，整个系统看作为两个质点，整个系统即为两个质点所组成的质点系。求这一质点系的即为两个质点所组成的质点系。求这一质点系的动量可以用两种方法：动量可以用两种方法：第一种方法第一种方法：先计算各个质点：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。的动量，再求其矢量和。第二种方法第二种方法：先确定系统的质：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。系统

7、的动量。第一种方法：第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和：先计算各个质点的动量，再求其矢量和：建立建立Oxy坐标系。在角度坐标系。在角度 为任意值的情形下：为任意值的情形下：例：椭圆规的动量例：椭圆规的动量解：解：xyvB BvA AAOBC 第二种方法：第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。系统的动量。质点系的质心在质点系的质心在C处，其速度处，其速度矢量垂直于矢量垂直于OC，其其数值数值为为 vC=l vC=l (sin icos j)系统的总质量系统的总质量mC=mA+mB=2m系统的总动量系统的总动量例：椭

8、圆规的动量例：椭圆规的动量xyvB BvA AAOBC lvC Cp=2lm (sin icos j)10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量二、冲二、冲二、冲二、冲 量量量量冲量冲量作用力作用力F与作用时间与作用时间t的乘积（的乘积（矢量矢量）与力矢的方向相同，记作：与力矢的方向相同，记作：（单位为（单位为 N.s，量纲与动量相同）量纲与动量相同）变力的元冲量为：变力的元冲量为：冲量反映力的作用时间的积累效果，是过程量冲量反映力的作用时间的积累效果，是过程量变力变力变力变力 F F 在在在在 t t1 1tt2 2 时间间隔内的冲量为：时间间隔内的冲量为：时间间隔内的冲量为：时间间隔内的冲量

9、为：动量定理动量定理10-2 动量定理动量定理质点动量定理质点动量定理质点系动量定理质点系动量定理质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点动量定理质点动量定理质点动量定理质点动量定理或者或者微分形式：微分形式：质点的动量的增量等于作质点的动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量（用于质点上的力的元冲量（矢量矢量）：积分形式：积分形式：在某一时间间隔内，质点的动量的变化等于作在某一时间间隔内，质点的动量的变化等于作用于质点上的力在此段时间内的冲量（用于质点上的力在此段时间内的冲量（矢量矢量）：质点系动量定理质点系动量定理对于某个质点对于某个质点对于某个质点对于某个质点:对于质点系（求和）对于质点系

10、（求和）对于质点系（求和）对于质点系（求和）:外力：外力：外界物体对质点系的作用力。外界物体对质点系的作用力。内力：内力：质点系的质点之间的相互作用力（作用与反作用力）。质点系的质点之间的相互作用力（作用与反作用力）。由于质点系中的由于质点系中的内力内力等值、反向、成对地出现，相互抵消，等值、反向、成对地出现，相互抵消，内力内力冲量的矢量和为零，即冲量的矢量和为零，即质点系动量定理质点系动量定理由此可知，由此可知，内力内力不改变质点系的动量，因此：不改变质点系的动量，因此：质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理的质点系动量定理的微分形式：微分形式：质点系动量的增量等于作用于质点系动量的增量

11、等于作用于质点系上的外力元冲量之矢量和质点系上的外力元冲量之矢量和，简写为：，简写为：或者：或者：即：即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上的外质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上的外力之主矢力之主矢。质点系动量定理质点系动量定理质点系动量定理的质点系动量定理的积分形式：积分形式：或者或者质点系动量定理的质点系动量定理的投影形式：投影形式：例例10-1 10-1 电动机外壳固定在水平基础上电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质定子和外壳的质量为量为 ,转子质量为转子质量为 .定子和机壳质心定子和机壳质心 ,转子质心转子质心 ,角速度角速度 为常量为常量.求基础的水平及铅直约束

12、力求基础的水平及铅直约束力.得得解解:由由方向方向:动约束力动约束力 -静约束力静约束力 =附加动约束力附加动约束力本题的附加动约束力为本题的附加动约束力为方向方向:电机不转时电机不转时,称称静约束力静约束力;电机转动时的约束力称电机转动时的约束力称动约束力动约束力,上面给出的是动约束力上面给出的是动约束力.例：锻压加工例：锻压加工锻锤重锻锤重 P=30kN，从高度，从高度h=1.5m处自由下落，打击处自由下落，打击工件使其变形，工件变形的时间工件使其变形，工件变形的时间 t0=0.01s，求锻锤，求锻锤对工件的平均压力对工件的平均压力F。解：解：锻锤接触工件时刻的速度为锻锤接触工件时刻的速度

13、为以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：（其中末速度（其中末速度 v=0,m=P/g）=1690kN讨论：讨论：F/P=56.3质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律（Conservation of momentum of system of particles）若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质点系的动量保若作用于质点系的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变持不变：若作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等若作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的

14、投影保持不变：于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变：解：1)取物块和小球为研究对象 2)其上的重力以及水平面的约束反力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒沿水平方向动量守恒。细杆角速度：即细杆铅垂时，小球相对相对于物块的最大的水平速度(向左)：物块绝对速度为(向右)v3)根据动量守恒条件4)物块的速度则 物块有向左的最大速度小球绝对速度小球绝对速度10-3 10-3 质心运动定理质心运动定理一、质量中心一、质量中心一、质量中心一、质量中心(质心质心质心质心)计算质心位置时，常采用直角坐标的投影形式，即计算质心位置时，常采用直角坐标的投影形式，即 10-3 1

15、0-3 质心运动定理质心运动定理二、质心运动定理二、质心运动定理二、质心运动定理二、质心运动定理 1 1 1 1、定理的表达式、定理的表达式、定理的表达式、定理的表达式 质质质质 点点点点 系系系系 动动动动 量：量：量：量：质点系动量定理：质点系动量定理：质点系动量定理：质点系动量定理：即，即，即，即，质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系所有外力的矢量和质点系所有外力的矢量和质点系所有外力的矢量和质点系所有外力的矢量和(主矢主矢主矢

16、主矢)，这就是这就是这就是这就是质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 质心运动定理质心运动定理将将质心运动定理质心运动定理与与质点动力学基本方程质点动力学基本方程进行类比，可知二者具进行类比，可知二者具有相同的形式。即，质点系质心的运动，可看成有相同的形式。即，质点系质心的运动，可看成“质点质点”的运的运动，该动，该“质点质点”集中了质点系集中了质点系全部质量全部质量以及质点系的以及质点系的全部外力全部外力。质点系的内力不影响质点系质心的运动。质点系的内力不影响质点系质心的运动。质心运动定理质心运动定理的的投影形式：投影形式：直角坐标：直角坐标：自然坐标：自然坐标：在爆破山石时，土

17、石碎块向各处飞落，在尚无碎石落地前，所有土石碎块为一质点系，其质心的运动与一个抛射质点的运动相同。根据质点的运动轨迹，可以在采取定向爆破时，预先估计大部分土石块堆落的地方。质质心心运运动动定定理理说说明明：质质点点系系的的内内力力不不影影响响质质心心的的运运动动，只有外力才能改变质心的运动只有外力才能改变质心的运动。质心运动守恒定律质心运动守恒定律质心运动守恒定律质心运动守恒定律若作用于质点系的外力主矢恒等于零，则若作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心的位置或质心的位置或者者静止静止，或者做或者做匀速直线运动匀速直线运动。若作用于质点系的外力主矢在某个轴上的投影恒等于零，若作用于质点系的外力

18、主矢在某个轴上的投影恒等于零，则则质心位置在该轴上的质心位置在该轴上的投影投影或者或者静止静止，或者做，或者做匀速直线运匀速直线运动动。对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动量定理对于刚体或刚体系统，其质心容易确定，应用动量定理时，主要采用质心运动形式时，主要采用质心运动形式质心运动定理。质心运动定理。例例10-?：如图所示，在静止的小船上，一人自船头走如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人的质量为到船尾，设人的质量为 m2，船的质量为，船的质量为 m1，船长，船长 l，水的阻力不计。求船的位移。水的阻力不计。求船的位移。解：解：人与船组成质点系人与船组成质点系因不计水的阻力，

19、故外力在水平轴上的投影之和等于零，因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即即 。则有。则有 又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。有取坐标轴如图所示，人在走动前，取坐标轴如图所示，人在走动前，系统的质心坐标为系统的质心坐标为人走到船尾时，船移动的距离为人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心坐标为，则质心坐标为可求得小船移动的位移可求得小船移动的位移 讨论1、质点系的内力（鞋底与船、质点系的内力（鞋底与船间摩擦力）虽不能改变质心间摩擦力）虽不能改变质心的运动，但能改变系统中各的运动，但能改变系统中各部分的（人与船）的运动。部

20、分的（人与船）的运动。2、靠码头的小船会因人上岸、靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在而离岸后退，为防止，应在岸上将船拴住。岸上将船拴住。例例10-510-5 均质曲柄均质曲柄AB长为长为r,质量为质量为m1,假设受力偶作用以不假设受力偶作用以不变的角速度变的角速度转动转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点质心在点C.在活在活塞上作用一恒力塞上作用一恒力F F.不计摩擦及滑块不计摩擦及滑块B的质量的质量,求求:作用在曲作用在曲柄轴柄轴A A处的最大水平约束力处的最大水平

21、约束力Fx.显然显然,最大水平约束力为最大水平约束力为应用质心运动定理应用质心运动定理,解得解得解解:如图所示如图所示求求:(1):(1)电机外壳的运动电机外壳的运动.(2).(2)电机跳起的最小角速度电机跳起的最小角速度例例 10-610-6 地面水平地面水平,光滑光滑,已知已知 ,初始静止初始静止,常量常量.由由 ,得得电机在水平方向没有受到外力，且初始静止，因此系统的质电机在水平方向没有受到外力，且初始静止，因此系统的质心坐标心坐标 xc 保持不变。保持不变。解解:（1 1）电机在水平方向的运动）电机在水平方向的运动解解:（2 2）电机跳起的最小角速度电机跳起的最小角速度在上一例题中求得

22、支撑面的铅直反力在上一例题中求得支撑面的铅直反力铅直反力的最小值为铅直反力的最小值为 思考题电机是否会跳起？起跳的条件是什么？电机是否会跳起？起跳的条件是什么？电机起跳的条件为：电机起跳的条件为：起跳的最小角速度为：起跳的最小角速度为：例例 质质量量为为M 的的大大三三角角块块放放在在光光滑滑水水平平面面上上，其其斜斜面面上上放放一一和和它它相相似似的的小小三三角角块块，其其质质量量为为m。已已知知大大、小小三三角角块块的的水水平平边边长长各各为为a与与b。试试求求小小三三角角块块由图示位置滑到底时大三角块的位移。由图示位置滑到底时大三角块的位移。解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。解：取

23、系统分析，受力如图，建立如图坐标。设大三角块的位移为设大三角块的位移为s，则，则由于由于S SFx(e)0，且初始系统静止，所以，且初始系统静止，所以解得解得 例例 图图示示系系统统，重重物物A和和B的的质质量量分分别别为为m1、m2。若若A下下降降的的加加速度为速度为a，滑轮质量不计。求支座，滑轮质量不计。求支座O的反力。的反力。解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设设A下降的速度为下降的速度为vA，B上升的速度为上升的速度为vB，则由运动学关系得，则由运动学关系得系统的动量在坐标轴上的投影为系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理由质点系的动量定理注意到注意到可得可得本章结束，谢谢！本章结束，谢谢！作业：作业：思考题思考题 10-1(b)(c)(d)(e)习题习题 10-4，10-7