理论力学课件-刚体平面运动.ppt

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1、 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，它可以看作为刚体的平动和定轴转动的合成。9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动，具有这种特点的运动称为刚体的平面运动刚体的平面运动。例如例如曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线运动点作直线运动，故AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。一刚体平面运动的定义一刚体平面运动的定义请看动画由上述定义知，用平行于固定平面的平面在刚体上截出的平面图形 S 在它自身平面内运动

2、，且可代表刚体的平面运动。二刚体平面运动的简化二刚体平面运动的简化 三平面图形的运动方程三平面图形的运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。任意线段AB的位置可以用A点坐标和AB与x轴间夹角表示，故图形 S 的位置决定于三个独立的参变量。所以当图形 S 上 角不变时，则刚体作平动；即为平面图形的运动方程。四刚体平面运动的分解四刚体平面运动的分解故刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。当图形 S 上点不动时，则刚体作定轴转动；例：车轮的运动。例：车轮的运动。车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢

3、的平动和相对车厢的转动的合成.。绝对运动：车轮对于静系的平面运动绝对运动：车轮对于静系的平面运动牵连运动：车厢（动系牵连运动：车厢（动系Ax y )相对静系的平动相对静系的平动相对运动：相对运动：车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y）的转动）的转动我们可在平面图形上任取一点 A 作为动系原点,称基点基点，则车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动分解为随基点的平动和绕基点的转动。和绕基点的转动。再例如再例如：平面图形 S 在 t 时间内从位置 I 运动到位置 II图中看出：AB AB AB，。

4、于是有1.以A为基点：随基点A平动到AB后，绕基点转 角到AB2.以B为基点：随基点B平动到AB后，绕基点转 角到AB 研究平面运动时，可以取平面图形上不同的点为基点。由于平面图形上各点的运动情况一般不相同，故动系的平动动系的平动（牵连运动）与基点的选择有关，而平面图形绕基点的转动（牵连运动）与基点的选择有关，而平面图形绕基点的转动（相对运动）与基点的选择无关（相对运动）与基点的选择无关，从而同一瞬间，平面图形绕任一基点转动的 、都是相同的。曲柄连杆机构曲柄连杆机构AB杆作平面运动杆作平面运动（请看动画）平面运动的分解平面运动的分解9-2平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度根据速度合成定理

5、则B点速度为：一基点法一基点法 取 B 为动点,则B点运动可视为牵连运动为平动和相对运动为转动的合成。取A 为基点,将动系固结于A点，动系随基点作平动。已知平面图形 S 内一点 A 的速度 ，图形角速度 ，求：大小为AB，方向AB，指向与 转向一致。其中 由于A、B两点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系。注意到恒有 ，因此将上式在AB上投影，有速度投影定理速度投影定理 即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等相等。这种求解速度的方法称为 速度投影法速度投影法。即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕平面图形

6、上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和基点转动的速度的矢量和。二速度投影法二速度投影法 这种求解速度的方法称基点法基点法，也称为合成法合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题的计算会大大简化于是自然会提出，在某一瞬时平面图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？三速度瞬心法三速度瞬心法则：2.速度瞬心的概念速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度为vA，图形角速度为，现沿vA方向取半直线AL，然后顺转向转90o至AL的位置，在AL上取点 P 使长度 1.问题的提出问题的提出 即在每一瞬时必唯一存在一个

7、速度为零的点，该点称为即在每一瞬时必唯一存在一个速度为零的点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。3几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法 平面图形在固定面固定面上作无滑动的滚动，则 图形与固定面的接触点P即为速度瞬心。已知某瞬时平面图形上任两点A、B的速度 方向，且 不平行 ，则过A、B两点分别 作速度 的垂线，交点P即为该瞬时的 速度瞬心。(b)(a)已知某瞬时图形上两点A、B 的速度 且 连线 AB，则连线 AB与速度矢 端点连线的交点P即速度瞬心。某瞬时图形上两点A、B的速度 ，则图形的瞬心在无穷 远处，图形

8、的瞬时角速度为零，在此瞬时，图形上各点速度 分布与图形作平动时一样，这种情况称瞬时平动瞬时平动，但须注意 此时各点的加速度不一定相同。而 的方向沿AC，故 ，例例：曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。设匀角速度为，则瞬时平动与平动不同。瞬时平动与平动不同。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 ，方向 AP，指向与 一致。速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴转动。刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加

9、速度不一定相同，不同于刚体作平动。.速度瞬心法速度瞬心法5.注意的问题注意的问题利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法速度瞬心法。平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心瞬时转动中心。解解：机构中，OA作定轴转动，AB 作平面运动，滑块B作平动。研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。（）例例1 曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。求当=45时，滑块B的速度及AB杆的角速度。根据在点做 速度平行四边形，如图示。基点法基点法（）试比较上述三种方法的特点。试比较上述三种方法的特点。根据速度投影定理不能求出 研究AB,方向O

10、A,方向沿BO直线 研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心。速度瞬心法速度瞬心法 速度投影法速度投影法于是由牵连运动为平动时的加速度合成定理9-3 用基点法求用基点法求平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 由于平面图形 S 的运动可分解为随同基点 A的平动（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动），则图形上任一点B的运动也由两个运动合成。已知：某一瞬时平面图形 S 内一点 A 的 加速度 和 、。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。其中于是其中：，方向 AB，指向与 一致；这种求加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程，

11、需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 的方向总是已知的，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。，方向沿AB，指向A点。即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。分析：大小？2 方向？故应先求出 。（）例例2 半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度 ，求车轮与轨道接触点 P 的加速度。解：轮 O 作平面运动，P 为速度瞬心，由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而（）由此看出，速度瞬心 P 的

12、加速度并不等于零。即当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，速度瞬心 P 的加速度指向轮心。与 等值反向以O为基点，有作出加速度矢量图，由图中看出：即故其中：解：(a)AB作平动，例例3 已知：O1A=O2B,图示瞬时 O1A/O2B。试问：(a)、(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b)(b)AB作平面运动,图示瞬时作平动,此时由于其中 例例4 曲柄滚轮机构，滚子半径R=15cm，OA=15cm,n=60rpm。求：当=60时(OAAB)，滚轮的B、B。翻页请看动画翻页请看动画请看动画解解：OA作定轴转动，杆AB和轮B作平面运动。（）P为杆AB的速度瞬心分析分析：要想求出滚轮的B、B

13、 先要求出 vB ,aB。P2P1vBP2 为轮B的速度瞬心研究杆AB：取A为基点，指向O点大小？方向 作加速度矢量图，将加速度合成定理向AB线上投影：()研究轮B：P2为其速度瞬心()方向沿BA。第九章刚体的平面运动习题课第九章刚体的平面运动习题课随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）一概念与内容一概念与内容1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2.刚体平面运动的简化可用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动。3.刚体平面运动的分解分解为4.基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动

14、状态已知的点。5.速度瞬心6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。7.求平面图形上任一点速度的方法 基点法：速度投影法：速度瞬心法：其中基点法是最基本的方法，瞬心法是基点法的特例。任一瞬时，平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零 的点；瞬心位置随时间改变；每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动，这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同；若=0，则瞬心在无穷远处,各点速度相同，刚体作瞬时 平动，瞬时平动与平动不同。9.刚体平面运动方法与点的合成运动方法的应用条件 刚体平面运动方法用于研究同一个平面运动刚体上两个 不同点的速度、加速度之间的关系，及任意一点的速度、加速度与图形角速度、

15、角加速度之间的关系。点的合成运动方法常用来分析两个相接触的有相对滑动 的刚体在接触点处的运动关系的传递。8.求平面图形上一点加速度的方法，A为基点,是最常用的方法。此外，当=0，瞬时平动时瞬时平动时也可采用方法它是基点法在=0时的特例。基点法：基点法：恰当选取基点，作出速度平行四边形以及加速度 矢量图；二解题步骤和要点二解题步骤和要点1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体运动 形式，注意每一次的研究对象只能是一个刚体。2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解 速度（或图形角速度）问题的方法，用基点法求加速度 （或图形角加速度）。3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

16、速度投影法:不能求出图形；速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。例例5 曲柄肘杆压床机构。已知：OA=0.15m，n=300 rpm，AB=0.76m，BC=BD=0.53m，图示位置时AB水平。求该位置时的AB 、BD 及 vD。翻页请看动画翻页请看动画请看动画 例例5 曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,BC=BD=0.53m，图示位置时AB水平.求该位置时的AB 、BD 及 vD。解：OA、BC作定轴转动,AB、BD 作平面运动。（）研究BD,P2为其速度瞬心,BDP2为等边三角形。（）研究AB,P为其速度瞬心注意：每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有

17、自己的速度瞬心注意：每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度，并且瞬心在刚体本身或其扩大部分上。例如和角速度，并且瞬心在刚体本身或其扩大部分上。例如 例例5 中中AB的瞬心在的瞬心在P1点，点，BD的瞬心在的瞬心在P2 点，而且点，而且P1也不是也不是CB杆上杆上的点。的点。例例6 行星齿轮机构。请看动画解：OA作定轴转动，轮A作平面运动，瞬心 为P点。）(例例6 行星齿轮机构，大齿轮固定。已知：R、r、o ，轮A作纯滚动，求 。方向均如图示。例例7 平面机构中，楔块M：=30，v=12cm/s；盘：r=4cm，圆盘与楔块间无滑动。求圆盘的及轴O的速度和B点速度。请看动画 解解

18、：杆OC、楔块M 均作平动，圆盘作平面运动，P为速度瞬心。）(例例7 平面机构中，楔块M：=30，v=12cm/s；盘：r=4cm，圆盘与楔块间无滑动。求圆盘的、轴O的速度和B点的速度。注意：比较注意：比较 例例6 和和 例例7 可知，可知，不能认为圆轮只滚不滑时，不能认为圆轮只滚不滑时，接触点就是瞬心，接触点就是瞬心，只有在接触面是固定面时，只有在接触面是固定面时，圆轮上接触点圆轮上接触点 才是速度瞬心。才是速度瞬心。例例8 导槽滑块机构。请看动画 例例8 导槽滑块机构。已知：曲柄OA=r,以匀角速度 转动，连杆AB中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动，AB=l，图示瞬时O、A、O1三点在

19、同一水平线上，OA AB，=30。求：该瞬时 O1D 的角速度。解解：OA、O1D均作定轴转动，AB作平面运动。研究研究AB：图示位置，作瞬时平动。瞬时平动。用合成运动方法求O1D杆的角速度。动点动点：AB杆上C(或滑块C)动系动系：O1D杆静系静系：机架绝对运动绝对运动：曲线运动，方向相对运动相对运动：直线运动，方向/O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，方向 O1D根据，作速度平行四边形作速度平行四边形()这是一个需要这是一个需要联合应用联合应用刚体平面运动理论和点的合成运动刚体平面运动理论和点的合成运动求解的综合性问题求解的综合性问题。注意这类题的解法，再看下例。注意这类题的解法，再看下例。

20、例例9 平面机构。请看动画 例例9 平面机构，图示瞬时O点在AB中点,=60，BC AB，已知O、C在一水平线上，AB=20cm，vA=16cm/s。试求：该瞬时AB杆、BC杆的角速度及滑块C的速度。解解:轮A、杆AB、杆BC均作平面运动,套筒O作定轴转动,滑块C 作平动。由于 沿AB所以方向沿AB且与反向。从而确定了AB杆上与O点重合点的速度方向。研究 AB，P1为速度瞬心。取套筒上O点为动点动点,动系动系固结于AB杆;静系静系固结于机架。也可以用瞬心法求BC和vC，很简便。研究研究BC，以B为基点，根据作速度平行四边形速度平行四边形()（）例例10 导槽滑块机构。请看动画解解：应用点的合成

21、运动方法，确定CD杆上C点与AE杆上重合点C之间的速度关系。应用平面运动方法确定AE上A、C点之间速度关系：例例10 导槽滑块机构。已知图示瞬时,杆AB速度，杆CD速度 及 角，且AC=l,求导槽AE的角速度。取CD杆上C为动点动点，动系动系固结于AE，静系静系固结于机架；则(a)(b)作速度矢量图并向 轴投影，有（）将(b)代入(a)得其中：vCv，vAu解解：OA作定轴转动，杆AB、BC均作平面运动，滑块B和C均作平动。求对AB杆应用速度投影定理：对BC杆应用速度投影定理：例例11 已知配气机构中，OA=r,以等角速度 o转动,在某瞬时=60，ABBC，AB=6 r，BC=。求该瞬时滑块C的速度和加速度。（教材P227的习题9-19）求 aC以A为基点为基点求B点加速度：(a)P1为AB杆速度瞬心，作加速度矢量图作加速度矢量图，并将式(a)沿BA方向投影 作加速度矢量图作加速度矢量图,P2 为BC的瞬心，而 P2C=9 r。再以再以B为基点为基点,求 aC将式(b)在BC方向线上投影注注 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，结果为负说明假设与实际指向相反。30