矩阵的特征值和特征向量复习题.ppt

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1、矩阵特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量n n一填空题一填空题n n2,3,4,5,8,9，10n n二选择题二选择题n n6，7n n三计算三计算n n2,4,8n n四证明四证明n n2，41一、填空一、填空2.因为因为是正交矩阵是正交矩阵,所以所以又因为又因为所以所以故故3.因为因为所以所以4.因为因为的特征值是的特征值是的特征值的倒数的特征值的倒数.25.因为设因为设由于对称矩阵由于对称矩阵的的属于不同特征值的特征向量是正交的属于不同特征值的特征向量是正交的,所所以以解齐次方程组解齐次方程组得一非零解得一非零解38.因为因为则则与与有相同的特征值有相同的特征值,已知已知的全部的全部特征

2、值为特征值为故故的全部特征值为的全部特征值为从而从而的全部特征值为的全部特征值为存在可逆矩阵存在可逆矩阵使得使得即即4所以所以59.因为设因为设为为的非零解的非零解,即即 所以所以是是的一个特征值的一个特征值.10.的三个特征值分别为的三个特征值分别为因为设因为设为为的特征值的特征值,即即且且从而从而即即又因为又因为的特征值为的特征值为所以所以故故的特征值分别为的特征值分别为6二选择题二选择题n n6.6.7n n7.7.又因为又因为所以所以的特征值为的特征值为8三、计算三、计算2.解解:(1)因因为为所以所以的全部特征值为的全部特征值为9求属于特征值求属于特征值特征向量特征向量:因为因为取取

3、得特征向量得特征向量故属于特征值故属于特征值的特征向量为的特征向量为其中其中为任意非零常数为任意非零常数.10求属于特征值求属于特征值(二重根二重根)的的特征向量特征向量:因为因为取取得得故属于特征值故属于特征值的特征向量为的特征向量为其中其中为任意不全为零的常数为任意不全为零的常数.取取得得11(2)用施密特正交化方法用施密特正交化方法将将正交化得正交化得:再将再将单位化得单位化得:12令令则有则有134.解解:因为因为所以所以是是的一个特征值的一个特征值.而而又因为又因为所以所以故故有一个特征值有一个特征值8.解解:因因为为均不可逆均不可逆,所以所以故故 的全部特征值为的全部特征值为设设为

4、为的属于任一特征值的属于任一特征值的特征向量的特征向量,则则从而从而14所以所以是是 的特征值的特征值,故故的全部特征值为的全部特征值为从而从而又因为又因为所以所以是是的特征值的特征值,故故的全部特征值为的全部特征值为所以所以15四、证明题四、证明题2.证明证明:因为因为对任意非零向量对任意非零向量都有都有所以所以的全部特征值为零的全部特征值为零.从而从而的特征值也为零的特征值也为零.若不然若不然,设设有特征值有特征值则有非零向量则有非零向量使得使得从而有从而有所以所以有非零的特征值有非零的特征值,矛盾矛盾.4.证明证明:因为因为所以所以故故又因为又因为所以所以故故从而从而是是的特征值的特征值.16