理想气体的压强与温度公式.ppt

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1、第六章第六章 平衡态的统计规律平衡态的统计规律The Statistical Law of Equilibrium State玻尔兹曼玻尔兹曼(1844-1906)从微观角度研究分子的从微观角度研究分子的热运动必须建立理想的微观热运动必须建立理想的微观模型。本章将提出理想气体模型。本章将提出理想气体的模型，推导出压强、温度的模型，推导出压强、温度与微观量的关系，并介绍麦与微观量的关系，并介绍麦克斯韦所导出的分子速率分克斯韦所导出的分子速率分布规律。其中重点是压强、布规律。其中重点是压强、温度公式，三个速率公式。温度公式，三个速率公式。6.1 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 本节运用统

2、计方法，导出平衡态下理想气体的压本节运用统计方法，导出平衡态下理想气体的压强和温度的统计表述。强和温度的统计表述。一、一、理想气体的微观模型理想气体的微观模型1.1.理想气体理想气体理想气体理想气体 分子运动的力学假设分子运动的力学假设分子运动的力学假设分子运动的力学假设分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计不计。分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。除碰撞瞬间外除碰撞瞬间外,分子之间的作用分子之间的作用,重力可忽略不计。重力可

3、忽略不计。2.2.平衡态理想气体分子运动的统计假设平衡态理想气体分子运动的统计假设平衡态理想气体分子运动的统计假设平衡态理想气体分子运动的统计假设分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数密度：密度：N 表示容器体积表示容器体积V内的分子数。内的分子数。具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数是相等的：是相等的：统计结果二、理想气体的压强公式二、理想气体的压强公式 .xSzmv1y 容器中气体宏观上施于器壁容器中气体宏观上施于器壁的压强是大量分子对器壁不断的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果。

4、碰撞的结果。无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好比雨天打伞，每一滴雨落在何处，宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好比雨天打伞，每一滴雨落在何处，冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上，冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上，伞面将受到一个持续的压力。伞面将受到一个持续的压力。推导推导推导

5、推导分子数密度分子数密度玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数单个分子的压单个分子的压强毫无意义强毫无意义如：给自行车打气增加压强，如：给自行车打气增加压强，从微观上讲是增加了分子数密从微观上讲是增加了分子数密度；篮球在太阳底下晒一晒后度；篮球在太阳底下晒一晒后可以鼓起来，从微观上讲是平可以鼓起来，从微观上讲是平动动能增大了。动动能增大了。宏观量宏观量p与微观量与微观量 之间存在对应关系。之间存在对应关系。P是宏观量，平均平动动能是宏观量，平均平动动能是不可测量的，但据此得到是不可测量的，但据此得到的各种结果都与实际相一致。的各种结果都与实际相一致。压强压强P是统计平均量。是统计平均量。压强公式不是单纯的力

6、学规压强公式不是单纯的力学规律，而是统计平均的关系式。律，而是统计平均的关系式。分子热运动分子热运动平均平动动能平均平动动能揭示了宏观量揭示了宏观量 与微观量与微观量 之之间的关系。间的关系。三、理想气体的温度公式三、理想气体的温度公式 1.温度的微观本质：温度的微观本质：温度是气体分子平均平动动能温度是气体分子平均平动动能大小的量度；它反映着分子做无规大小的量度；它反映着分子做无规则运动的情况。则运动的情况。温度温度T是一是一个统计平均量个统计平均量。2.绝对零度不可能实现绝对零度不可能实现!对任何气体对任何气体只要只要T相等，其相等，其平均平动动能就平均平动动能就一定相等。一定相等。例例1

7、：气体分子间的平均距离与压强气体分子间的平均距离与压强 p、温度、温度T的关系为的关系为 ，在压强为，在压强为1atm、温度为、温度为00C的情况下，气体分子间的平均距离？的情况下，气体分子间的平均距离？m。（。（k=1.3810-23 J/K）解：解：在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的，考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的，是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律

8、性。平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律性。理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间内的分子占总分子数的百分比的规律内的分子占总分子数的百分比的规律速率分速率分布律布律。一、一、Maxwell Maxwell 速率分布函数速率分布函数1.1.条件：条件：理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。6-2 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 1859年，年，M Maxwell首先推导出理想首先推导出理想气体的速率分布函数气体的速率分布函数。2.2.定义定义:如果分子速率在如果分子速率在 区间内的分子数区间内的分子数占总分

9、子数的百分比为占总分子数的百分比为 ，设速率分布函数为，设速率分布函数为3.3.麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数：即即为概率。为概率。概率对应图概率对应图中小矩形的中小矩形的面积面积速率分布函数快减快增两者相乘曲线pp若m、T 给定，玻耳兹曼常数，函数的形式可概括为曲线曲线有单峰，不对称速率分布曲线速率 恒取正 讨论讨论 满足归一化条件满足归一化条件：表示分布在表示分布在 区间内的分子区间内的分子数数 占总分子数的百分比。占总分子数的百分比。速率在速率在 之间的分子数之间的分子数 目目 vv12S1 S2S1 S2(v)fvovv12线，小面积，线，小面积，大面积的物大面积的物理意义

10、？理意义？S1=S2时时,大于大于v0的的分子数分子数?三、三种重要的速率三、三种重要的速率1.1.最概然速率最概然速率:（最可几速率）（最可几速率）2.2.平均速率：平均速率：3.3.方均根速率：方均根速率：附附2 2 三种速率三种速率大小的比较大小的比较 附附1 1 变换式变换式推导推导推导推导最概然速率与此函数的极大值对应的速率与此函数的极大值对应的速率 称为最可几速率称为最可几速率或令即易得因则不同条件比较（或 ）相同相同用进行比较平均速率平均速率平均速率（算术平均速率）（算术平均速率）根据某连续变量 x 的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。在讨论气体分子平均自由程问题时涉

11、及到分子的算术平均速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。或也有类似注意到方均根速率方均根速率方均根速率（的统计平均值的开平方）即 作为参与统计平均的连续变量或也有类似则得回忆 联系注意到速率小结大气的大气的组成成 地球形成之初，大气中地球形成之初，大气中应有大量的有大量的氢、氦，但很多、氦，但很多 H2 分子和分子和 He 原子的方均根速率超原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速了地球表面的逃逸速率率(11.2km/s)，故，故现今地球大气中已没有今地球大气中已没有大量的大量的氢和氦了。和氦了。但但 N2 和和 O2 分子的方均

12、根速率只有逃逸速率的分子的方均根速率只有逃逸速率的 1/25，故地球大气中有大量的氮气，故地球大气中有大量的氮气(大气大气质量的量的 76%)和氧和氧气气(大气大气质量的量的 23%)。应应 用用氧气摩尔质量3.20 10mol温度27 C处于平衡态气体分子的和27 273 300（k）483(m s )394(m s )447(m s )例例2:在在容容积积为为10-2m3的的容容器器中中，装装有有质质量量100g的的气气体体，若若气气体体分分子子的的方方均均根根速速率率为为200m/s，求气体的压强求气体的压强?解：解：例例3：某气体在温度为：某气体在温度为T=273K时，压强为时，压强为

13、p=1.010-2atm，密度，密度 ，求，求该气体分子的方均根速率。该气体分子的方均根速率。解：解：p=1.0103 Pa例例4：现现有有两两条条气气体体分分子子速速率率分分布布曲曲线线（1）和和（2），如如图图所所示示。若若两两条条曲曲线线分分别别表表示示同同一一种种气气体体处处于于不不同同的的温温度度下下的的速速率率分分布布，则则曲曲线线（2）表表示示的的温温度度较较高高。若若两两条条曲曲线线分分别别表表示示同同一一温温度度下下的的氢氢气气和和氧氧气气的的速速率率分布，则曲线分布，则曲线（1）表示的是氧气的速率分布。表示的是氧气的速率分布。1.同一气体同一气体 一定一定2.同一温度同一温度 不同不同 h ,则则 n 按指数而减小；按指数而减小；T ，分子的无规则热运动越剧，分子的无规则热运动越剧烈，烈，n 的减小就越缓慢。的减小就越缓慢。分子的摩尔质量分子的摩尔质量 越大，重力越大，重力作用越显著，作用越显著，n 的减小就越迅速。的减小就越迅速。重力场中单位体重力场中单位体积内的粒子数按积内的粒子数按高度分布高度分布大气压强大气压强按高度分布按高度分布6-3 玻尔兹曼速度分布律玻尔兹曼速度分布律Boltemanns DistributionBoltemanns Distribution推导推导推导推导