理论力学第二章第三章.ppt

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1、第二章第二章 作用于刚体上的力系等效与简化作用于刚体上的力系等效与简化2-1 力矩力矩2-2 力偶的概念和性质力偶的概念和性质2-3力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡2-4 力的平移定理力的平移定理2-5 空间力系简化及合成结果讨论空间力系简化及合成结果讨论2-1 力矩力矩力对点之矩是度量一个力使物体绕某点转动的作用。在平面力系的情况下，力对点之矩用代数量表示。O 矩心；h 力臂;MO（F)=Fh力矩的正负号规定“+”表示逆钟向；“-”表示顺钟向；MO（F)=2OAB面积平面内力对点之矩平面内力对点之矩空间力对点之矩空间力对点之矩平面力系中，力对点之矩用代数量表示已足够但是在空间力系中，有必

2、要用一个矢量O（F）表示空间任一力对点之矩O（F）Fh2(OAB面积）空间力对轴之矩空间力对轴之矩度量力F 使刚体绕此轴转动的作用。定义:Z(F)|O(Fxy)|Fxy h即：力对Z 轴之矩等于此力在垂直与该轴的平面上的投影Fxy 对该轴与此平面交点之矩。式中：x,y,z 力F 作用点的坐标；Fx，Fy,Fz 力F 沿三轴的投影。力对轴之矩等于力对点力对轴之矩等于力对点O O 之矩矢量在相应轴之矩矢量在相应轴上的投影。上的投影。xzyO空间力对轴之矩空间力对轴之矩推论推论：1、力沿作用线滑动后，Fxy 与h 不变，故力对轴之矩不变；2、力F 与轴共面（相交或平衡）时，力对轴之矩为零。熟练计算力

3、对轴之矩！熟练计算力对轴之矩！空间力对轴之矩空间力对轴之矩练习练习1：计算图示力：计算图示力F对三轴之矩。对三轴之矩。受力情况如图所示，求（受力情况如图所示，求（1）F F1 1力对力对 x，y，z 轴的矩，轴的矩，（2）F F2 2力力 对对 z轴的矩。轴的矩。OBF F1 1AabcyxzzF F2 2 练习练习2：OB F F1 1AabcyxzzF F2 2 1.求求F F1 1力对力对 x，y，z 轴的矩。轴的矩。F F1 1xyxyF F1 1z z解：如图所示解：如图所示OBF F1 1AabcyxzzF F2 2 2.求求F F2 2力力 对对 z轴的矩。轴的矩。应应用用力力矩

4、矩关关系系定定理理，先先求求力力F F2 2对对点点A的的矩矩。然后再投影到然后再投影到 z轴上。轴上。思考题思考题思考题思考题力偶力偶：大小相等、方向相反而不共线的两个平行力所组成的力系，称为力偶。力偶作用面力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面；力偶臂力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用 d 表示。力偶的转向力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向；力偶矩力偶矩：在平面力偶的情况下，力偶矩用代数量表示，=d“”表示逆时钟方向；“”表示顺时钟方向。2-2 力偶的概念和性质力偶的概念和性质力偶矩矢量力偶矩矢量在空间力偶系的情况下，力偶矩需要用一个矢量M表示，矢量M 的长度：表示

5、力偶矩的大小；M 的方位：垂直于力偶的作用面；指向：按右手螺旋规则，可表示力偶的转向。1.1.同一平面内同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同力偶矩大小相等，转向相同;力偶矩矢量是一自由矢量，而力力偶矩矢量是一自由矢量，而力矢量对刚体来说是一滑动矢量矢量对刚体来说是一滑动矢量！同一平面内同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同力偶矩大小相等，转向相同;力偶矩矢量力偶矩矢量1.1.同一平面内同一平面内两力偶的等效条件是：力偶矩大小相等，转向相同力偶矩大小相等，转向相同;2 2、不同平面内、不同平面内两力偶的等效条件是：力偶作用面平行（即作用面方位相同）、力偶矩大小相

6、等以及力偶转向相同。或简单叙述为：两力偶矩矢量相等两力偶矩矢量相等.力偶矩矢量是一自由矢量，而力力偶矩矢量是一自由矢量，而力矢量对刚体来说是一滑动矢量矢量对刚体来说是一滑动矢量！力偶系的合成及平衡条件力偶系的合成及平衡条件力偶系可以合成为一合力偶，合力偶矩矢量等于各分力偶矩矢量的矢量和，即：几何法表示：合力偶矩矢量等于各分力偶矩矢量所构成的矢量多边形的封闭边矢量。平衡条件平衡条件：力偶系平衡的必要与充分条件是合力偶矩矢量等于零，即力偶矩矢量多边形自行封闭例例 一简支梁一简支梁AB=d，作用一力偶作用一力偶 M，求二支座约束力。求二支座约束力。解：研究解：研究ABAB梁，受力分析如图梁，受力分析

7、如图dMBAFA因为力偶只能与力偶平衡因为力偶只能与力偶平衡 FA=FBM FAd=0 FB由由即即FA=FB=M/d解：杆杆AB为二力杆。为二力杆。例例 如图所示的铰链四连杆机构如图所示的铰链四连杆机构OABD，在杆在杆OA和和BD上分上分别作用着矩为别作用着矩为 M1和和 M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知已知OA=r，DB=2r，=30，不计杆重，试求不计杆重，试求 M1和和 M2间的间的关系。关系。DM2BFDFBAFOFABOM1AOBDM1M2AAO杆与杆与BD杆的受力如图所示。杆的受力如图所示。M1 r FAB cos=0 M2=2

8、M1 DM2BFDFBAOM1FOFABA分别写出杆分别写出杆AO和和BD的平衡方程：的平衡方程：M2+2r FBA cos=0由由FAB=FBA 得得因为因为则得则得解：杆杆AB为二力杆。为二力杆。AO杆与杆与BD杆的受力如图所示。杆的受力如图所示。例例 如如图图所所示示机机构构的的自自重重不不计计。圆圆轮轮上上的的销销子子A放放在在摇摇杆杆BC上上的的光光滑滑导导槽槽内内。圆圆轮轮上上作作用用一一力力偶偶，其其力力偶偶矩矩为为M1=2kNm，OA=r=0.5m。图图示示位位置置时时OA与与OB垂垂直直,角角=30o,且且系系统统平平衡衡。求求作作用用于于摇摇杆杆BC上的的力力偶偶的的矩矩M

9、2及铰链及铰链O，B处的约束力。处的约束力。B BO OrA AC CM2M1先取圆轮为研究对象。先取圆轮为研究对象。解得解得解：O OA AM1F FO OF FA AB BO OrA AC CM2M1 因为力偶只能与力偶平衡，所以，力因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA 与与FO 构成一力偶，故构成一力偶，故FA=FO。再取摇杆再取摇杆BC为研究对象。为研究对象。其中其中解得解得B BC CA AF FB BM2O OA AM1F FO OF FA AB BO OrA AC CM2M1力对点的矩与力偶矩的区别？不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但力对点的矩可随矩心的位置改变而改变

10、，但一个力偶的矩是常量。一个力偶的矩是常量。相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。力矩的量纲与力偶矩的相同。问题问题:两者的作用效果相同吗两者的作用效果相同吗?力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理:作用在刚体上的力，可以平行于原来的作用线搬移到刚体内的任意指定点而不改变该力对刚体的作用但需在该力和指定点所决定的平面内附加一个力偶，其力偶矩等于该力对指定点之矩。2-3 力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理说明说明：1.力的平移定理是“力系向一点简化”方法的理论基础；2.力的平移定理一方面说明了一个力可以平行搬移的条件；另一方面指出：一个力和一个力偶可以进一步合成为一个力。2-

11、4 力系向一点简化力系向一点简化任一空间力系向一点简化空间汇交力系空间力偶系合成为一个力偶合成为一个力FR=Fi=FiMO=Mi=MO(F)力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩主矢主矢：力系各力的矢量和称为该力系的主矢,用FR表示，即FR=Fi。主矩主矩：力系各力对简化中心之矩的和称为该力系对简化中心的主矩，O表示,即O=O（F）。结论：结论：力系向简化中心简化，可以得到一个力和一个力偶，这个力的大小和方向与力系的主矢相同，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的选择无关，主矩与简化中心的选择有关。同一力系向不同简化中心简化，结果之间有何关同一力系向不同简化中

12、心简化，结果之间有何关系？系？力系简化结果讨论力系简化结果讨论空间力系合成结果：1、合成为一个力偶合成为一个力偶2、合成为一个力合成为一个力3、合成为一个力螺旋合成为一个力螺旋 、平衡平衡、当FR0，00时，空间力系合成为一个力偶力系简化结果讨论力系简化结果讨论2.1、FR0，00时，空间力系合成为一个力。FR=F作用线过O点2.2、F FR0，0 0且F FR0 时，空间力系仍合成为一个力力系简化结果讨论力系简化结果讨论3、当F FR0，0 0且F FR0 时合成为力螺旋。力螺旋：（F FR，0）力系合成为一个力（作用于简化中心）和一个力偶，且这个力垂直于力系合成为一个力（作用于简化中心）和

13、一个力偶，且这个力垂直于这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为力螺旋力螺旋。右手螺旋：力矢力矢F与力偶矩与力偶矩MO指向相同指向相同（图图a）。左手螺旋：力矢力矢F与力偶矩与力偶矩MO指向相反指向相反（图图b）。4、当FR=0，0=0，空间力系平衡6个独立的平衡方程个独立的平衡方程平面力系的合成结果平面力系的合成结果主矢主矩合成结果0合力非0合力非0力偶0平衡 平面力系的合力对作用面内平面力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力系中的任一点的矩，等于这力系中的各力对同一点的矩的代数和。各力对同一点的矩的代数和。表达式：表达式：MO(

14、FR)=MO(Fi)证明：因为因为 MO=MO(Fi),MO=FRd=MO(FR)所以所以 MO(FR)=MO(Fi)合力矩定理F1F2F3F4OABC xy2m3m3060 例例 在在长长方方形形平平板板的的O，A，B，C点点上上分分别别作作用用着着有有四四个个力力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如如图图），试试求求以以上上四四个个力力构构成的力系对点成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：解：取坐标系取坐标系Oxy。1、求向求向O点简化结果点简化结果。求主矢求主矢F R。F1F2F3F4OABC xy2m3m306

15、0FOABC xy 求主矩求主矩。2.求合成结果。求合成结果。F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xyMOFd合成为一个合力合成为一个合力F，F的大小、方的大小、方向与向与F R相同。其作用线与相同。其作用线与O点点的垂直距离为的垂直距离为 例例 铅铅直直桅桅杆杆AB受受彼彼此此互互相相垂垂直直的的两两个个水水平平力力F1 1和和F2 2的的作作用用，并并由由张张索索CD维维持持平平衡衡。已已知知尺尺寸寸l，力力F1 1和和F2 2，向向D点简化的结果是力螺旋，试求点简化的结果是力螺旋，试求D点的位置。点的位置。令令BD=s,将将力力F1和和F2向向D点点简简化化得得主主

16、矢矢FR和和主主矩矩MD 在坐标轴在坐标轴x1，y1上的投影：上的投影：解：因为向因为向D点简化是力螺旋，即有点简化是力螺旋，即有FR/MD,故故从而解得所求距离从而解得所求距离问题问题简化结果与主矢主矩之间的关系？同一力系向不同点简化的结果之间有什么关系？常见力系简化结果？第三章第三章 平面力系的平衡问题平面力系的平衡问题3-1 平面力系平衡方程平面力系平衡方程3-2 刚体系统的平衡问题、刚体系统的平衡问题、静定、静不定问题静定、静不定问题3-1平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程力系平衡的充要条件是主矢主矩同时等于零。力系平衡的充要条件是主矢主矩同时等于零。Fx 0Fy0O（F）0平面力系

17、的平衡方程（基本形式）平面力系的平衡方程（基本形式）即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等于即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零平面力系平衡方程的其它形式平面力系平衡方程的其它形式两矩一投影：两矩一投影：A（F F）0B（F F）0Fx0附加条件附加条件：X 轴不垂直于A、B 二点的连线。三三矩式：矩式：A（F F）0 B（F F）0 C（F F）0附加条件附加条件：A、B、C 三点不共线。平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因此只能平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因

18、此只能 求解三个未求解三个未知量！知量！平面平行力系平面平行力系平面平行力系（设各力作用线是平行于 y 轴），平衡方程两种形式：一矩一投影：一矩一投影：F Fy y0O（F F）0两矩式：两矩式：A（F F）0B（F F）0附加条件附加条件：A、B两点的连线不与各力平行平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系其中其中例例已知已知求：求：固定端固定端 处约束力处约束力.解：解：取取 型刚架，画受力图型刚架，画受力图.根据平衡条件列方程根据平衡条件列方程习题习题已知：梁AD的支承及受力如图所示。F500N，FA1000N，q 1000N/m，2000Nm，a=2m求：座B、C的约束反力解：解：

19、取起重机，画受力图取起重机，画受力图.满载时，满载时，为临界状况为临界状况解得解得已知：已知：例例求：求：（1 1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重 ；（2 2），轨道轨道 给起重机轮子的约束力。给起重机轮子的约束力。空载时，空载时，为临界状况为临界状况解得解得 时时内内 力力 物体系内部各物体间互相作用的力。物体系内部各物体间互相作用的力。物体系平衡方程的数目物体系平衡方程的数目 物体系物体系 由若干个物体通过约束组成的系统。由若干个物体通过约束组成的系统。外外 力力 物体系以外任何物体作用于该系统的力。物体系以外任何物体作用于该系统的力。由由n个物体组

20、成的物体系，总共有不多于个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立的个独立的平衡方程。平衡方程。3-2 刚体系统刚体系统 的平衡、静定、静不定概念的平衡、静定、静不定概念静定静不定静不定静不定静定问题静定问题 当系统中未知量数目等于独立平衡方程数目时当系统中未知量数目等于独立平衡方程数目时的问题。的问题。静不定问题静不定问题 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。目时，不能求出全部未知量的问题。判断下面结构是否静定判断下面结构是否静定？例例已知已知:F=20kN,q=10kN/m,l=1m;求求:A,B处的约束力处的约束力.解解

21、:取取CD梁梁,画受力图画受力图.FB=45.77kN取整体取整体,画受力图画受力图.例例求求:A,E支座处约束力及支座处约束力及BD杆受力杆受力.已知已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,各构件自各构件自 重不计重不计,取整体取整体,画受力图画受力图.解解:取取DCE杆杆,画受力图画受力图.(拉拉)例例已知已知:P2=2P1，P=20P1，r,R=2r,求求:物物C匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩 轴承轴承A，B处的约束力处的约束力.解解:取塔轮及重物取塔轮及重物 ,画受力图画受力图.由由取小轮取小轮，画受力图画受力图.例 如如图图已已知知 q=3

22、 kN/m，F=4 kN，M=2 kNm。CD=BD,AC=4 m，CE=EA=2m。各各杆杆件件自自重重不不计计，试试求求A和和B处的支座约束力。处的支座约束力。22ABqC22F FMMDE30解：解：1.1.取取BC为研究对象，为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。FB=2.89kN22BCF FMMD30FCxFCyFB2.取整体为研究对象，取整体为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。22ABqC22F FMMD DE30FAxFAyMA30FAy=0.58kNFAx=47.5kNMA=-2kNm或或也可以取杆为也可以取杆为AC研究对象研究对象,MC=0。22ABqC22F FMM

23、D DE30FAxFAyMA30例例已知：构架如图所示,重物重P10kN,ADDB2m，CDDE1.5m，不计摩擦及杆、滑轮的重量。求：杆BC所受的力和杆AB作用于销钉D的力。如图已知如图已知 F=15kN，M=40kNm。各杆件自重不计，各杆件自重不计，试求试求D和和B处的支座约束力。处的支座约束力。讨论题AMBEDCF F4m4m2m2m2m2m60MDCFC4m2mFD解：1.先取先取CD为研究对象，为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。FD =8.95kNAMBEDCF F4m4m2m2m2m2m60BFBEF F2m2mCFC 602.再取再取BC，受力分析如图。，受力分析如图。FB =15.5kN错解！错解！BFCxECF F2m2mFByFBxFCy60解：1.先取先取BC为研究对象，为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。FBy =6.5kNAMBEDCF F4m4m2m2m2m2m60 正确解答MBFDxEDCF F4m2m2m2mFByFBxFDy60BFCxECF F2m2mFByFBxFCy602.再取再取BCD为研究对象，为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。FBx =20.75kN